Función cuadrática dada en forma factorizada
Summary
TLDREn este video, se realiza un análisis detallado de una función cuadrática dada en forma factorizada. Se comienza por identificar el dominio de la función, que incluye todos los números reales. Luego, se encuentran los ceros analíticamente, que son los puntos donde la función se anula, y se determina la ordenada al origen de la función. Se calcula el eje de simetría y el vértice de la función, que son puntos clave para entender su comportamiento. Se realiza un ejercicio práctico aplicando estos conceptos a una función específica: f(x) = 2(x - 3)(x + 1). Se calcula el dominio, los ceros, la ordenada al origen, el eje de simetría y el vértice de esta función. Finalmente, se grafica la función y se discuten sus conjuntos de positividad y negatividad, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. El video es una herramienta valiosa para entender las propiedades de las funciones cuadráticas y cómo se aplican en situaciones prácticas.
Takeaways
- 📐 La función cuadrática dada en forma factorizada es \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \), donde \( a \neq 0 \).
- 🌐 El dominio de todas las funciones cuadráticas es todos los reales (\( \mathbb{R} \)).
- 🔍 Los ceros de la función son \( x_1 \) y \( x_2 \), que son las soluciones de la ecuación \( f(x) = 0 \).
- 📍 Para encontrar la ordenada al origen, evalúa la función en \( x = 0 \), dando como resultado \( a \cdot x_1 \cdot x_2 \).
- 🔴 El eje de simetría se encuentra en \( \frac{x_1 + x_2}{2} \) y es el punto medio entre las dos raíces de la función.
- 🔵 El vértice de la parábola se encuentra en el eje de simetría, y su coordenada y se calcula sustituyendo el valor de \( x \) del vértice en la función.
- 📈 Si el coeficiente \( a \) es positivo, la función es cóncava hacia arriba, y si es negativo, es cóncava hacia abajo.
- 🤔 Al analizar la función \( f(x) = 2(x - 3)(x + 1) \), se encuentran los ceros en \( x = 3 \) y \( x = -1 \).
- 🔵 La ordenada al origen para esta función es \( -6 \), ya que \( a \cdot x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-3) \cdot 1 \).
- 📍 El eje de simetría para \( f(x) = 2(x - 3)(x + 1) \) es \( x = 1 \).
- 🔴 El vértice de la función está en el punto \( (1, -8) \), encontrado sustituyendo \( x = 1 \) en la función.
- 📊 La función crece desde \( x = 1 \) hacia el infinito y disminuye desde el infinito negativo hasta \( x = 1 \).
- 📈 Los intervalos de positividad son \( (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \) y el intervalo de negatividad es \( (-1, 3) \).
Q & A
¿Qué es la función cuadrática y cómo está representada en el vídeo?
-Una función cuadrática es una función de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. En el vídeo, la función cuadrática se representa en forma factorizada como f(x) = a(x - x1)(x - x2).
¿Cuál es el dominio de una función cuadrática?
-El dominio de todas las funciones cuadráticas es todos los números reales (ℝ).
¿Cómo se encuentran los ceros de una función cuadrática en forma factorizada?
-Los ceros de una función cuadrática en forma factorizada se encuentran al igualar la función a cero y resolver para x, lo que da las soluciones x1 y x2.
¿Cómo se calcula la ordenada al origen de una función cuadrática en forma factorizada?
-Para encontrar la ordenada al origen, se hace f(0) en la función, lo que en la forma factorizada se convierte en a * x1 * x2.
¿Cómo se determina el eje de simetría de una función cuadrática?
-El eje de simetría se encuentra en la posición x = (x1 + x2) / 2, que es el punto medio entre las dos raíces x1 y x2 de la función.
¿Cómo se encuentra el vértice de una función cuadrática?
-El vértice de una función cuadrática se encuentra en el punto (x, y), donde x es el eje de simetría y y se calcula sustituyendo el valor de x en la función.
¿Cómo se determina si una función cuadrática es cóncava o convexa?
-Una función cuadrática es cóncava si su coeficiente principal (a) es negativo, y convexa si es positivo.
¿Cómo se grafica una función cuadrática dada en forma factorizada?
-Para graficar una función cuadrática en forma factorizada, se identifican los ceros, se encuentra el vértice y se determina el eje de simetría. Luego, se dibuja la parábola teniendo en cuenta esta información y la concavidad de la función.
¿Cómo se encuentran los conjuntos de positividad y negatividad de una función cuadrática?
-Los conjuntos de positividad y negatividad se determinan analizando los valores de x para los cuales la función toma valores positivos o negativos, respectivamente, y teniendo en cuenta el eje de simetría y el vértice.
¿Cómo se identifican los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática?
-Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se identifican en base a la concavidad de la función y su eje de simetría. Si la parábola es cóncava, crece a partir del vértice hacia afuera; si es convexa, crece hacia el vértice.
¿Cómo se aplican estos conceptos para analizar la función f(x) = 2(x - 3)(x + 1)?
-Se aplican los conceptos de dominio, ceros, ordenada al origen, eje de simetría y vértice para analizar la función. En este caso, los ceros son x = 3 y x = -1, la ordenada al origen es -6, el eje de simetría es x = 1, y el vértice se encuentra en (1, -8).
¿Cuál es el rango de la función cuadrática que se analizó en el vídeo?
-El rango de la función cuadrática que se analizó es desde -8 hasta más infinito (-8, +∞), debido a que el coeficiente principal es positivo y el vértice es el punto más bajo en el gráfico.
Outlines
📚 Análisis de Funciones Cuadráticas en Forma Factorizada
En el primer párrafo, se aborda el análisis de funciones cuadráticas presentadas en forma factorizada. Se define la función f(x) como 'a * (x - x1) * (x - x2)', con la condición de que 'a' sea distinto de cero. Se discute el dominio de la función, que incluye todos los reales, y se identifican los ceros como 'x1' y 'x2'. Además, se describe cómo encontrar la ordenada al origen, el eje de simetría y el vértice de la función. Finalmente, se presenta un ejercicio práctico para graficar y analizar la función 'f(x) = 2 * (x - 3) * (x + 1)', incluyendo el cálculo del dominio, los ceros, la ordenada al origen y el eje de simetría.
📈 Graficación y Caracterización de la Función Cuadrática
El segundo párrafo se enfoca en la graficación y caracterización de la función cuadrática 'f(x) = 2 * (x - 3) * (x + 1)'. Se calcula la ordenada al origen, que resulta en -6, y se determina el eje de simetría y el vértice de la función, localizados en 'x = 1' y 'f(1) = -8', respectivamente. Se menciona que el coeficiente principal es positivo, lo que indica que la función es cóncava. Se realiza un análisis de los intervalos de positividad y negatividad, y se describe el comportamiento de la función en términos de crecimiento y decrecimiento. El párrafo concluye con una revisión gráfica de los resultados analíticos obtenidos y una llamada a la acción para suscribirse al canal, compartir el contenido y dejar comentarios.
Mindmap
Keywords
💡Análisis de la función cuadrática
💡Dominio
💡Ceros
💡Ordenada al origen
💡Eje de simetría
💡Vértice
💡Concavidad
💡Gráfica aproximada
💡Conjunto de positividad y negatividad
💡Intervalo de crecimiento y decrecimiento
💡Factorización
Highlights
Se estudia el análisis de la función cuadrática en forma factorizada.
La función f(x) está dada por f(x) = a(x - x1)(x - x2), con a ≠ 0.
El dominio de todas las funciones cuadráticas es todos los reales.
Los ceros de la función son x1 y x2.
Para encontrar la ordenada al origen, se evalúa f(0).
El eje de simetría se encuentra en x = (x1 + x2) / 2.
El vértice se encuentra exactamente entre las raíces de la función.
Se realiza un ejercicio práctico graficando y analizando f(x) = 2(x - 3)(x + 1).
El dominio de la función es todos los reales.
Los ceros de la función son -1 y 3.
La ordenada al origen se calcula como 2 * 3 * (-1), lo que resulta en -6.
El eje de simetría se encuentra en x = 1.
El vértice está ubicado en el punto (1, -8).
El coeficiente principal es positivo, indicando que la función es cóncava.
La función toma valores positivos en los intervalos (-∞, -1) y (3, +∞).
La función toma valores negativos en el intervalo (-1, 3).
El intervalo de crecimiento es desde 1 hasta +∞.
El intervalo de decrecimiento es desde -∞ hasta 1.
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Transcripts
gerula sina.com
en este vídeo vamos a estudiar el
análisis de la función cuadrática dado
en forma factoría
tenemos la función f
que va de reales en reales
tal qué
fx es igual a a por x menos x1 por x
menos x2 siempre teniendo presente que a
tiene que ser distinto de 0
entonces y de acuerdo a esto comencemos
a realizar el análisis de la función en
primer lugar
analizamos el dominio de la misma y
sabemos que el dominio de todas las
funciones cuadráticas son todos los
reales
por otro lado los ceros
analíticamente trazar los 0 es lo que
hacíamos es igual a la función a 0 en
este caso cuando le igualamos a 0 el
conjunto de ceros será igual a x1
x2 este será entonces el conjunto de
ceros de las funciones cuadráticas dadas
en forma factoría para hallar la
ordenada
al origen
recordemos que lo que hacíamos era hacer
efe de 0 si hacemos
efe de cero en nuestra función podemos
ver que nos va a quedar como a que
multiplica a menos x 1 por menos x 2
entonces la intersección con el eje de
ordenadas va a ser el punto p que es
igual a 0 de x
x
x 1 x x2
de esta forma obtenemos la ordenada al
origen de nuestra función cuadrática
dada en forma factor ya por otro lado
tenemos el eje de simetría para hallar
el eje de simetría y el vértice
de nuestra función cuadrática para usar
la equis de vértice lo que haremos será
hacer x 1 + x2 / 2 ya que sabemos
que el vértice se encuentra exactamente
entre las raíces
esta x de vértice también va a
corresponder como bien sabemos en las
funciones cuadráticas con el eje de
simetría por otro lado para usarla y de
vértice es decir en qué valor de i se
encuentra ubicado en nuestro vértice lo
que vamos a hacer será hacer efe de x de
vértice entonces pasemos ahora a
realizar un ejercicio práctico se nos
pide graficar y analizar la siguiente
función f x es igual a 2 que multiplica
a x menos 3 por x más 1 lo primero que
vamos a hacer será hallar el dominio de
esta función
dijimos que el dominio de las funciones
cuadráticas son todos los reales
por otro lado los ceros o el conjunto de
ceros de esta función será x1 y x2 por
lo tanto para nuestro caso tenemos por
un lado menos 1 y por otro lado tres
ahora nos falta averiguar la ordenada al
origen para hacer la ordenada al origen
o bien hacemos efe en cero o utilizamos
la formulita que les enseñé recién
entonces hallamos ahora la ordenada al
origen
la fórmula para hallar la era a por x 1
por x2 que en nuestro caso será 2 x 3 x
- 1
y esto nos da como resultado menos 6
entonces la orden al origen va a estar
ubicada en el punto p que es el punto
cero menos 6 nos falta avanzar el eje de
simetría y luego el vértice el eje de
simetría recordemos que la fórmula era x
1 + x2 / 2 entonces tenemos que x 1 es 3
más menos 1 todo esto
/ 2 nos queda que el eje de simetría se
encuentra en una entonces el eje de
simetría va a estar ubicado en x igual a
1 esta x también va a ser la x de
vértice entonces la x de vértice es
igual a 1 y para usar la y de vértice lo
que tenemos que hacer es efe de 1
reemplacemos 1 en nuestra función y nos
va a quedar 2 que multiplica a 1 - 3
por uno más uno entonces
efe de uno nos da como resultado dos por
menos 2
por 2
y esto es igual a decir que f 1 es igual
a menos 8 por lo tanto nuestro vértice
va a estar ubicado en el punto 1 menos 8
por otro lado el coeficiente principal
es positivo por lo tanto sabemos que
esta función es una función cóncava
positiva entonces ahora que tenemos
todos estos datos pasemos a realizar un
gráfico aproximado de la función tenemos
entonces el gráfico de la función fx2
por mis menos 3 x x + 1 podemos ver que
tenemos el conjunto de ceros en menos 1
y 3 el vértice ubicado en 1 menos 8 y la
ordenada al origen ubicada en 0 menos 6
es decir hemos comprobado gráficamente
los resultados obtenidos de manera
analítica el dominio de esta función
dijimos que eran todos los valores
reales y la imagen de la misma va a ser
desde menos 8
en -8 hasta más infinito
por otro lado analicemos los conjuntos
de positividad y negatividad podemos ver
que esta función toma valores positivos
en el intervalo que va desde menos
infinito hasta menos 1
unión desde 3 hasta más infinito
en cambio el conjunto de negatividad de
la misma se encuentra en el intervalo
que va desde menos 1 hasta 3 ya que es
en este intervalo donde la función toma
valores negativos por otro lado y
estudiando el intervalo de crecimiento y
el de decrecimiento el intervalo de
crecimiento de la misma será desde 1
hasta más infinito
y por otro lado el intervalo de
decrecimiento será desde menos infinito
hasta 1
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