Límite con cambio de variable 1

Summary

El guion trata sobre cómo resolver un límite indeterminado utilizando el cambio de variable. Se explica que al sustituir h por cero, el numerador da 0 y el denominador da 0, indicando un límite indeterminado. Se sugiere cambiar de variable para eliminar la raíz quinta, y se despeja h en términos de m. Al cambiar la variable, se resuelve el límite y se factoriza el numerador para simplificar la expresión. Finalmente, se evalúa el límite cuando m tiende a -1, obteniendo un resultado de 20/3.

Takeaways

• 🔢 Se presenta un ejercicio de cálculo de límite con una función que incluye una raíz quinta.
• 🤔 Al sustituir h = 0 directamente, se obtiene una forma indeterminada c/c.
• 🔄 Se sugiere usar la técnica de cambio de variable para resolver el límite indeterminado.
• 📐 Se explica que la técnica de racionalización no es adecuada para raíces de índice superior a 2.
• 🆕 Se introduce una nueva variable m para simplificar la expresión, cambiando h por una función de m.
• 🔄 Se despeja la variable h en términos de m, encontrando h = m^(5/3).
• 🔄 Se reescribe el límite original en términos de la variable m, facilitando la simplificación.
• 🔄 Se aplica la propiedad de los límites para factorizar y simplificar la expresión.
• 🔄 Se identifica que el límite sigue siendo indeterminado después de la simplificación inicial.
• ✅ Se resuelve el límite indeterminado mediante factorización y cancelación de términos.

Q & A

¿Cuál es el ejercicio que se presenta en el video?

El ejercicio consiste en calcular el límite cuando h tiende a cero de la función 4h sobre la raíz quinta de (3h - 1) más 1.

¿Por qué el límite presenta una forma indeterminada inicialmente?

El límite presenta una forma indeterminada porque al sustituir h por 0, el numerador se vuelve 0 (4 * 0 = 0) y el denominador también da 0, debido a que la raíz quinta de (-1) más 1 resulta en 0.

¿Por qué no es recomendable aplicar la técnica de racionalización en este caso?

No se recomienda la técnica de racionalización porque la raíz es de índice cinco, y racionalizar raíces de un índice superior a tres es un proceso complicado.

¿Qué técnica se sugiere para resolver el límite?

Se sugiere aplicar la técnica de cambio de variable para simplificar el problema y eliminar la raíz quinta.

¿Cuál es el cambio de variable propuesto para eliminar la raíz quinta?

El cambio de variable propuesto es definir m^5 = 3h - 1, de modo que la raíz quinta se cancele al trabajar con la nueva variable m.

¿Cómo se despeja h en términos de la nueva variable m?

Despejando h en términos de m, obtenemos que h = (m^5 + 1) / 3.

¿Qué sucede con el límite al cambiar de variable de h a m?

Al cambiar de h a m, el límite cambia a ser cuando m tiende a -1, porque al sustituir h = 0 en la ecuación original se obtiene que m^5 = -1, lo que implica que m = -1.

¿Por qué es necesario aplicar una factorización en el límite resultante?

Es necesario aplicar una factorización porque, después del cambio de variable, el límite sigue presentando una forma indeterminada 0/0, lo que se puede resolver factorizando el numerador.

¿Cuál es la factorización del polinomio m^5 + 1?

El polinomio m^5 + 1 se puede factorizar como (m + 1) * (m^4 - m^3 + m^2 - m + 1).

¿Cuál es el resultado final del límite después de simplificar y evaluar?

El resultado final del límite es 20/3, después de simplificar la expresión y evaluar m = -1 en la función factorizada.