Problema de Aplicación Función Racional

Ricardo Jara

3 Nov 202017:14

Summary

TLDREn este video, se realiza un análisis detallado de una función racional en el contexto de un problema de interés financiero que varía con el tiempo. Se discute la importancia de entender el dominio de la función, identificando valores específicos que hacen que el denominador sea cero y, por lo tanto, no definidos en esos puntos. Seguidamente, se exploran las raíces de la función, es decir, los valores que hacen que la función sea cero, y se resuelven las ecuaciones correspondientes. Además, se examinan los asientos horizontales y verticales de la función, que son puntos de inflexión donde la función tiende a valores extremos. Se utiliza la gráfica conceptual para ilustrar cómo la función se comporta a medida que el tiempo se acerca a ciertos valores críticos. Finalmente, se aplica el análisis a un escenario real, donde el interés financiero crece hasta un punto y luego se estabiliza, proporcionando una perspectiva sobre cuándo es ventajoso invertir en función del tiempo. El video concluye con una invitación a los espectadores para que exploren más ejemplos de funciones racionales y compartan sus dudas.

Takeaways

🔢 El video aborda el análisis de una función racional, específicamente relacionada con el interés en función del tiempo, suponiendo que el tiempo se mide en años.
📊 Se destaca que el denominador de una función racional no puede ser cero porque esto haría que la función no exista, es decir, no se puede dividir por cero.
🚫 Se menciona que los valores que hacen que el denominador sea cero son críticos ya que estos valores (en este caso, -9 y 9) no están incluidos en el dominio de la función.
👀 Se recomienda explorar la lista de reproducción de funciones racionales en el canal para entender mejor este tipo de funciones mediante cientos de ejemplos disponibles.
🔍 El análisis matemático detalla cómo encontrar las raíces de la función, es decir, los valores que hacen que la función valga cero, lo cual se logra cuando el numerador es cero.
📈 Se explica el concepto de asintota horizontal y cómo determinarla dependiendo de los grados del numerador y del denominador de la función.
🔎 A través del video se hace énfasis en cómo la función no tiene validez en -9 y 9, describiendo estos puntos como asintotas verticales donde la función tiende a infinito.
📝 Se muestra cómo cerca de los puntos críticos de -9 y 9, la función se comporta de manera que se dispara hacia el infinito, dependiendo de la dirección desde la cual se aproxime al valor crítico.
🔄 Se describe la estabilidad de la función alrededor de un valor de 20 cuando x tiende a infinito, lo cual indica un límite en el crecimiento o decrecimiento del interés a largo plazo.
📅 Finalmente, se sugiere que para inversiones a corto plazo (entre 0 y 9 años), el interés sube constantemente, pero después de los 9 años, el aumento del interés tiene un límite máximo de 20.

Q & A

¿Qué representa la fórmula mencionada al inicio del vídeo?
-La fórmula mencionada representa el interés en función del tiempo, donde el tiempo podría ser en años.
¿Por qué el denominador en una función racional no puede ser cero?
-El denominador no puede ser cero porque matemáticamente la división por cero no está definida, lo que resultaría en una función indefinida.
¿Cuáles son los valores que quedan fuera del dominio de la función descrita?
-Los valores que quedan fuera del dominio son -9 y 9, porque al calcular estos valores en la función, el denominador se vuelve cero.
¿Qué ocurre con la función cuando el valor de 'x' se aproxima a 9 desde la derecha o la izquierda?
-Cuando 'x' se aproxima a 9 desde cualquier dirección, el valor de la función tiende a infinito debido a que el denominador se acerca a cero, haciéndolo un valor muy pequeño y positivo.
¿Qué es un asintota horizontal y cómo se determina para esta función?
-Un asintota horizontal es un valor al que se acerca la función cuando 'x' tiende a infinito. En este caso, se determina como 20, ya que los grados del numerador y denominador son iguales y el asintota es el cociente de los coeficientes principales.
¿Cómo se calculan las raíces de la función y qué significan?
-Las raíces de la función son los valores de 'x' que hacen que el numerador sea cero, resultando en un valor total de la función de cero. Se calculan resolviendo la ecuación del numerador igualado a cero.
¿Cuál es la importancia de realizar una gráfica conceptual de la función?
-Realizar una gráfica conceptual ayuda a visualizar el comportamiento de la función, incluyendo dónde no existe, sus asintotas, y cómo se comporta en diferentes intervalos de 'x'.
¿Cuándo y por qué la función no tiene validez en ciertos puntos específicos?
-La función no tiene validez en los puntos -9 y 9 porque el denominador se vuelve cero, lo que hace que la función sea indefinida en esos valores.
¿Cuál es el comportamiento de la función cuando 'x' es un número grande?
-Cuando 'x' es un número grande, la función tiende a estabilizarse en 20, acercándose al asintota horizontal que se ha calculado.
¿Por qué es útil entender cómo funciona una función racional según el vídeo?
-Entender cómo funciona una función racional es útil porque permite resolver y comprender diversos problemas prácticos y teóricos, especialmente aquellos relacionados con la variabilidad de ciertas cantidades en función de otras.

Outlines

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📚 Análisis de la función racional y su contexto

Este párrafo aborda el análisis de una función racional en dos partes: primero, de manera matemática, y luego, en el contexto de su aplicación. Se destaca la importancia de entender el dominio de la función, es decir, los valores para los que la función está definida, excluyendo los valores que hacen que el denominador sea cero. Además, se menciona la restricción de que el tiempo no puede ser negativo en el contexto del problema. Seguidamente, se analizan las raíces de la función, es decir, los valores que hacen que la función valga cero, y se resuelve una ecuación para encontrar estas raíces, que resultan ser la raíz cuadrada de 85 y su opuesto.

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🔍 Asintotas y comportamiento de la función racional

En este párrafo se examina el comportamiento de la función racional cuando la variable independiente, en este caso el tiempo, tiende a valores extremos como el infinito. Se discuten las asintotas horizontales y se explica cómo el grado del numerador en relación con el denominador afecta el comportamiento de la función. Se calcula la asintota horizontal encontrando la división de los coeficientes principales del numerador y del denominador. Se menciona que la función se estabilizará en un valor específico, en este caso 20, cuando el tiempo crezca indefinidamente. Se sugiere la creación de una gráfica conceptual para visualizar este comportamiento.

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🚫 Valores excluidos y vertical asymptotes

Este párrafo explora los valores que la función no toma, denominados vertical asymptotes, que son valores específicos de la variable independiente que hacen que la función se dispare hacia el infinito. Se describe cómo, al acercarse a estos valores, el denominador se acerca a cero, lo que resulta en un comportamiento inestable de la función. Se calculan y discuten los signos de los valores del numerador y del denominador cerca de estos puntos, y cómo esto afecta la dirección a la que la función tiende (hacia el infinito positivo o negativo). Además, se menciona el valor específico que la función toma al acercarse a uno de estos puntos, que es 20 en este caso.

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📈 Análisis de la función en un problema de inversión

Por último, se aplica el análisis de la función racional al problema de una inversión. Se considera el tiempo en años y cómo el interés varía con el tiempo. Se sugiere que conviene invertir entre 0 y 9 años, donde el interés aumenta continuamente. Después de los 9 años, el interés alcanza un punto en el que se estabiliza en un valor máximo de 20. Se anima a los espectadores a indagar más sobre el tema y a buscar más ejemplos en el canal, y se les invita a dejar sus dudas o a contactar a través de WhatsApp.

Mindmap

Keywords

💡Análisis de la función racional

El análisis de la función racional es un método matemático utilizado para estudiar las propiedades de una función que es la división de dos polinomios. En el vídeo, se utiliza para analizar cómo varía el interés en función del tiempo, representando una aplicación real de las funciones racionales.

💡Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente para los cuales la función está definida. En el contexto del vídeo, el dominio es importante porque el interés no puede ser negativo, restringiendo así el dominio a valores no negativos.

💡Tasa de interés

La tasa de interés es el porcentaje que se paga o recibe por un préstamo o una inversión. En el vídeo, la tasa de interés es representada por la fórmula de la función racional y es analizada en función del tiempo, mostrando cómo crece o disminuye.

💡Raíces de una función

Las raíces de una función son los valores específicos de la variable independiente que hacen que la función valga cero. En el vídeo, se buscan las raíces para encontrar los puntos en los que el interés es nulo, lo cual es crucial para entender el comportamiento de la función racional.

💡Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son líneas que la gráfica de una función se acerca a medida que la variable independiente se aleja hacia valores extremos (infinitos o negativos infinitos). En el vídeo, se discute cómo la función racional se estabiliza en un valor horizontal, que en este caso es 20, para valores de tiempo muy grandes.

💡Gráfica conceptual

Una gráfica conceptual es una representación visual simplificada de una función o modelo matemático que ayuda a comprender su comportamiento general sin detalles específicos. En el vídeo, se sugiere dibujar una gráfica conceptual para visualizar mejor el comportamiento de la función racional en diferentes intervalos de tiempo.

💡Valores extremos

Los valores extremos de una función son aquellos que no pertenecen al dominio de la función, generalmente causados por divisiones por cero o por valores que hacen que el resultado sea inalcanzable. En el vídeo, se mencionan los valores extremos -9 y 9, que son límites para el dominio de la función racional.

💡Polinomios

Los polinomios son expresiones matemáticas constituidas por la suma de términos, donde cada término es un coeficiente multiplicado por una potencia de la variable. En el análisis de la función racional del vídeo, los polinomios son los numeradores y denominadores que definen la función.

💡Grados de polinomios

El grado de un polinomio es la máxima potencia de la variable que aparece en él. En el vídeo, se compara el grado del polinomio del numerador con el del denominador para determinar el comportamiento asintótico de la función racional, es decir, cómo se comporta cuando la variable independiente se aleja hacia valores extremos.

💡Inversión

En el contexto del vídeo, la inversión se refiere a la práctica de poner dinero en un instrumento financiero con la expectativa de obtener intereses o ganancias. Se discute cuál es el período óptimo de tiempo para invertir, basado en el análisis de la función racional que representa los intereses a lo largo del tiempo.

💡Problema de aplicación

Un problema de aplicación es una situación real o hipotética que se resuelve utilizando conceptos matemáticos para encontrar soluciones prácticas. En el vídeo, el análisis de la función racional se aplica a un escenario hipotético de inversión para determinar el mejor momento para invertir según el crecimiento del interés.

Highlights

El análisis de la función racional se realiza primero de forma matemática y luego se contextualiza.

La fórmula representa el interés en función del tiempo, pudiendo representar años o cualquier otra unidad de tiempo.

El eje de los 100 años se utiliza para medir la tasa de interés.

Se destaca la importancia de no dividir por cero, ya que sería un error matemático.

Se recomienda visitar el listado de reproducción de funciones racionales para encontrar ejemplos.

El denominador no puede ser cero, ya que esto determinaría el dominio de la función.

El dominio de la función se ve afectado por los valores que hacen que el denominador sea cero.

Las raíces de la función son los valores que hacen que la función valga cero.

Se resuelve algebraicamente para encontrar las raíces, utilizando el módulo.

Las raíces se encuentran utilizando la raíz cuadrada y se proporcionan aproximaciones numéricas.

Se discute el asintotica horizontal y cómo se comporta la función a medida que el valor de x tiende a infinito.

Se explica cómo se calcula el asintotica horizontal comparando los grados del numerador y del denominador.

Se menciona que la función tiende a estabilizarse en un valor específico para valores grandes de x.

Se propone hacer una gráfica conceptual para visualizar mejor el comportamiento de la función.

Se describe el comportamiento de la función cerca de los valores que hacen que el denominador sea cero.

Se discute cómo la función se acerca a cero y su comportamiento cuando el denominador es muy cercano a cero.

Se habla sobre los signos de la función y cómo estos afectan el valor de la función cerca de los puntos de discontinuidad.

Se contextualiza el problema de aplicación, hablando sobre la conveniencia de una inversión durante un rango de tiempo específico.

Se sugiere que conviene invertir entre 0 y 9 años para obtener un interés creciente y luego estabilizado después de 9 años.

Se invita a los espectadores a explorar más sobre funciones racionales y a dejar sus dudas en los comentarios o por WhatsApp.