¿Qué son realmente los NÚMEROS REALES?

Derivando

8 Nov 201809:12

Summary

TLDREste script de video ofrece una introducción a los números reales, desentrañando su definición y propiedades. Comienza con los números naturales, enteros y racionales, y luego revela la existencia de los irracionales, como la raíz cuadrada de 2. Explica cómo los números reales son un cuerpo ordenado completo, cumpliendo con la propiedad de la mínima cota superior. Presenta la construcción de los reales a través de 'cortaduras', una idea que incluye tanto racionales como irracionales, y resalta la importancia de esta definición en el cálculo y el análisis matemático.

Takeaways

📚 Los números reales son un concepto fundamental en matemáticas y comprenden tanto números racionales como irracionales.
🔢 Los números naturales son los primeros que aprendemos y se refieren a los números de conteo, como uno, dos, tres, etc.
🔄 Los números enteros incluyen tanto los naturales como sus equivalentes negativos y el cero.
🔢 Los números racionales son fracciones que pueden expresarse como la división de dos enteros, y son infinitos.
∞ Los números irracionales, como la raíz cuadrada de 2, pi (π) o e, tienen decimales que no siguen un patrón y son infinitos.
🤔 Los números racionales son más sencillos que los enteros, y su suma, multiplicación, resta y división son operaciones directas.
🚫 Los números racionales no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior, lo que indica la necesidad de números reales.
🧩 La construcción de los números reales implica un conjunto de propiedades que incluyen ser un cuerpo ordenado completo.
🛠️ La definición de los números reales como el conjunto de todas las 'cortaduras' de Cantor es una forma de abarcar tanto racionales como irracionales.
🔑 La propiedad de la mínima cota superior es clave para definir los números reales, ya que garantiza que siempre existe un número más pequeño que sea la cota superior mínima de un subconjunto acotado.
📈 La representación de los números reales en el plano numérico es continua y permite la suma, multiplicación y ordenación de todos los elementos del conjunto.

Q & A

¿Qué se entiende por 'números reales' y por qué son importantes en las matemáticas?
-Los números reales son un conjunto que incluye tanto los números racionales como los irracionales, y son importantes porque forman la base del cálculo y el análisis matemático. Verifican una serie de propiedades que los hacen un cuerpo ordenado completo.
¿Cuáles son los 'números naturales' y cómo se relacionan con los 'números enteros'?
-Los números naturales son los números de contar, como uno, dos, tres, etc. Los números enteros son los números naturales junto con sus equivalentes negativos y el cero. Ambos conjuntos se relacionan en que los enteros amplían el concepto de los naturales para incluir valores negativos y el cero.
¿Qué son los 'números racionales' y cómo se forman?
-Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como la división de dos enteros, donde uno se llama numerador y el otro denominador. Son infinitos y se pueden sumar, multiplicar, restar y dividir sin problemas.
¿Cómo se definen los 'números irracionales' y cuáles son algunos ejemplos?
-Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como fracciones y tienen decimales que no siguen un patrón periódico. Ejemplos comunes incluyen la raíz cuadrada de 2, pi (π) y e (la base de los logaritmos naturales).
¿Qué es la 'propiedad de la mínima cota superior' y por qué es crucial para definir los números reales?
-La propiedad de la mínima cota superior es un axioma que establece que para cualquier subconjunto acotado por arriba, existe una mínima cota superior, es decir, un número que es más pequeño que cualquier otro número que sea mayor que todos los elementos del subconjunto. Esta propiedad es crucial para definir los números reales, ya que garantiza la existencia de límites superiores en conjuntos acotados.
¿Qué es una 'cortadura' y cómo se relaciona con la definición de los números reales?
-Una 'cortadura' es un concepto utilizado para definir los números reales. Es un conjunto de números racionales que cumple con ciertas condiciones, como no estar vacío, no ser todo los racionales y no tener un elemento máximo. La definición de los números reales se basa en el conjunto de todas las cortaduras, lo que permite incluir tanto números racionales como irracionales.
¿Por qué los números racionales no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior?
-Los números racionales no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior porque no siempre es posible encontrar un número racional que sea la mínima cota superior de un subconjunto acotado por arriba. Por ejemplo, el conjunto de los racionales cuya SQUARE es menor que 2 no tiene una mínima cota superior racional.
¿Qué es un 'cuerpo' en matemáticas y cómo se relaciona con los números reales?
-Un 'cuerpo' en matemáticas es un conjunto de elementos con dos operaciones binarias (suma y multiplicación) que cumplen con ciertas propiedades, como la asociatividad, la distributividad y la existencia de elementos neutros. Los números reales forman un cuerpo porque se pueden sumar, multiplicar, restar y dividir cualquier par de elementos, y el resultado sigue siendo un número real.
¿Cómo se puede demostrar que la raíz cuadrada de 2 no es racional?
-Se puede demostrar que la raíz cuadrada de 2 no es racional utilizando el método de contradicción. Suponiendo que la raíz cuadrada de 2 es racional, se llega a una contradicción que implica que la hipótesis inicial es falsa, por lo que la raíz cuadrada de 2 debe ser irracional.
¿Cuál es la relación entre las 'sucesiones de Cauchy' y la definición de los números reales?
-Las sucesiones de Cauchy son una herramienta utilizada por Georg Cantor para construir y definir los números reales. Son sucesiones de racionales que convergen a un límite, y este límite puede ser un número real, incluso si no se puede expresar como una fracción.

Outlines

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📚 Introducción a los números reales

El primer párrafo presenta una introducción a los números reales, destacando su importancia en la matemática desde el nivel escolar hasta la universidad. Se menciona que, aunque son familiares, definirlos no es sencillo. El video está patrocinado por la Universidad Politécnica de València y se adentra en los fundamentos matemáticos, comenzando con los números naturales y enteros, y luego introduciendo las fracciones racionales. Se destaca la complejidad de los números racionales y la infinitud de sus formas, como los decimales periódicos y no periódicos, y cómo estos pueden ser sumados, multiplicados, restados y divididos con facilidad.

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🔍 Características de los números reales

El segundo párrafo se enfoca en las propiedades que definen a los números reales como un cuerpo ordenado completo. Se describe que un cuerpo es un conjunto con operaciones que cumplen ciertas propiedades, como la existencia de elementos neutros y la posibilidad de realizar operaciones entre cualquier par de elementos. Además, se menciona la importancia de que el conjunto esté totalmente ordenado y cómo los números racionales, aunque cumplen con ser un cuerpo y estar ordenados, no tienen la propiedad de la mínima cota superior. Se introduce la idea de las 'cortaduras' como una forma de construir los números reales, cumpliendo con todas las propiedades requeridas, y se hace referencia a diferentes matemáticos que contribuyeron a la definición de los números reales, incluyendo a Cantor y Dedekind.

Mindmap

Keywords

💡Números reales

Los números reales son el conjunto más amplio de números que incluye tanto los racionales como los irracionales. En el video, se menciona que los números reales son la base del cálculo y el análisis matemático, y se definen como un cuerpo ordenado completo que verifica una serie de propiedades fundamentales.

💡Cuerpo ordenado completo

Un cuerpo ordenado completo es un conjunto que tiene operaciones de suma, multiplicación, resta y división, y que además es ordenable y cumple con la propiedad de la mínima cota superior. En el video, se explica que los números reales son un cuerpo ordenado completo, lo que significa que cualquier subconjunto acotado tiene una cota superior mínima.

💡Números naturales

Los números naturales son los números que usamos para contar, como uno, dos, tres, etc. En el video, se menciona que además de los números naturales, hay números negativos y el cero, que juntos se llaman números enteros.

💡Números enteros

Los números enteros son el conjunto de números que incluye tanto los positivos como los negativos, incluyendo el cero. El video menciona que los números enteros son parte del conjunto más amplio de números reales y se pueden operar con facilidad.

💡Fracciones

Las fracciones son números que representan la división de un número (numerador) entre otro (denominador). En el video, se describe cómo las fracciones son equivalentes a la división y son parte de los números racionales.

💡Números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como la relación de dos enteros, donde el denominador no es cero. El video explica que los números racionales son infinitos y se pueden sumar, multiplicar, restar y dividir sin problemas.

💡Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción exacta y tienen decimales que no siguen un patrón. Ejemplos mencionados en el video son pi (π) y e, y se describen como infinitos y más abundantes que los racionales.

💡Propiedad de la mínima cota superior

Esta propiedad establece que para cualquier subconjunto acotado por arriba, existe una mínima cota superior dentro del conjunto. En el video, se destaca como una característica fundamental de los números reales, que los racionales no cumplen.

💡Cortaduras

Las cortaduras son una forma de definir los números reales a través de conjuntos de racionales que cumplen ciertas condiciones. En el video, se describe cómo las cortaduras son un concepto clave para entender la construcción de los números reales.

💡Construcción de los números reales

La construcción de los números reales es un proceso matemático para definir formalmente lo que son los números reales. El video menciona diferentes métodos, como las sucesiones de Cauchy y las cortaduras, para construir y entender la naturaleza de los números reales.

💡Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es un valor que, al multiplicarse por sí mismo, da el número original. En el video, se utiliza como ejemplo para demostrar la existencia de números irracionales, como la raíz cuadrada de 2, que no es racional.

Highlights

Los números reales son fundamentales en matemáticas y comprenden tanto números racionales como irracionales.

Los números naturales, enteros y fracciones (racionales) son subconjuntos de los números reales.

Los números irracionales, como la raíz cuadrada de 2, son infinitos y no siguen un patrón en sus decimales.

La definición de números reales como un cuerpo ordenado completo es crucial para el cálculo y el análisis matemático.

Los números reales verifican propiedades como ser un cuerpo, estar ordenados y cumplir con la propiedad de la mínima cota superior.

Los números racionales, a pesar de ser un cuerpo ordenado, no cumplen con la propiedad de la mínima cota superior.

La construcción de los números reales incluye conceptos como las sucesiones de Cauchy y las cortaduras de Dedekind.

Las cortaduras de Dedekind son conjuntos de números racionales que no están vacíos, no contienen a todos los racionales y cumplen con ciertas condiciones.

Cada número real, sea racional o irracional, corresponde a una cortadura única.

La cortadura que contiene todos los racionales menores que la mitad de la raíz cuadrada de 2 corresponde a la raíz cuadrada de 2.

La universidad politécnica de Valencia patrocina este vídeo, que explora los fundamentos matemáticos de los números reales.

Los números reales son la base para entender conceptos matemáticos más avanzados y para el desarrollo de teorías matemáticas.

La música y la presentación en el vídeo ayudan a hacer la explicación de los números reales más amena y accesible.

El vídeo aborda el concepto de infinito en relación con los números naturales y cómo se extiende a otros tipos de números.

Se explica la diferencia entre números racionales y irracionales, y cómo estos últimos desafían la definición de los racionales.

La importancia de la propiedad de la mínima cota superior para completar los números racionales y formar los números reales se destaca.

El vídeo invita a los espectadores a reflexionar sobre la definición de los números reales y a cuestionar las nociones aprendidas.