¿Qué es la derivada? EXPLICACIÓN DESDE CERO
Summary
TLDREste video ofrece una introducción a la derivada, comenzando con una breve historia de su desarrollo y luego profundizando en su definición matemática. Se explica que una recta secante es una línea que corta una figura en más de un punto, mientras que una recta tangente toca la figura en un solo punto. Los antiguos griegos, como Euclides y Apolonio de Perga, ya conocían cómo trazar tangentes, pero el problema se complicaba con figuras más complejas como parábolas y elipses. La geometría analítica de René Descartes simplificó muchos problemas al introducir el plano cartesiano, pero aún así, la determinación de tangentes en figuras complejas permaneció difícil. Finalmente, fue el matemático Fermat quien resolvió parcialmente el problema para parábolas, y más tarde Newton y Leibniz introdujeron la derivada, que permite encontrar la recta tangente en cualquier punto de una gráfica. El video utiliza gráficas y ejemplos, como la función f(x) = x^2, para ilustrar cómo se calcula la derivada y su importancia en la resolución de problemas matemáticos.
Takeaways
- 📐 La derivada es una herramienta matemática utilizada para encontrar la recta tangente a una gráfica en un punto dado.
- ✍️ La introducción de la geometría analítica por René Descartes simplificó la forma de resolver problemas matemáticos al combinar álgebra y geometría.
- 👴 Los antiguos griegos, como Euclides y Apolonio de Pega, ya conocían cómo trazar tangentes a figuras geométricas, pero tenían limitaciones debido a las herramientas disponibles.
- 🔍 La traza de tangentes a figuras más complejas, como parábolas y elipses, fue resuelta por Apolonio en la antigüedad, pero aún representaba un desafío en la época de los griegos.
- 🧩 Pierre de Fermat resolvió parcialmente el problema de las tangentes en parábolas, pero aún quedaba mucho por descubrir para figuras más complejas.
- 🎢 Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz introdujeron el concepto de derivada, que permitió encontrar la pendiente de la tangente a una curva en un punto específico.
- 📈 La gráfica de una función, como x elevado al cuadrado (x²), muestra una parábola que se abre hacia arriba y es útil para entender cómo se calcula la derivada.
- 🔢 La derivada se calcula tomando el límite cuando la distancia 'h' entre dos puntos se acerca a cero, lo que da la pendiente de la recta tangente.
- 📉 Una recta secante es diferente a una recta tangente porque la secante intersecta la curva en más de un punto, mientras que la tangente solo lo hace en uno.
- 🤔 La derivada también puede entenderse como la tasa a la que una cantidad cambia con respecto a otra, proporcionando información sobre el comportamiento de una función en un punto específico.
- 📚 El conocimiento de cómo encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos es fundamental para entender el concepto de derivada.
Q & A
¿Qué es una derivada en términos generales?
-Una derivada es una herramienta matemática que se utiliza para encontrar la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado, lo que representa la tasa de cambio instantánea de una función en ese punto.
¿Qué es la diferencia entre una recta secante y una recta tangente?
-Una recta secante es una línea que intersecta a una curva en dos puntos, mientras que una recta tangente toca la curva en exactamente un punto y no la cruza.
¿Quiénes fueron algunos de los matemáticos antiguos que trabajaron en la teoría de las rectas tangentes?
-Euclides y Apolonio de Pega fueron matemáticos antiguos que trabajaron en la teoría de las rectas tangentes, especialmente en la de curvas geométricas como círculos y elipses.
¿Cómo se puede encontrar la recta tangente a una circunferencia en un punto dado?
-Para encontrar la recta tangente a una circunferencia en un punto dado, se puede trazar una recta perpendicular al radio de la circunferencia en ese punto.
¿Qué aportó René Descartes a la geometría que simplificó la tarea de trazar rectas tangentes?
-René Descartes aportó la geometría analítica, introduciendo los dos ejes ordenados que conforman el plano cartesiano, lo que permitió utilizar álgebra en lugar de limitarse a reglas y compases para trazar rectas tangentes.
¿Cómo se define matemáticamente la pendiente de una recta que pasa por dos puntos?
-La pendiente de una recta que pasa por dos puntos se define como la diferencia en las y-coordenadas de los puntos dividida por la diferencia en las x-coordenadas, utilizando la fórmula (y2 - y1) / (x2 - x1).
¿Por qué es complicado encontrar la recta tangente a una gráfica complicada usando solo métodos de los griegos antiguos?
-Los métodos de los griegos antiguos, que consistían en el uso de reglas y compases sin el apoyo de la álgebra o la geometría analítica, eran limitados y no permitían resolver eficientemente el problema de las rectas tangentes a gráficas complejas como parábolas o polinomios de alto grado.
¿Quién fue el matemático que logró resolver parcialmente el problema de las rectas tangentes en parábolas?
-Pierre de Fermat fue el matemático que logró resolver parcialmente el problema de las rectas tangentes en parábolas.
¿Cómo se resuelve el problema de encontrar la recta tangente a una gráfica usando la derivada?
-Para encontrar la recta tangente a una gráfica en un punto usando la derivada, se toma el límite de la pendiente de la recta secante cuando la distancia entre los puntos que definen la secante tiende a cero.
¿Qué es el símbolo utilizado para representar la derivada de una función?
-El símbolo utilizado para representar la derivada de una función es 'f' con una 's' invertida encima, que se escribe como 'f'' o 'df/dx'.
¿Cómo se relaciona la pendiente de la recta tangente con la derivada de una función en un punto?
-La pendiente de la recta tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto, ya que la derivada representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.
¿Por qué es importante la derivada en las matemáticas y las aplicaciones?
-La derivada es importante porque permite estudiar la tasa de cambio de funciones, lo que es fundamental en áreas como la física, la ingeniería, la economía y la生物学 para modelar y predecir comportamientos en sistemas dinámicos.
Outlines
😀 Introducción a la derivada y su importancia histórica
Este primer párrafo introduce la derivada con una breve referencia histórica. Se menciona que los antiguos griegos, como Euclides y Apolonio de Pérgamo, ya conocían cómo trazar tangentes a diversas figuras, aunque el proceso se complicaba para figuras más complejas como parábolas o elipses. La geometría analítica, introducida por René Descartes, simplificó muchos problemas antiguos al combinar álgebra y geometría. Sin embargo, el problema de encontrar tangentes a figuras complejas permaneció difícil hasta que matemáticos como Fermat y, posteriormente, Newton y Leibniz, desarrollaron el concepto de derivada. La derivada es fundamental para encontrar la recta tangente a cualquier gráfico en un punto dado.
📐 Conceptos básicos: recta secante y recta tangente
El segundo párrafo se enfoca en los conceptos de recta secante y recta tangente. Se aclara que una recta secante intersecta una figura en más de un punto, mientras que una recta tangente toca la figura en exactamente un punto. Se ilustra con ejemplos cómo los griegos trazaban tangentes a una circunferencia utilizando una perpendicular al radio. La explicación prosigue con la descripción de cómo, con el avance de la geometría analítica y el desarrollo del álgebra, se volvió más sencillo encontrar tangentes, aunque el proceso seguía siendo complejo hasta el desarrollo del cálculo de derivadas.
🧮 Proceso para encontrar la derivada de una función
Este párrafo detalla el proceso para encontrar la derivada de una función, que es esencial para determinar la pendiente de una recta tangente. Se describe cómo se inicia trazando una gráfica de una función f(x) y seguidamente se marca un punto en la gráfica con coordenadas (x, f(x)). Luego, se considera un segundo punto un poco más adelante a lo largo de la curva, a una distancia h, y se construye la recta secante entre estos dos puntos. Para encontrar la pendiente de esta recta, se utiliza la fórmula de la pendiente que involucra las coordenadas de los puntos. Finalmente, se aclara que la derivada se obtiene tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que da la pendiente de la recta tangente, y se concluye con una llamada a la audiencia para seguir el canal para más contenido similar.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Recta secante
💡Recta tangente
💡Límite
💡Geometría analítica
💡Euclides y Apolonio
💡Fermat
💡Newton y Leibniz
💡Función
💡Parábola
💡Coordenadas
Highlights
Se comienza con una breve introducción histórica sobre la derivada.
Se define matemáticamente la derivada con ayuda de gráficas para una mejor comprensión.
Se diferencia entre una recta secante y una recta tangente.
Los antiguos griegos, como Euclides y Apolonio de Pega, ya conocían cómo trazar tangentes.
La geometría analítica de René Descartes simplificó problemas de la antigua Grecia.
Fermat resolvió parcialmente el problema de las rectas tangentes en parábolas.
Newton y Leibniz introdujeron la derivada como una herramienta para encontrar la recta tangente en cualquier punto de una gráfica.
Se muestra cómo trazar la gráfica de una función f(x) para encontrar la coordenada y en un punto dado.
Se utiliza la función x^2 como ejemplo para demostrar cómo encontrar la coordenada y.
Se describe el proceso de encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Se aclara que la pendiente de una recta se encuentra mediante la fórmula (y2 - y1) / (x2 - x1).
Se ilustra cómo la derivada se relaciona con el límite cuando la distancia h entre dos puntos tiende a cero.
Se resalta que la derivada es el límite de la pendiente de la recta secante cuando h se acerca a cero.
Se menciona que la derivada se representa con el símbolo 'd/dx' o 'f''(x)'.
Se ofrece un enlace a un video para entender mejor cómo encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
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Transcripts
en este vídeo vamos a ver qué es la
derivada vamos a empezar con una breve
introducción histórica y después vamos a
a dar la definición matemáticamente
junto con la ayuda de algunas gráficas
para que se vea gráficamente lo que la
derivada nos ayuda a resolver
para entender lo que es la derivada
primero debemos entender lo que es una
recta secante y una recta tangente
cuando a una circunferencia lo corta una
línea recta en más de un punto en este
caso en estos dos puntos se dice que
dicha recta es una recta secante en
general a cualquier figura que nosotros
veamos que una recta a la corta en
varios puntos será una recta secante
una recta tangente en cambio es una
recta que pasa por únicamente un punto
tangente quiere decir tocar la recta
nada más toca a la gráfica en un punto
no alcanza a cortar en dos
eso es una tangente
los antiguos griegos como euclides
y apolonio de pega sabían trazar
tangentes a una gran variedad de figuras
la recta tangente a una circunferencia
es la más fácil de trazar realmente lo
único que se hace es trazar una recta
perpendicular a un radio de la
circunferencia y con ello tendremos una
tangente en cualquier punto pero el
problema se complica un poco más cuando
se trata de parábolas o de elipse o de
hiper bolas sin embargo estos problemas
ya los había resolver apolonio en la
antigüedad
pero por ejemplo si quisiéramos obtener
la recta tangente a cualquier punto de
esta gráfica que se ve mucho más
complicada o de esta otra o incluso de
una gráfica polinomio de grado 5 el
problema es que es muchísimo más
complicado de realizar con los métodos
que tenían los griegos los griegos las
cosas que hacían lo hacían utilizando
únicamente regla y compás no tenían
álgebra no tenían geometría analítica no
tenían los ejes coordenada 2 simplemente
utilizaban por decirlo de alguna manera
palitos y cuerdas era todo todo lo que
podían utilizar y con ello lograron
trazar tangentes a las figuras que antes
les dije
rené descartes fue el inventor como
sabemos de la geometría analítica él
introdujo los dos ejes ordenados que se
llama plano cartesiano en su honor y con
esto muchos de los problemas de la
antigua grecia se simplificaron bastante
al utilizar álgebra en lugar de limitar
los regla y compás sin embargo el
problema de trazar tangentes a una gran
variedad de figuras seguía siendo algo
muy complejo y algo que aún no se
lograba resolver en su época un gran
matemático llamado fermat logró resolver
parcialmente el problema
en parábolas por ejemplo pero aún con
gráficas como las que les mostré ahorita
que son muy complicadas el problema
seguía siendo algo muy muy complejo de
hacer el problema fue resuelto
finalmente por newton y después por line
is introduciendo precisamente lo que es
la derivada la derivada en pocas
palabras nos sirve para encontrar la
recta tangente a cualquier gráfica en un
punto dado eso es lo que es la derivada
pero para entenderlo matemáticamente
vamos a empezar trazando una gráfica de
alguna función
y bueno eso es lo que haremos a
continuación
empezamos con la gráfica de alguna
función cualquier función una función f
x ésta sería la gráfica
en esta gráfica vamos a señalar algún
punto
digamos este punto
dicho punto tiene una coordenada x
qué es esa que se ve allí
y también tiene una cierta coordenada
para encontrar la coordenada y lo que
hacemos es sustituir en nuestra función
para entender mejor esta idea vamos a
considerar la gráfica de la función x
cuadrada fx igual a x cuadrada los que
ya la conocen saben que es una parábola
que abre hacia arriba
y supongamos que queremos encontrar la
coordenada y cuando x vale por decir 2
si x vale 2
nosotros aquí en la gráfica podemos ver
que vale 4 pero si no tuviéramos la
gráfica como le haríamos para saber
por lo que hacemos es sustituir el x
igualados en nuestra función inicial es
decir en lugar de escribir x vamos a
escribir un 2 y aquí también en lugar de
escribir una x escribimos un 2 entre la
operación es elevar 2 al cuadrado lo que
nos da 4
y vemos que así es para cualquier
coordenada si queremos encontrar por
ejemplo cuánto vale la coordenada y en x
igual a 3
hacemos lo mismo sustituimos el 33 al
cuadrado nos queda 9 podemos ver aquí en
la gráfica que en el 3
efectivamente vale 9 y así para
cualquier otra coordenada
coordenadas negativas etcétera
lo mismo es lo que haremos en la otra en
la otra función para entender lo que es
la derivada nada más que ahí no estamos
usando los números explícitamente sino
estamos usando letras en lugar de poner
2.45 estamos poniendo equis y en lugar
de poner el 6 que sería la coordenada y
vamos a poner simplemente fx que será su
valor al sustituir la equis ahí vamos a
continuar entonces con nuestra gráfica
entonces la coordenada y sera
fx
15 está de aquí
marquemos más adelante a una cierta
distancia h
un poquito más adelante está chino más
es para representar que va a ser un poco
más adelante vamos a marcar otro punto
este punto de aquí como está adelante de
la equis una cierta distancia h su
coordenada x va a ser x + h
es simplemente a esta de esta coordenada
x haberle sumado un cierto número no
importa haberlos tomado un 11.5
10.1 cualquier distancia esa distancia
estamos representando con h
e igual que antes para encontrar la
coordenada y tendremos que sustituir el
valor de la coordenada x en nuestra
función es decir que para la coordenada
y vamos a tener fx más h
porque simplemente sustituimos el x + h
aquí adentro en lugar de la x ponemos x
+ h
ahí tenemos pues dos puntos dos puntos
cuyas coordenadas son equis fx y equis
más h fx más h
nosotros a través de dos puntos podemos
trazar una línea recta e incluso podemos
encontrar su ecuación
la ecuación de una línea recta que pasa
por dos puntos es muy fácil de encontrar
si no saben o no se acuerdan cómo se
hace les recomiendo que antes de seguir
viendo el vídeo vean el otro vídeo que
les voy a poner aquí el link para que
entiendan bien este punto porque de otra
manera no va a quedar muy claro
necesitan recordar cómo sacar la
ecuación de una recta que pasa por dos
puntos bueno vamos a dibujar esa recta
esta sería la recta que pasa por estos
dos puntos voy a quitar ahorita las
etiquetas de éstas para no confundir
entonces ahí tenemos una recta que pasa
por dos puntos
para nosotros encontrar la ecuación de
una recta que pasa por dos puntos
básicamente lo que necesitamos lo más
importante es su pendiente recordemos
que la pendiente de una recta es la
medida de la inclinación de dicha recta
la pendiente de una recta se representa
con m y se encuentra mediante esta
fórmula de 21 dividido entre x 2 - x 1
estallidos de 1 x 2 x 1 son las
coordenadas de cada punto de este punto
x 2 sería la coordenada de x 2 sería la
coordenada i y de este punto sería x 1 y
1 así que sustituimos en esta fórmula
obteniendo esto
aquí abajo tenemos x + h x así que
podemos cancelar esta x con esta x y nos
queda esto de aquí
esa sería la pendiente de esta recta la
recta secante pero como dijimos al
principio la derivada lo que el problema
de la derivada se motiva por el problema
de encontrar una una recta tangente a
cualquier curva no una recta secante una
recta secante pues es fácil de encontrar
realmente porque una recta secante
siempre cortará en dos puntos conociendo
las coordenadas de esos dos puntos
podemos encontrar la pendiente y por
ende su ecuación
pero si se trata de una recta tangente
una recta tangente recordemos que es la
recta que pasa por un solo punto y
entonces para encontrar la ecuación de
dicha recta nos haría falta otro punto
si quisiéramos hacerlo mediante esta
fórmula
sin embargo aquí la genialidad de newton
y después de la misa fue imaginarse que
este segundo punto que dibujamos aquí no
lo podemos acercar al primer punto tanto
como queramos lo podemos mover
y lo acercando poco a poco y vamos
viendo qué pasa conforme lo vamos
acercando nuestra distancia h que separa
las dos coordenadas x se va haciendo
cada vez más y más pequeña como podemos
ver
más y más pequeña cada vez llega un
momento en que estos dos puntos están
tan tan cerca que pareciera que esta
recta ya es la recta tangente ya es
indistinguible de esta gráfica en este
en esta cercanía de aquí sin embargo ahí
sigue habiendo todavía un cierto espacio
una cierta diferencia para anotarla pues
hay que hacer mucho sum en la gráfica y
ya podemos ver que aquí está nuestra
recta y aquí está nuestra función
sigue habiendo cierta diferencia sin
importar cuánto acerquemos un punto al
otro va a seguir habiendo siempre una
cierta diferencia
pero cuando estos dos puntos coincidan
completamente
la diferencia ya se se quitará
en exactamente en este punto la recta
pasará por ahí exactamente
es decir la regla será una recta
tangente porque solamente tocará la
gráfica en un único punto y no en dos
entonces para encontrar la pendiente de
la recta que están gente a una gráfica
nosotros necesitamos que la h que es la
distancia que separa las dos coordenadas
x esta de aquí
se haga tan pequeña tan tan pequeña que
se anule completamente que ya no exista
que sea cero
eso lo representamos mediante el
lenguaje de límites si nosotros en esta
expresión tomamos el límite cuando h
tiende a cero
al calcular dicho límite obtendremos la
pendiente de la recta tangente a esta
gráfica y eso es precisamente la
derivada
la derivada es esto en lugar de poner la
m ponemos este símbolo que representa la
derivada que es poner una comida a la f
esto es derivada de f y es simplemente
tomar el límite cuando h tiende a 0 de
esta expresión
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