Qué es la integral y Para qué se usa

Summary

Este video ofrece una introducción fascinante al concepto de integrales, explicando su importancia y aplicación en matemáticas. A través de la historia de matemáticos como Arquímedes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se explora el desarrollo de las integrales y su relación con el teorema fundamental del cálculo. El video también presenta un ejemplo visual de cómo se calcula el área bajo una curva, ilustrando el proceso de integración y su inversión en la derivada. Es una excelente herramienta para quienes desean comprender los fundamentos de los integrales y su relevancia en el ámbito de las matemáticas aplicadas.

Takeaways

• 📚 La integral es un concepto matemático fundamental, ideal para quienes están iniciando o ya conocen la integración.
• 🎥 Esta charla presenta una analogía cinematográfica para explicar la historia y aplicación de las integrales.
• 🌟 Los protagonistas de esta 'película' son Arquímedes, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes contribuyeron significativamente al desarrollo del cálculo integral.
• 📐 Las integrales se utilizan para calcular el área bajo una curva, una función, o para resolver problemas relacionados con volumen, longitud de arco, entre otros.
• 📝 Arquímedes fue el primero en proponer un método para calcular áreas irregulares, utilizando la idea de subdividir en rectángulos y sumar sus áreas.
• 🌐 El proceso de integración implica la suma de áreas de rectángulos infinitesimales, conocidos como 'diferenciales', para aproximar el área bajo la curva.
• 🔄 El Teorema Fundamental del Cálculo establece que las operaciones de integración y derivación son inversas entre sí, lo que permite verificar la precisión de una integral encontrada.
• 🔢 La derivada de una función da información sobre la tasa de cambio de la función, mientras que la integral nos ayuda a encontrar la cantidad total o el área total.
• 📖 Leibniz y Newton desarrollaron notaciones diferentes para las integrales, que aún se utilizan hoy en día en cálculo y análisis matemático.
• 💡 Aprender las integrales puede ser útil en diversas áreas del conocimiento, incluyendo la física, la economía, la ingeniería y más.
• 🎓 Se invita a los espectadores a explorar más a fondo el tema de las integrales a través de cursos completos y recursos adicionales.

Q & A

¿Qué es una integral y qué sirve?

Una integral es un concepto matemático que se utiliza para calcular el área bajo una curva en un plano. Sirve para resolver problemas en los que se busca determinar la cantidad de espacio que ocupa una figura irregular o el valor acumulado de una función en un intervalo de variable.

¿Quiénes son los tres actores principales en la historia de las integrales según el video?

Los tres actores principales en la historia de las integrales son Arquímedes de Siracusa, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Estos personajes contribuyeron significativamente al desarrollo de los conceptos y técnicas relacionadas con las integrales.

¿Cuál es la diferencia entre una integral y una derivada según el teorema fundamental del cálculo?

El teorema fundamental del cálculo establece que la derivada y la integral son operaciones inversas. En otras palabras, la derivada de una función da otra función, mientras que la integral de una función regresa a la original. Esto significa que si una función representa la velocidad, su integral nos dará la distancia y su derivada nos dará la velocidad.

¿Cómo se puede usar la integral para calcular el área bajo una curva?

Para calcular el área bajo una curva usando una integral, se divide la curva en pequeños rectángulos y se suma el área de cada uno. A medida que el número de rectángulos aumenta y su anchura disminuye, la suma de áreas de los rectángulos se acerca cada vez más al área real bajo la curva, y el límite de esta suma cuando el número de rectángulos tiende a infinito da el área buscada.

¿Qué es el área de un rectángulo y cómo se calcula?

El área de un rectángulo es la cantidad de espacio que ocupa, y se calcula multiplicando su base por su altura. En matemáticas, si se tiene un rectángulo con base de longitud 'a' y altura de longitud 'b', el área es 'a * b'.

¿Qué es el delta x y cómo se utiliza en las integrales?

El delta x es una notación utilizada en matemáticas para representar una pequeña cantidad de variable 'x'. En el contexto de las integrales, se utiliza para representar la base de los pequeños rectángulos que se utilizan para aproximar el área bajo una curva. A medida que se hace delta x más pequeño, la aproximación del área resultante se vuelve más precisa.

¿Qué es el teorema fundamental del cálculo y cómo se aplica?

El teorema fundamental del cálculo establece que las operaciones de derivada e integral son inversas entre sí. Esto significa que si una función se deriva, la integral de la función resultante devuelve la función original. Esto se utiliza para verificar si una integral ha sido calculada correctamente, derivando la integral y comparando la función resultante con la original.

¿Cómo se puede verificar si una integral ha sido calculada correctamente?

Para verificar si una integral ha sido calculada correctamente, se puede derivar la integral y comparar la función resultante con la función original. Si las dos funciones son idénticas, entonces la integral se ha calculado correctamente, ya que las operaciones de derivada e integral son inversas entre sí según el teorema fundamental del cálculo.

¿Qué es la notación de Leibniz para la integral?

La notación de Leibniz para la integral es una 's' alargada con una línea debajo que se utiliza para representar el concepto de integral. Este símbolo indica una suma infinita, es decir, la suma de un número infinito de pequeños rectángulos para aproximar el área bajo una curva.

¿Qué es la notación de Newton para la integral?

La notación de Newton para la integral es una 'o' alargada con una línea debajo que se utiliza para representar el concepto de integral. Similar a la notación de Leibniz, indica una suma infinita, pero con una diferencia estilística en el símbolo utilizado.

¿Qué es la historia detrás del desarrollo del cálculo integral y diferencial?

La historia del cálculo integral y diferencial está marcada por el trabajo de matemáticos como Arquímedes, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Arquímedes comenzó el estudio de los fundamentos del cálculo, mientras que Newton y Leibniz, quienes fueron contemporáneos, desarrollaron formalmente el cálculo integral y diferencial. Hubo un debate sobre quién fue el verdadero inventor del cálculo, pero hoy se reconoce que ambos contribuyeron significativamente a su desarrollo.

¿Qué es la función FX y cómo se relaciona con la integral?

La función FX se refiere a una función matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva. En el contexto de las integrales, la función FX representa la función original cuyo área bajo la curva se desea calcular. La integral de la función FX es el resultado de sumar las áreas de todos los pequeños rectángulos o trozo de curvas que componen la curva completa.

Outlines

00:00

📚 Introducción a los Integrales

Este párrafo introduce el tema de los integrales, destacando su importancia en el aprendizaje de matemáticas. Se menciona la relevancia de integrales para quienes están comenzando a estudiar el tema, así como para quienes ya tienen conocimientos básicos y desean profundizar. Además, se hace alusión a una 'película' de la historia de las integrales, invitando a investigar a tres personajes clave: Arquímedes, Isaac Newton y Godfredo de Leibniz, quienes aportaron significativamente al desarrollo de este área matemática.

05:01

📐 La Área Bajo una Curva: Integrales

En este párrafo se explica el concepto de integral en términos de área. Se describe cómo se puede calcular el área bajo una curva utilizando la idea de sumar áreas de pequeños rectángulos o trapecios. Se menciona el uso de la integral para resolver problemas relacionados con áreas, como el cálculo del espacio recorrido en un trayecto acelerado. Además, se introduce la fórmula para calcular el área de un rectángulo y se hace una analogía con el cálculo de áreas más complejas que no corresponden a figuras geométricas básicas.

10:02

🔢 La Teoría de Arquímedes sobre los Integrales

Este párrafo detalla la contribución de Arquímedes al cálculo de áreas. Se describe el método de Arquímedes de aproximar la forma de una curva con rectángulos para calcular el área. Se explica cómo se puede mejorar la precisión de esta aproximación al aumentar el número de rectángulos. Además, se menciona la importancia de que la función sea continua para poder calcular el área bajo la curva, y se introduce el término 'diferencial' y su utilidad en el proceso de integración.

15:03

📝 Notaciones y Simbología de las Integrales

Este párrafo se centra en la simbología y notaciones utilizadas en las integrales. Se describe la forma en que Leibniz simbolizó las integrals para representar una suma infinita, y se menciona su notación extendida. También se detalla la notación de Newton para designar las integrales y cómo esta se relaciona con el cálculo de áreas. Finalmente, se introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, explicando que la derivada y la integral son operaciones inversas entre sí.

20:04

🎥 La Historia de los Integrales y el Cálculo

Este párrafo narra parte de la historia detrás del desarrollo del cálculo y las integrales. Se menciona la disputa entre Newton y Leibniz sobre la paternidad del cálculo, y cómo eventualmente se reconoció que ambos contribuyeron significativamente al área. Se destaca la importancia del Teorema Fundamental del Cálculo y cómo ha permitido a los matemáticos verificar la precisión de las integrales calculadas. Además, se invita al espectador a investigar más sobre este tema y a aprender más sobre integrales.

25:05

📢 Conclusión y Llamado a la Acción

En el último párrafo, se hace un llamado a la acción para que los espectadores compartan el video, se suscriban al canal y den like al contenido. También se les anima a dejar comentarios y se les asegura que hay más contenido interesante por descubrir en el curso completo sobre integrales.

Keywords

💡Integrales

Los integrales son un concepto fundamental en el álgebra y el cálculo, utilizados para calcular el área bajo una curva en un plano. En el video, se explica que integrales son esencialmente la suma de áreas de pequeños rectángulos o trominoes que se ajustan debajo de la curva de una función. Los integrales son importantes para resolver problemas relacionados con áreas, volúmenes y otras magnitudes físicas.

💡Arquímedes

Arquímedes fue un matemático y científico griego antiguo, conocido por sus contribuciones significativas a la matemática, incluyendo la creación del concepto de integrales. Aunque no se conoce como tal, su método para calcular el área de figuras geométricas irregulares es un precursor del concepto moderno de integrales. En el video, se le menciona como uno de los 'actores' clave en la historia de las integrales.

💡Isaac Newton

Isaac Newton es uno de los más famosos científicos y matemáticos de la historia, conocido por sus contribuciones al desarrollo de la mecánica clásica y el cálculo. En el video, se le menciona como uno de los 'actores' principales en la historia de las integrales, y se le atribuye el teorema fundamental del cálculo, que establece la relación inversa entre las derivadas y las integrales.

💡Leibniz, Gottfried Wilhelm

Gottfried Wilhelm Leibniz es another destacado matemático y filósofo, conocido por sus contribuciones a la matemática y la filosofía. En el video, se le menciona como otro 'actor' principal en la historia de las integrales, y se discute su notación para las integrales, que es diferente a la de Newton. También se menciona la controversia sobre quién inventó primero el cálculo.

💡Área

El área en matemáticas se refiere a la cantidad de espacio dentro de los límites de una figura. En el contexto de integrales, el cálculo del área se refiere a la determinación del valor numérico que ocupa una superficie debajo de una curva en un plano. El video explica cómo los integrales se utilizan para calcular áreas de formas complejas que no se pueden determinar mediante fórmulas simples.

💡Función continua

Una función continua es aquella que no tiene interrupciones ni puntos de salto en su gráfico. Esto significa que se puede trazar una línea sin levantar el lápiz del papel al moverse de un punto a otro en el gráfico. Las funciones continuas son importantes para el cálculo de integrales, ya que permiten la existencia y el cálculo de áreas bajo la curva de la función.

💡Derivada

La derivada de una función es un concepto del cálculo que describe la tasa de cambio de la función con respecto a una variable. En otras palabras, la derivada representa el gradiente o la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto dado. El teorema fundamental del cálculo establece una relación inversa entre las derivadas y las integrales, lo que significa que la derivada de una integral es la función original.

💡Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es un concepto clave en el álgebra avanzada que establece una relación inversa entre las operaciones de derivar y integrar. Este teorema afirma que si una función es la derivada de otra función en un intervalo, entonces la integral de la primera función da como resultado la segunda función evaluada en los límites de integración.

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de funciones y sus derivadas y integrales. El cálculo se utiliza para resolver una amplia variedad de problemas matemáticos y aplicados, como el movimiento, el cambio en el tiempo y la optimización de procesos. El video destaca la importancia del cálculo en el entendimiento de conceptos como las integrales y las derivadas.

💡Área bajo una curva

El área bajo una curva se refiere a la cantidad de espacio ocupado por la parte inferior de una gráfica de función entre dos puntos en el eje x. Este concepto es crucial en el cálculo integral, ya que permite calcular volúmenes, superficies y otras propiedades físicas que no pueden ser determinadas mediante formas geométricas simples.

💡Rectángulos y trominoes

En el contexto de las integrales, los rectángulos y trominoes son formas utilizadas para aproximar el área bajo una curva. Se divide la curva en pequeños segmentos y se utiliza la forma de los rectángulos o trominoes para calcular la área de cada segmento. A medida que se hace cada segmento más pequeño, la aproximación se vuelve más precisa.

Highlights

Este video es muy importante para quienes están comenzando a estudiar integrales o ya conocen la integración pero no saben su utilidad.

Se explican tres aspectos fundamentales sobre integrales: qué son, para qué sirven y un chismecito sobre su historia.

Arquímedes de Siracusa, nacido en 287 a.C., es considerado el inicio de la historia de las integrales.

Isaac Newton, nacido 18 siglos después de Arquímedes, y Gottfried Wilhelm Leibniz, contemporáneo de Newton, son destacados en el desarrollo de las integrales.

Las integrales tienen una aplicación práctica para calcular el área bajo una curva, lo cual no es posible con formas geométricas tradicionales.

Se utiliza el ejemplo de calcular el área de una parábola para entender cómo las integrales pueden resolver problemas matemáticos complejos.

Arquímedes propuso un método para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos para figures irregulares.

A medida que se increase el número de rectángulos en el método de Arquímedes, la aproximación al área real se hace más precisa.

La integral es definida como el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito, y su ancho se hace infinitamente pequeño.

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivada y la integral son operaciones inversas entre sí.

La integral de una función da la área bajo su gráfico, mientras que la derivada de una función da la tasa de cambio de su valor.

El uso de integrales es esencial para el avance de las matemáticas y la resolución de problemas científicos y tecnológicos.

Se destaca la disputa histórica entre Newton y Leibniz por el crédito de la invención del cálculo.

Se menciona la notación utilizada por Leibniz y Newton para representar integrales, destacando su importancia en la simplificación de cálculos.

Se anima al espectador a investigar más sobre integrales y su historia para comprender completamente su valor y aplicación.

Transcripts

qué tal Amigas y amigos Espero que estén

muy bien Este es un vídeo súper

importante si tú vas a empezar a ver el

tema de integrales o si ya sabes

integrar y no sabes qué es una integral

o para qué sirve Mejor dicho estás en el

vídeo que es no O si quieres aprender de

integrales de verdad como es estás en el

vídeo que listos en este vídeo vamos a

ver tres cositas importantes primero Qué

es la integral que tú entiendas que es

una integral segundo Para qué sirve una

integral para qué vamos a utilizar las

integrales y tercero pues vamos a ver un

chismecito

Aquí vamos a hablar algo importante que

es algo que está una un tema que parece

como de película que está detrás de las

integrales y es algo que parece como de

película sí la historia de las

integrales podrían hacer fácilmente una

película con Villano con alguien que

parece ser que es como malo el otro que

se aprovecha Pero bueno te voy a empezar

a hablar de los actores de esta película

sí los actores de esta película son tres

esa persona es que te invito si tú no

las conocías o si tomas bien Si tú no

habías escuchado hablar de estas tres

personas te invito a Que investigues

Porque son unos duros empezamos con el

primer actor que se llama Arquímedes de

siracusa Mira desde dónde empezó la

historia de las integrales él nació en

el año 287 antes de Cristo y murió en

2000 en 212 antes de Cristo Sí desde

antes de Cristo dos siglos antes de

Cristo empieza la historia de las

integrales Pero mira lo duros que eran

estos estos jefes estos si llenan unos

duros aquí merecerá matemático físico

astrónomo inventor y Bueno aquí podría

poner puntos suspensivos Porque si tú

investigas esa manera un duro Sí vamos

con el segundo actor que bueno este

actor estaba como solito allá aparte no

había muchas más personas obviamente en

una película y muchos actores pero aquí

te voy a hablar de los tres actores

principales no vamos a hablar del

segundo principal que es Isaac Newton

espero que ya lo hayas nombrado

escuchado nombrar Ya mira todo el tiempo

que pasó desde que empezó la historia de

esas integrales él nació en 1643 ya

cuántos siglos después 18 siglos después

mira que Isaac Newton qué hacía él será

que era desjuiciado No señores no

señoras él era astrónomo teólogo

alquimista matemático físico y podría

poner puntos suspensivos y el tercer

actor muy importante que no sé si lo voy

a leer bien se llama godfred

levnis Bueno espero que lo haya nombrado

más o menos bien Él era contemporáneo

con Isaac Newton vamos a ver que estos

dos actores tienen algo muy importante y

ahí es donde yo creo que alguno de los

dos era medio Villano Pero bueno los dos

son súper importantes en esta historia

de las integrales él era contemporáneo

ma nació en 1646 Y mira que en este caso

él era político él era jurista Era

teólogo matemático físico y suspensivos

bueno estos son los tres actores

importantes en la historia de las

integrales Pero ahora sí vamos a hablar

para qué sirven las integrales

obviamente en matemáticas y en todo en

la humanidad siempre nos hemos

preguntado bueno porque la luna es así

porque los objetos caen porque el viento

pasa todo nos lo hemos preguntado y algo

que no podía pasar sin preguntar era

cómo será que podemos Hallar el área

debajo de una curva Por ejemplo si aquí

tenemos esta función que en este caso

Bueno vamos a llamar a esta función

F de X Sí esta curvita es la función FX

que en este caso si tú observas es una

parábola siempre se preguntan bueno y

cómo hago para encontrar el área debajo

de esa parábola o sea por ejemplo

supongamos yo quiero Hallar el área

desde cero hasta el número 8 o sea esta

parte

del plano cómo hago para saber cuál área

es esa y bueno Tú vas a decir Bueno yo

para que quiero Hallar el área debajo de

esa figura ya vamos a ver lo importante

que es el área debajo de esa figura

Entonces cómo haríamos para Hallar el

área nosotros general Y supongo que tú

también yo también sabemos hallar

solamente el área de un cuadrado de un

rectángulo de un rombo sí Entonces cómo

haremos para Hallar el área de una

figura que no es normalita Pues aquí es

donde entra el primer actor Ah bueno

primero antes de hablar del primer actor

vamos a hablar de qué es el área no la

idea es que comprendas todo bien y por

eso quiero dejarte Claro que es el área

el área no es más te lo voy a explicar

así Sencillamente Sencillamente no sé si

se llegase

el área no es más sino el número de

cuadrados que caben dentro de una figura

ya por eso Por ejemplo tú de pronto has

escuchado si tú tienes una casa o un

lote Generalmente tú vas a escuchar que

dice no esa casa tiene 70 voy a

escribirlo por acá

70 metros cuadrados Qué quiere decir un

área de 70 metros cuadrados la clave

está aquí metros cuadrados quiere decir

cuadrados de un metro de lado Sí si

tenemos un cuadrado Bueno disculpa ese

cuadrado tan feo en el que aquí este

lado mide un metro y Obviamente todos

los lados miden un metro esto sería un

cuadrado Perdón esto sería un metro

cuadrado Sí por qué Porque es un

cuadrado que mide un metro por cada lado

si te dicen 70 metros cuadrados qué es

lo que te están queriendo decir si

nosotros nos pusiéramos a poner

cuadraditos dentro de esa dentro de esa

casa cabrían 70 cuadraditos de un lado

de un metro Sí ahora por ejemplo aquí si

nosotros vamos a hallar el área de esta

figura tenemos que mirar cuál cuadradito

vamos a meter dentro de esa figura por

eso a veces tú escuchas un centímetro

cuadrado un metro cuadrado un kilómetro

cuadrado o muchísimas figuras de un

cuadrado para eso pues tenemos que mirar

cuál sería nuestro cuadrado con el que

vamos a medir en este caso la base para

mí va a ser este cuadrado que en este

caso pues es un cuadrado que mide un

cuadrito por cada lado voy a tomar un

cuadrito sí en este caso este cuadrito

sería un cuadrado de un cuadrito de lado

o sea un cuadrito al cuadrado Sí si

nosotros quisiéramos Hallar el área de

esta figura Pues aquí queda muy fácil

porque tenemos la cuadrícula Entonces

sería 1 2 3 4 5 6 7 y 8 Cuántos

cuadritos de estos caben dentro de esta

figura caben

ocho cuadritos o sea el área de esta

figura sería 8 cuadritos de un cuadrado

de lado sí obviamente por eso están las

fórmulas del área por ejemplo el área

del rectángulo Espero que tú ya sepas

que se encuentra mediante la fórmula

área igual a base por altura Sí para

Hallar el área de cualquier rectángulo

base por altura Por qué Porque si

nosotros multiplicamos la base Aquí Cuál

es la base 1 2 3 y 4 cuadritos la altura

aquí sería 2 cuadritos Obviamente si

multiplicamos 4 por 2 nos da 8 cuadritos

cuadrados Sí porque 4 y por qué 2 Pues

porque aquí mide 4 y si contamos cuatro

dos veces Pues nos da 8 listos eso es el

área Pero bueno ahora sí para qué sirven

las integrales Voy a darte un ejemplo

sencillo que espero que con esto que

comprendas bien que quieren decir y para

qué sirven las integrales Y por qué

necesitamos Hallar el área bajo una

ninguna función listos supongamos en

este caso que tuvo que yo que el que sea

Vamos en un carro y vamos a una

velocidad

de 20 kilómetros

por hora sí vamos a 20 kilómetros por

hora siempre hay despacito 20 kilómetros

20 kilómetros y supongamos que hacemos

un recorrido en un tiempo de dos horas

sí voy a hacer el dibujo de esto Cómo

haríamos para dibujar que vamos a 20

kilómetros por hora y que duramos dos

horas Pues para eso necesitaríamos un

gráfico sí un plano en el que pues como

estamos hablando de tiempo y de

velocidad Pues un eje sería el del

tiempo que en este caso sería el tiempo

en horas y el otros eje sería el de la

velocidad que pues sería en kilómetros

por hora como haríamos para dibujar esto

pues primero que todo Tendremos que ver

pues por ejemplo poner aquí una línea

cita en la que aquí están 20

kilómetros por hora sí Estos son 20

kilómetros por hora pero Cuánto tiempo

duran cuánto tiempo duramos duramos dos

horas entonces aquí ponemos el uno y

aquí ponemos el 2 aquí ahora graficamos

esta situación que sería así no Vamos en

una línea recta porque vamos a la misma

velocidad siempre 20 kilómetros por hora

y duramos una hora y dos horas Cómo

haríamos para Hallar el área debajo de

esta función o debajo de esta línea que

el área sería todo esto

en este caso obviamente está muy fácil

Por qué Pues porque esto es un

rectángulo Sí cómo hacemos para Hallar

el área de un rectángulo eso ya lo

dijimos ya lo dije anteriormente el área

se halla base por altura estoy dando un

ejemplo muy sencillo para que comprendas

Qué es y para qué es que sirve la

integral Si queremos Hallar el área de

esta figura que tendríamos que hacer

multiplicar la base que es esto Serían

dos horas sí

multiplicarlo por la altura que sería

esto esto Cuánto es esto es 20

kilómetros por hora sí para Hallar el

área de este rectángulo base que es 2

horas por 20 kilómetros por hora que es

la altura y Aquí vamos a ver Por qué es

tan importante Hallar el área debajo de

una función

Entonces hallamos el área área es igual

a la base Cuál es la base 2 horas por la

altura que son 20

kilómetros por hora Si hacemos esta

operación primero que todo pues

obviamente aquí podemos eliminar las

horas con las horas porque hay unas

arriba y otras abajo y si multiplicamos

los números 2 por 20 es 40 y nos quedó

40 qué 40 kilómetros Qué quiere decir

este 40 kilómetros tan importante que

esa era debajo a la figura mira que en

este caso y espero que pues no tuya

mentalmente ya lo sabrías No si durante

dos horas vamos recorriendo una

distancia que sea a 20 kilómetros por

hora Cuánta distancia alcanzamos a

recorrer Pues en la primera hora serían

20 y en la segunda hora serían 40

kilómetros mira que en este caso estamos

hablando de velocidad y tiempo y al

multiplicar velocidad y tiempo nos da

espacio que eso es el área bajo la

figura obviamente pues tú dirías

profesor pero para qué me hace este

dibujo si yo ya sabía que había

recorrido 40 kilómetros Ya lo vamos a

ver por eso Este es un ejemplo sencillo

pero qué sucede cuando no vamos por

ejemplo la misma velocidad sino cuando

vamos acelerando como en este caso

supongamos que ahora la función ya no es

una línea recta sino que es otra función

en este caso Bueno te lo voy adelantando

en este caso pues yo hice el dibujo que

quisiera no ver La idea es comprender el

tema en este caso este dibujo es el

dibujo de una parábola sí que es una

parábola que abre hacia arriba vamos a

tomar en cuenta solamente desde el 0

hasta el 8 o sea vamos a mirar esta área

el área debajo de la curva entre 0 y 8

supongamos que nuevamente vamos

acelerando en este caso vamos en nuestro

carro pero como Vamos acelerando pues la

velocidad va aumentando cada vez más sí

como lo vemos acá sí Ahora vamos a mirar

supongamos que dentro de las primeras 8

horas u 8 minutos que pasaría si

Entonces cómo haríamos para encontrar el

área de esta figura porque pues porque

el área ya no es normalita ya no es un

rectángulo ya no es un triángulo Aquí es

donde entra nuestro primer actor el

señor Arquímedes pues obviamente los

matemáticos Desde esa época se estaban

preguntando cómo hacemos para hallar esa

área y el propuso la siguiente solución

lo que hizo fue decir supongamos que más

bien en lugar de ver la figura como una

figura irregular miremos la como

rectángulos en este caso qué pasa con el

área de este rectángulo Pues que si la

observamos el área de este rectángulo es

un poquito más pequeña que el área Que

está debajo de la curva entonces lo que

propuso Arquímedes fue pues hagamos

rectángulos Entonces en este caso

hicimos un rectángulo pero aquí me dijo

no Pero y si más bien hacemos más

rectángulos que espero que es lo que tú

hayas pensado sí supongamos que ya no

hacemos un rectángulo del ancho que

queremos en este caso vamos a querer

Hallar el área desde cero hasta ocho

sino él dijo y Qué pasa si más bien

ponemos dos rectángulos sí uno que mida

4 y el otro que mida otros cuatro mira

que Obviamente el área de esta nueva

figura que está aquí en azul va siendo

mucho más cerca al área bajo la curva

Obviamente si hacemos por ejemplo otro

rectángulo ya no dos rectángulos sino

tres rectángulos el área es mucho más

cercana al área al área bajo la figura

Sí y aquí te lo voy a comprobar mira que

el área de la suma inferior sí O más

bien la suma de esta área sí que son

estos rectángulos los rectángulos

inferiores el área cuando había tres

rectángulos es de 32.49 y el área bajo

la curva es de 37 mira que el área es

muy similar Pero qué pasa si no hacemos

tres rectángulos sino por ejemplo 4 mira

que el área de la suma inferior ya va

mejorando ya es 33 Qué pasa si ahora

hacemos más rectángulo o sea mira que

entre más rectángulos hagamos el área va

siendo mucho más cercana a la que

queremos hallar Por ejemplo si hacemos

20 rectángulos mira que el área va

siendo mucho más cercana obviamente en

este caso aquí me deja hacer hasta 100

rectángulos Y mira que si hacemos 100

rectángulos el área es casi igual a la

que queríamos encontrar entonces Esa fue

la idea que dio Arquímedes y bueno para

concluir cómo haríamos para Hallar el

área ya sabemos que sería pues sumar

el área de todos esos rectángulos

primero que todo acordémonos que la

función la llamamos

FX sí Entonces cómo haríamos para Bueno

recuerda que o Bueno recuerda no te Lo

aclaro para poder Hallar el área bajo

una función esa función debe ser

continua sí continua Qué quiere decir

que no tiene saltos sí o que tiene un

número finito de discontinuidad Sí por

ejemplo supongamos que tenemos una

función así

Cómo haríamos para Hallar el área bajo

la bajo la función supongamos que fuera

aquí entre el número 1 y el número 3

para Hallar el área aquí deberíamos

tener en cuenta la discontinuidad que

por ejemplo si aquí hubiera un salto

Pues en esta partecita el área sería

infinita porque pues no habría un tope

digamoslo así que sería la función

Entonces en este caso que habríamos pues

lo que haríamos sería Buscar más bien el

área de esta función de esta parte cita

nada más desde aquí hasta aquí

supongamos que aquí es el número 1,3

bueno eso no está escala y está todo feo

pero quiero aclararte la función debe

ser continua o sea una línea cita que

vaya derechita en pocas palabras Sí

porque si es discontinua Tendremos que

mirar por partes listos eso Si tuviera

un número finito de discontinuidades No

porque si tuviera un número infinito de

discontinuidades pues no se podría

Hallar el área listos entonces la

función debe ser continua en el

intervalo en el que queremos Hallar el

área listos Entonces qué es lo que

tenemos que hacer sumar las áreas de los

rectángulos Pero cómo haríamos para

sumar las áreas de los rectángulos

importante que el área de un rectángulo

pues es base por altura Entonces vamos a

mirar en este rectángulo por ejemplo en

el primero la base que sería esta

distancia vamos a llamarla Delta x

porque Delta x Acuérdate que Delta en

matemáticas quiere decir la distancia Sí

o sea aquí sería la distancia entre las

X cuál es x Pues en este caso sería la

distancia desde acá hasta acá esa sería

la base Entonces voy poniendo por acá

más en resumen base

la llamamos

Delta X en este caso por ejemplo cuánto

rectángulos hay uno dos tres cuatro

cinco seis siete y ocho o sea el número

de rectángulos es 8 en este caso ahora

tenemos que multiplicar la base por la

altura Cuál sería la altura de este

rectángulo pues la distancia desde aquí

hasta aquí esta sería la altura que la

vamos a llamar F de X sub Y por qué

Acuérdate que nosotros cuando queremos

graficar una función qué es lo que

hacemos hacemos una tabla de valores

ponemos valores a la x para buscar los

valores de la y o de la función evaluada

en esa x qué es lo que encontramos

cuando reemplazamos por ejemplo

escribimos reemplazamos la x con el

número 1 lo que encontramos es la altura

de esa función el número 1 cuando

reemplazamos la x con el número 5 lo que

encontramos es la altura de esa función

en el número 5 cuando la x vale 5 sí

Entonces en este caso si quisiéramos

hallar la altura de este rectángulo pues

es exactamente lo que nos da al evaluar

la función en este punto por ejemplo en

el punto cero sí entonces

la altura de los rectángulos Pues sería

F de X sub Y por qué le pongo sub y pues

porque la altura depende de dónde está

la función de dónde está el rectángulo

No por ejemplo este rectángulo pues ya

tiene otra altura Pues que sería evaluar

la x en este punto la altura de este

rectángulo evaluar la x aquí por ejemplo

en el 4 entonces para Hallar el área de

los rectángulos pues tenemos que

multiplicar base por altura entonces

hagámoslo acá

si multiplicamos la base que es delta x

bueno en este caso yo les hice un

ejemplo en el que todas todos los anchos

de los rectángulos serían iguales no es

obligatorio que los anchos sean iguales

Lo que sí es obligatorio es que el ancho

del rectángulo sea lo más pequeño

posible o que haya el número máximo de

rectángulo Sí por eso Bueno ahorita más

adelante les digo por eso se le llama

diferencial de X que es que quiere decir

una distancia exageradamente pequeña

pero bueno el área es base que es delta

x multiplicado por la altura no la voy a

multiplicar acá sino acá Acuérdate que

la multiplicación es conmutativa

Entonces lo puedo multiplicar donde sea

no multiplicamos por la altura que es

con esto que tendríamos el área de los

rectángulos aquí Bueno pongámosle x sub

y suponiendo que los anchos son

diferentes Entonces qué es lo que vamos

a tener que hacer sumar el área de todos

los rectángulos o sea lo que vamos a

hacer es la suma

desde el primero Hasta el nésimo

rectángulo si son cinco rectángulos

sumaríamos cinco Obviamente el número de

rectángulos tiene que ser infinito

porque tiene que ser muchísimo

rectángulos del ancho más pequeño que se

pueda como vamos a hacer que esta n sea

infinita pues lo que estamos diciendo es

que vamos a hallar el límite

cuando la n tiende a infinito sí

Entonces esto con esta función si

nosotros encontráramos el valor de esta

función sí o haciendo esta cuenta este

límite en este caso el límite de la suma

de todos los rectángulos del área de

todos los rectángulos allí

encontraríamos el área bajo la curva a

esto es a lo que se le llama la integral

pues al área bajo la curva ahora

obviamente siempre en matemáticas hemos

querido escribir todo más fácilmente Sí

entonces

volvemos a la película Acuérdate de

Newton y lemmins que fueron los otros

dos actores principales de la película

de una vez te voy contando Newton era el

presidente de la Real Sociedad de

Londres que era una élite científica sí

eran los los en esa época los más duros

los matemáticos más duros los físicos

más duros Sí él pues era el presidente

de esa sociedad en esa época levni fue

el primero demostró sus resultados sus

estudios él mostró y bueno De una vez te

lo digo a esto más bien Sí lemmins para

simbolizar lo más pequeño simbolizó la

integral de esta forma lo escribió así

porque una s alargada Pues porque

estamos haciendo una suma en este caso

pues supongamos que aquí sería el

intervalo desde a hasta B Sí porque es

un intervalo en el que vamos a mirar el

área y pues es muy similar a esto miren

sería FX por Delta x Acuérdate que Delta

x pues quiere decir debe ser algo muy

pequeñito no Entonces está la anotación

del emis entregó su trabajo Sí a lo que

le llamó el teorema fundamental del

cálculo si ya se le llama el teorema

fundamental del cálculo que ya ahorita

te Lo aclaro un poquito más obviamente

te dejo también la espinita para Que

investigues mucho más esta fue la

notación del omnis pero de uno a este

cuento un poco más de la película No

Newton era el presidente de la sociedad

lemnis fue el que entregó su trabajo

la integral y De una vez te lo digo

mostró que la integral en el trabajo

mostró la integral y la derivada ya te

voy a decir qué más luego

Isaac Newton entregó sus estudios Pero

después de un tiempo había como como un

rumor de que lemmins no era el que había

inventado el cálculo sino que lo había

inventado Isaac Newton bueno obviamente

lemmins pasó una carta solicitando a la

Real Sociedad de de Londres que

revisarán ese caso porque él sí había

inventado el cálculo Y pues obviamente

era el presidente entonces tú sabrás no

tú ya sabrás que sucedió desde ahí se

dijo que Isaac Newton fue el creador del

teorema fundamental del cálculo Pero

bueno ya después con la historia y

observando evidencias y todo parece ser

que los dos por su parte inventaron el

cálculo sí que pues en este caso estamos

hablando de el teorema fundamental del

cálculo aquí tenemos la notación que

como les decía era una s alargada

indicando sumatoria Pues aquí Yo la hago

muy fea pero pues aquí está la del

computador Cuál era la anotación que

utilizaba Isaac Newton para decir para

Designar la integral utilizaba esta por

ejemplo supongamos que él quisiera

hallar la integral a la función x al

cuadrado que hacía él él decía con ese

simbolito decía voy a hallarle la

integral a x al cuadrado otra forma que

utilizaba era un rectángulo indicando

que iba Hallar el área bajo esa función

pues obviamente en el intervalo dado

listos Entonces eso es lo que nos dice

hasta ahora la historia ahora para

finalizar te voy a hablar del teorema

fundamental del cálculo si te das cuenta

en el tiempo del vídeo ya queda muy

poquito pero es algo muy fundamental lo

que te voy a decir en pocas palabras Qué

dice el teorema fundamental del cálculo

en pocas palabras dice que la derivada y

la integral son inversas ya lo vimos en

el primer ejemplo que la integral o sea

el bajo la curva Cuando tenemos una

función y esa función es la velocidad la

integral de la velocidad qué fue lo que

nos dio nos dio la distancia y por el

teorema fundamental del cálculo sabemos

que al contrario también sucede la

derivada de la distancia es o del

desplazamiento es la velocidad sí

obviamente dependiendo de la función con

el que trabajemos pues la derivada o la

integral significa otra cosa vistosa por

ejemplo

esto para qué te lo voy a decir porque

esto te va a servir muchísimo si ya vas

a ver integrales porque esta sería una

forma como de cómo comprobar si tú por

ejemplo te dice tu profesor encuentra la

integral o si tú deseas encontrar una

integral y quieres saber si quedó bien

allá de esa integral ya te voy a decir

cómo comprobarlo supongamos que tenemos

una función sencilla nuevamente por

ejemplo la función x al cuadrado

supongamos que queremos derivarla

entonces vamos a hacer un paso para

derivar

por ejemplo Cuál es la derivada de esta

función Pues acordémonos que es bajar el

exponente y restarle uno nos queda uno

la derivada de X al cuadrado es 2x pero

por el teorema fundamental del cálculo

ahora se sabe qué si nosotros esta esta

se llama la primitiva no esta función

que fue la que derivamos la que la que

resultó de la derivada de la primitiva

si nosotros le aplicamos una operación

que sería la inversa de la derivada

encontraríamos la primitiva en este caso

esta función se llama

integral o sea la derivada y la integral

son funciones inversas sí Entonces si tú

estás haciendo una integral por ejemplo

te dieron esta función y en contraste su

integral Cómo haces para saber si quedó

bien la derivas Y si encuentras

nuevamente la función inicial pues

entonces ahí ya sabrás que tienes tú

respuesta correcta listos y Bueno ya el

resto se lo dejo te lo dejo para que lo

investigues porque es una historia muy

interesante Espero que te haya gustado

esta explicación y si es así te invito a

que veas el curso completo para que

empieces a aprender muchísimo acerca de

integrales Aquí también te dejo algunos

vídeos que estoy seguro que te van a

servir No olvides comentar lo que desees

compartir este vídeo con tus compañeros

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un buen like a este vídeo y no siendo

más

Bye bye