Video 3.1. Sistemas de ecuaciones lineales, definición y clasificación
Summary
TLDREste video de álgebra lineal trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. El presentador define qué es un sistema de ecuaciones lineales y da ejemplos de ecuaciones para ilustrar el concepto. Se explica por qué estas ecuaciones se llaman 'lineales' y cómo se buscan valores que satisfagan el sistema. Se habla sobre soluciones únicas, múltiples o inexistentes, y cómo los coeficientes y términos independientes determinan si un sistema tiene una solución única, múltiples soluciones o ninguna. También se discuten métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método gráfico y otros métodos que se abordarán en videos futuros.
Takeaways
- 📚 Este video introduce el tema tres del curso de álgebra lineal, centrado en sistemas de ecuaciones lineales.
- 🔍 Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones que involucran variables lineales, que no tienen exponentes mayores a uno.
- 📈 Un ejemplo proporcionado es el sistema 3x1 + 2x2 + x3 = 1, 2x1 + 2x2 + 4x3 = -2, -x1 + 0.5x2 - x3 = 0.
- 🤔 Se explora cómo dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema cuyo objetivo es encontrar una solución común que satisfaga ambas ecuaciones.
- 🧮 Se presenta un ejemplo resuelto donde x=2 y y=3 son soluciones que satisfacen el sistema de ecuaciones 3x - 4y = -6 y 2x + 4y = 16.
- 📐 Se introduce la clasificación de los sistemas de ecuaciones en términos de soluciones: compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
- 🔢 Un sistema compatible determinado ofrece una única solución, mientras que uno compatible indeterminado puede tener múltiples soluciones.
- ⛔ Un sistema incompatible es aquel que no tiene solución, como se ejemplifica con coeficientes proporcionales pero términos independientes desproporcionados.
- ✅ Se discuten condiciones necesarias para que un sistema de ecuaciones sea determinado, basándose en la proporcionalidad de los coeficientes de las variables.
- 👀 Se menciona que los futuros videos abordarán métodos adicionales, como el gráfico y otros, para determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones.
Q & A
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
-Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que involucran las mismas variables y que se deben satisfacer simultáneamente. Cada ecuación del sistema es una ecuación lineal, lo que significa que las variables no tienen exponentes mayores que uno.
¿Cómo se conoce también un sistema de ecuaciones lineales?
-Un sistema de ecuaciones lineales también se conoce como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal.
¿Qué tipo de estructuras matemáticas son necesarias para definir un sistema de ecuaciones lineales?
-Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden definir sobre cuerpos o anillos conmutativos, que son estructuras algebraicas donde las operaciones de suma y multiplicación cumplen ciertas propiedades como la conmutatividad.
¿Qué caracteriza a una ecuación como lineal?
-Una ecuación es caracterizada como lineal si todas las variables en ella están al primer grado, es decir, no están elevadas a ningún exponente mayor que uno ni involucran operaciones no lineales como exponenciales o logaritmos.
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales compatible?
-Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si tiene al menos una solución. Este sistema puede ser determinado, ofreciendo una única solución, o indeterminado, presentando infinitas soluciones.
¿Cómo se define un sistema de ecuaciones lineales incompatible?
-Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no existe ninguna solución que satisfaga todas las ecuaciones del sistema simultáneamente.
¿Cuál es un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con solución única y cómo se verifica?
-Un ejemplo es el sistema formado por las ecuaciones 3x - 4y = -6 y 2x + 4y = 16, cuya solución única es x = 2 y y = 3. Verificamos sustituyendo estos valores en ambas ecuaciones y comprobando que se satisfacen las igualdades.
¿Qué indica si los coeficientes de las variables en dos ecuaciones son proporcionales pero los términos independientes no?
-Indica que el sistema es incompatible. Esto se debe a que aunque las ecuaciones parezcan tener la misma relación entre las variables, los diferentes términos independientes impiden que se encuentre una solución común.
¿Qué sucede cuando los coeficientes y los términos independientes de una ecuación son proporcionales a los de otra?
-Cuando esto sucede, el sistema es compatible e indeterminado, presentando infinitas soluciones, ya que una ecuación es básicamente un múltiplo de la otra.
¿Qué métodos se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
-Algunos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales incluyen el método gráfico, donde se visualizan las ecuaciones como líneas para encontrar sus puntos de intersección, y métodos algebraicos como el método de sustitución, el método de eliminación y el uso de matrices.
Outlines
📚 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Este video inicia con la presentación del tema tres sobre sistemas de ecuaciones lineales en álgebra lineal. Se define un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones que se relacionan sobre un cuerpo o anillo conmutativo. Un ejemplo claro es dado para ilustrar cómo un sistema lineal no incluye potencias superiores a uno, caracterizando así su linealidad. Además, se explica que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas busca encontrar valores comunes que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente, proporcionando un ejemplo práctico que demuestra cómo los valores encontrados cumplen las ecuaciones del sistema. Finalmente, se introducen conceptos de sistemas compatibles e incompatibles, describiendo las condiciones bajo las cuales un sistema puede tener una única solución, múltiples soluciones o ninguna solución.
🔍 Tipos de Sistemas de Ecuaciones Lineales y sus Soluciones
En esta sección se profundiza en los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y cómo determinar sus posibles soluciones. Se explica que un sistema es compatible determinado cuando los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, permitiendo una única solución. Se menciona el caso de un sistema compatible indeterminado, que ocurre cuando los coeficientes y términos independientes de las ecuaciones son proporcionales, resultando en infinitas soluciones. Por último, se aborda el sistema incompatible, donde aunque los coeficientes sean proporcionales, los términos independientes no lo son, lo que lleva a la conclusión de que no hay solución. Se introduce el método gráfico como una herramienta para visualizar la compatibilidad de los sistemas y se anticipa la exploración de otros métodos en futuros videos.
Mindmap
Keywords
Please replace the link and try again.
Highlights
Introducción al tema de sistemas de ecuaciones lineales en álgebra lineal.
Definición de un sistema de ecuaciones lineales y su contexto en matemáticas.
Ejemplo detallado de un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Explicación de por qué se denominan 'lineales' estas ecuaciones.
Descripción de cómo dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema buscando una solución común.
Ejemplo práctico que muestra cómo encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones.
Verificación de la solución sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.
Discusión sobre la clasificación de los sistemas de ecuaciones según el número de soluciones posibles.
Explicación de qué es un sistema compatible y un sistema incompatible.
Detalles sobre los sistemas compatibles determinados e indeterminados.
Ejemplo de cómo identificar si un sistema es compatible mediante la proporcionalidad de coeficientes.
Descripción de un caso con infinitas soluciones debido a la proporcionalidad completa entre dos ecuaciones.
Explicación de un sistema incompatible por la falta de proporcionalidad en los términos independientes.
Mención de métodos para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones, incluyendo el método gráfico.
Anuncio de futuros videos para profundizar en la solución de ecuaciones.
Transcripts
Hola a todos Bienvenidos a un nuevo
video de álgebra lineal eh en esta
ocasión vamos a comenzar un nuevo tema
es el tema tres que lleva por nombre
sistemas de ecuaciones
lineales y para comenzar digamos con
este tema pues vamos a definir
precisamente Qué es un sistema de
ecuaciones lineal
Y bueno pues debemos de conocer que en
matemáticas y álgebra lineal un sistema
de ecuaciones lineales También conocido
como sistema lineal de ecuaciones o
simplemente sistema lineal es un
conjunto de ecuaciones lineales sobre un
cuerpo o un anillo conmutativo así
tenemos por ejemplo eh este sistema de
ecuaciones lineal que es 3 x1 2 x2 + X3
es = 1 2 x1 + 2 x2 + 4 X3 = -2 - x1 +
1/2 de x2 - X3 es =
0 Por qué se llama lineal Bueno pues
principalmente porque como ustedes
pueden observar ninguna de las variables
eh tiene un
exponente mayor que un es decir es
lineal no lleva exponente cuadrado cubo
ni mucho menos por eso se conoce como
lineal es un sistema lineal de
ecuaciones
eh
Ahora dos ecuaciones con dos incógnitas
forman un sistema cuando lo que
pretendemos de ellas es encontrar su
solución común Entonces si nosotros
tenemos aquí por ejemplo a1x + b1y = c1
y a2x + b2y = a C2 necesitamos conocer
el valor de X y el valor de y que
satisface a este sistema de ecuaciones
es decir qué valor para x y Qué valor
para y me da el resultado c1 y el
resultado
C2 la solución de un sistema es un par
de números x1 y1 tal es que reemplazados
por reemplazando x por x1 eh Y por y1 se
satisfacen a la vez ambas ecuaciones así
de esta
forma para este sistema de ecuaciones
dice que 3x - 4
= -6 y 2x + 4y = 16 Nos está dando el
resultado que es x = 2 y y = 3
eh si ustedes observan Cuando yo
sustituyo x y y eh en ambas ecuaciones
aquí en 3x - 4y sería 3 * 2 - 4 * 3 e y
aquí sustituir x sería 2 * 2 + 4 *
3 si nosotros hacemos las operaciones 3
* 2 son 6
- 4 * 3 son 12 en la de abajo sería 2 *
2 = 4 4 * 3 = 12 Si operamos las sumas y
restas 6 - 12 nos da -6 4 + 12 = 16
entonces observamos que nos da una
igualdad si aquí los resultados fueran
diferentes es decir si aquí meera un
número diferente de -6 y aquí un número
diferente de 16 significa que alguno de
los dos valores está mal la x o la bien
eh pero nos tiene que dar una igualdad
en ambas ecuaciones Sí y con ello Bueno
pues encontramos precisamente los
valores de x y y que satisfacen a este
sistema de
ecuaciones ahora en el caso de los
sistemas de ecuaciones lineales tenemos
una clasificación
eh según el número de soluciones que
pueden tener o que pueden presentar de
acuerdo con ese caso se pueden presentar
los siguientes casos Entonces tenemos
dos tipos de sistemas de ecuaciones
puede ser un sistema compatible o un
sistema
incompatible a su vez el sistema
compatible puede ser un sistema
compatible determinado el cual nos va a
dar una única solución puede ser un
sistema también compatible indeterminado
en el que podemos tener múltiples
soluciones o puede ser que existe un
sistema incompatible es decir que el
sistema no tiene solución también es un
tercer caso que podemos
tener
Entonces qué condiciones deben cumplir
las ecuaciones para que el sistema tenga
una ninguna o infinitas soluciones bueno
para que un sistema de ecuaciones
lineal digamos la característica que
debe tener que nos que tenga digamos
solución que sea un un un sistema de
ecuaciones este determinada
eh compatible
determinado los coeficientes de x y y de
las dos ecuaciones no son proporcionales
aquí por ejemplo si vemos este bueno 2x
y x sí existe una proporcionalidad Este
2x es el doble de X pero en el caso de
este no -3y + 5y vemos que no son
digamos este
proporcionales
para que esto se de tendría que ser
proporcionales ambos Sí en la misma
cantidad aquí por ejemplo si si este
fuera en lugar de -3 si fuera un 10y
Entonces digamos no sería compatible
pero como en este caso son números
diferentes es un sistema compatible
Okay y lo vamos a ver en la solución de
ecuaciones más
adelante
Ahora cuando nos da infinitas soluciones
un
eh un sistema de ecuaciones bueno cuando
los coeficientes de x y y y el término
independiente de una ecuación son
proporcionales a los de la otra por
ejemplo tenemos esta que dice 2x - 3y =
1 y 4x - 6y = 2 la ecuación de abajo es
el doble de la primera si yo multiplico
2 * 2x es 4x y 2 * 3y son -6y y 2 * 1 es
= 2 todos los elementos eh si una
ecuación es digamos proporcional a otra
Entonces estamos hablando de que podemos
tener un sistema con infinitas
soluciones un sistema compatible
indeterminado ahora el siguiente caso
Cuando tenemos ninguna solución es
cuando los coeficientes de x y y de una
ecuación son proporcionales a los de la
otra mientras que los términos
independientes no lo son aquí por
ejemplo podemos observar que la segunda
ecuación eh en los coeficientes de X y Y
este 4 es el doble del do y este -6 es
el doble de -3 Sin embargo vemos que los
términos independientes no son
proporcionales no es el doble uno del
otro entonces eh aquí podemos decir que
es un sistema incompatible es un sistema
que no nos va a arrojar ninguna solución
podemos verlo así simple vista o podemos
calcularlo de alguno de los Por alguno
de los métodos uno de los métodos que
vamos a aprender es el método gráfico Y
eso es más más que nada un método visual
para poder eh observar si existe o no
una solución pero existen otros métodos
que nos permiten
determinar si un sistema es compatible o
incompatible y en el caso de que sea
compatible si es un sistema compatible
determinado o es sistema compatible
indeterminado es decir que tenga varias
soluciones Pero eso lo vamos a observar
en los próximos videos sí bien Eso es
todo por este video nos vemos hasta la
próxima
Ver Más Videos Relacionados
Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 INTRODUCCIÓN
1 Introducción Sistema de Ecuaciones
09. ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas?
Sistemas de Ecuaciones: Compatible Determinado, Compatible Indeterminado, Incompatible
Sistema de Ecuaciones 2x2 - Método de Eliminación o Reducción
78. Qué son las ecuaciones de segundo orden, ecuaciones homogéneas y de coeficientes constantes
5.0 / 5 (0 votes)