Suma de Riemann ¿Qué es? ¿De dónde sale? EXPLICACIÓN COMPLETA
Summary
TLDREl script explica la definición de una integral como una suma de rectángulos para calcular el área bajo una curva en un intervalo. Se descompone el intervalo en subintervalos y se utilizan rectángulos cuya base es delta x, calculado dividiendo el intervalo total entre el número de rectángulos (n). La altura de cada rectángulo se determina evaluando la función en un punto dentro del subintervalo. La aproximación del área se mejora al aumentar el número de rectángulos, y el área exacta se alcanza cuando n tiende a infinito, lo que se representa con la notación de Leibniz. Este concepto se extiende a integrales de múltiples variables.
Takeaways
- 📘 La definición de una integral como una suma de rectángulos se explica en el guion, para calcular el área bajo una curva y por encima del eje X en un intervalo específico.
- 📐 Se menciona que el intervalo puede dividirse en subintervalos de cualquier longitud, pero para simplificar, se asume que todos tienen la misma longitud.
- 🔢 El número de subintervalos se denota como 'n', y se calcula el ancho de cada subintervalo (delta x) dividiendo la longitud total del intervalo entre 'n'.
- 📏 Se elige un punto dentro de cada subintervalo para calcular la altura de los rectángulos, que es el valor de la función en ese punto (f(x) en x=y).
- 📋 La fórmula para el área de cada rectángulo se presenta como base (delta x) por altura (f(x) en x=y), que se escribe como 'f(x_i) * Δx'.
- 📊 Para aproximar el área bajo la curva, se suman las áreas de todos los rectángulos, lo que se denota con la notación sigma (Σ).
- 📉 El proceso de hacer los rectángulos más delgados (aumentando el número 'n') se describe para acercarse al área exacta debajo de la curva.
- 📌 Se introduce el concepto de límites para definir la integral definida, donde el número de rectángulos tiende a ser infinito y el ancho de los rectángulos tiende a cero.
- 📈 La integral definida se representa con la notación de Leibniz, que incluye los límites de integración, la función a integrar y el diferencial.
- 📚 Se menciona que estas ideas se utilizarán para definir integrales de dos variables, sugiriendo una extensión del concepto de integrales unidimensionales.
Q & A
¿Qué es una integral y cómo se relaciona con el cálculo de áreas?
-Una integral es una suma de rectángulos que aproxima el área debajo de una curva y encima del eje x en un intervalo determinado. Se utiliza para calcular áreas, volumes, y otras cantidades que varían continuamente.
¿Cómo se divide el intervalo ab para calcular una integral?
-El intervalo ab se divide en varios subintervalos más pequeños, que pueden tener longitudes diferentes. Para simplificar, se asume a menudo que tienen la misma longitud, llamada delta x.
¿Qué es delta x y cómo se calcula?
-Delta x es la longitud de base de los rectángulos que se utilizan para aproximar el área debajo de la curva. Se calcula dividiendo la distancia total del intervalo (b - a) entre el número de rectángulos n.
¿Cómo se elige el punto dentro de un rectángulo para calcular su altura?
-Se elige un punto dentro del rectángulo, generalmente en la intersección con la gráfica de la función, y se utiliza para calcular la altura del rectángulo evaluando la función en ese punto.
¿Qué representa la altura de un rectángulo en el contexto de una integral?
-La altura de un rectángulo en una integral representa el valor de la función evaluada en el punto x y, que indica cuánto se eleva el rectángulo sobre el eje x.
¿Cómo se calcula el área de un rectángulo en el proceso de integración?
-El área de un rectángulo en el proceso de integración se calcula multiplicando la base (delta x) por la altura (valor de la función en el punto x y).
¿Qué simboliza la notación sigma en el cálculo de integrales?
-La notación sigma (Σ) representa la suma de una serie de términos, donde i varía de 1 a n, y se utiliza para sumar el área de todos los rectángulos en el proceso de integración.
¿Qué sucede con los rectángulos cuando n tiende a infinito?
-Cuando n tiende a infinito, los rectángulos se vuelven más delgados y su número aumenta indefinidamente, lo que hace que su área se aproxime más al área exacta debajo de la curva.
¿Qué es la integral definida y cómo se relaciona con los límites?
-La integral definida es el límite que se toma cuando el número de rectángulos n tiende a infinito, y representa el área exacta debajo de la curva en el intervalo considerado. Los límites son fundamentales en el cálculo para definir conceptos como la derivada, la integral y las series.
¿Cómo se representa gráficamente una integral definida?
-Una integral definida se representa gráficamente con una s alargada, conocida como la notación de Leibniz, que indica los límites de la integral (a y b), la función a integrar y el diferencial que indica la variable de integración.
¿Cómo se extienden los conceptos de integrales de una variable a funciones de más variables?
-Los conceptos de integrales de una variable se extienden a funciones de más variables mediante sumas de rectángulos en múltiples dimensiones, lo que permite calcular áreas, volúmenes y otras medidas en espacios más complejos.
Outlines
📐 Explicación de la Integral como Área
Este párrafo explica la definición de una integral como una suma de áreas. Se describe cómo se calcula el área bajo una curva de una función de una variable en un intervalo [a, b]. Se sugiere dividir el intervalo en subintervalos de igual longitud, denominados 'n', y calcular el área de rectángulos cuya base es la longitud de los subintervalos (Δx) y cuya altura es la evaluación de la función en un punto dentro de cada subintervalo (f(x)). La suma de las áreas de estos rectángulos se usa para aproximar el área total debajo de la curva.
🔍 Aproximación de Áreas y Límites
Este párrafo profundiza en el proceso de aproximación de áreas y la importancia de los límites en el cálculo. Se menciona que para obtener el área exacta debajo de la curva, se deben considerar rectángulos cada vez más delgados, lo que implica un número infinito de rectángulos. La anchura de estos rectángulos tiende a cero, y el área debajo de la curva se convierte en el límite cuando el número de rectángulos (n) tiende a infinito. Se introduce la notación de Leibniz para representar integrales, destacando los límites de integración, la función a integrar y el diferencial. Finalmente, se agradece a los miembros de YouTube y Patreon por su apoyo.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Función
💡Rectángulos
💡Delta x
💡Suma
💡Límite
💡Anotación de Leibniz
💡Variable
💡Subintervalos
💡Área
Highlights
Definición de una integral como suma de rectángulos.
Extensión de la definición a funciones de más variables.
El área bajo la curva de una función en un intervalo es el objeto de cálculo.
Partición del intervalo en subintervalos de igual longitud, denominados n.
Cálculo del área de un rectángulo como base por altura.
Selección de un punto dentro del rectángulo para determinar su altura.
Evaluación de la función en el punto seleccionado para obtener la altura del rectángulo.
Fórmula para el área de un rectángulo: base por altura, delta x por f(x).
Aproximación del área total mediante la suma de áreas de rectángulos individuales.
Uso de la notación sigma para representar la suma de términos en serie.
Incremento del índice i para sumar áreas de rectángulos consecutivos.
Definición de la integral definida como el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando n tiende a infinito.
Importancia de los límites en el cálculo, especialmente en la definición de derivadas, integrales y series.
Representación de la integral definida con la notación de Leibniz.
Aplicación de la definición de integrales para funciones de una variable a integrales de dos variables.
Agradecimiento a los miembros de YouTube y Patreon por su apoyo.
Transcripts
entonces vamos a repasar la definición
de una integral como una suma de rima y
vamos a ver lo primero para una integral
de una variable como esta de aquí y
luego lo vamos a extender a funciones de
más variables cuando nosotros tenemos
una función de una variable la gráfica
de esa función es una curva como la que
está por aquí y lo que nosotros queremos
calcular es el área debajo de esa curva
pero encima del eje x en un intervalo ab
entonces lo que podemos hacer es partir
el intervalo ave en varios intervalos
más pequeños esos intervalos más
pequeños no tienen por qué ser todos de
la misma longitud pueden tener cualquier
longitud pero por simplicidad vamos a
suponer que todos tienen la misma
longitud entonces estamos partiendo en
varios sub intervalos pueden ser cinco
sub intervalos y esos intervalos 100 sub
intervalos para the fate para referirnos
a un número cualquiera vamos a decir que
son n sub intervalos
y lo que vamos a hacer es calcular el
área de todos estos rectángulos y
sumarlas y para eso hay que recordar que
el área de un rectángulo es base por
altura
entonces elegimos un rectángulo por
ejemplo este de aquí
y en este caso observamos que la base
bueno pues es la longitud de un uno de
esos semi de uno de los pequeños
intervalos no vamos a llamarle a esa
longitud delta x
ahora bien cómo es que se calcula ese
delta x pues simplemente partimos todo
el intervalo completo que era desde a
hasta b todo ese intervalo completo lo
vamos a partir en n n pedazos o sea lo
dividimos entre n cuánto mide el
intervalo completo desea hasta ver para
medir esa distancia simplemente restamos
b menos a esa es la distancia total
desde aquí hasta acá y esa distancia
total la partimos entre n porque son n
rectángulos entonces ya tenemos el delta
x que es la base de uno de esos
rectángulos vamos a elegir
específicamente algunos de ellos por
ejemplo elegimos este rectángulo de aquí
y dentro de ese rectángulo vamos a
elegir un punto por ejemplo este de aquí
punto xy
este punto en este caso lo elegí de tal
manera que la intersección de este
rectángulo con la gráfica sea
precisamente esta esta coordenadas xy
y para poder calcular el área de este
rectángulo necesitamos tanto la base
como la altura la base ya dijimos que es
delta x pero nos hace falta la altura
para la altura vamos a utilizar la
función porque recuerden que la altura
de una coordenada es igual
para evaluar la función en ese valor de
x
de hecho miren aquí en la gráfica cada
rectángulo tiene altura diferente y esa
altura como podemos ver depende de la
forma que tiene la propia gráfica de la
función así que lo que hacemos en este
caso es tomar este punto xy lo evaluamos
en la función y eso nos va a decir la
coordenada y de este punto de aquí el
punto sobre la gráfica que precisamente
nos dice a su vez la altura de este
rectángulo así que la altura en este
caso es el valor de la función en xy y
entonces ya tenemos el área de este
pequeño rectángulo es base que es delta
por altura que es f aunque lo más usual
es escribirlo al revés el producto así
en fx por delta x el orden de los
factores no altera el producto ya
tenemos entonces el área del rectángulo
número y que es este de aquí está y que
está aquí simplemente es para referirnos
al cual el rectángulo estamos eligiendo
este de aquí sea el rectángulo 1 este de
aquí sería el rectángulo 2 lobert ángulo
3 y así nosotros tomamos uno cualquiera
en todo decimos que tomamos el
rectángulo número i
y hay en el rectángulos entonces para
aproximar el área lo que hacemos es
sumar todos esos rectángulos todas las
áreas de esos rectángulos
entonces el área va a ser
aproximadamente la suma de todas estas
áreas a uno más a dos así hasta llegar
al último rectángulo que es el n porque
hay n rectángulos ahora esta suma de
aquí se puede abreviar mediante la
anotación sigma que es esta anotación de
aquí que ayuda precisamente a
representar sumas que contienen varios
términos pero mediante una expresión así
más corta en esta expresión aparece aquí
un ahí aparece una y aquí abajo y aquí
arriba un n él y de acá abajo nos dice
de qué manera o bueno nos dice más bien
cuál es la variable que va a ir variando
en la suma en este caso es la y
eso significa que empezamos desde igual
a 1
o sea que primero aquí en la y
sustituimos un 1 obteniendo este de aquí
a 1 luego le sumamos 1 más así que iba a
valer 2 y entonces vamos a tener a 2 que
se esté de aquí luego sumamos el
siguiente que va a ser cuando y vale 3
entonces tenemos a 3 y así continuamos
sumando todos los términos hasta que
llegamos al último que es el que nos
dice el de aquí arriba que es n en este
caso entonces el último es n bueno eso
es lo que representa este símbolo de
aquí
y aquí en el ay bueno pues recuerden que
esto es un área el área del rectángulo y
el cual ya calculamos acá arriba sf de x
y por el 30 x entonces lo sustituimos
acá y entonces ya tenemos una fórmula
que nos aproxima el área pero nosotros
no queremos un área aproximada queremos
el área exacta debajo de esta gráfica en
el intervalo ave entonces lo que hay que
hacer en este caso es hacer que estos
rectángulos sean cada vez más delgados
para que sus áreas se vayan aproximando
más al área debajo de la curva
y al hacer que de sus rectángulos sean
cada vez más pequeñitos vamos a tener
que considerar más y más y más
rectángulos es decir vamos a hacer que
el número de rectángulos en tienda a ser
infinito y de esa manera entonces el
ancho de los rectángulos tenderá a ser
cero de hecho podemos verlo desde esta
misma expresión aquí arriba tenemos un
número entre n si n tiende a infinito
pues al dividir un número entre algo que
tiende a infinito eso tiende a cero
entonces aquí ya empezamos a ver para
qué sirven los límites los límites
sirven para definir conceptos del
cálculo de hecho el primer concepto que
definimos mediante límites es el de
derivada pero también mediante límites
se define el concepto de integrales y el
concepto de series por eso es que
primero vemos el tema de límites
bueno
entonces si hacemos que n tiende a
infinito resulta que estos rectángulos
hacen más pequeñitos de tal manera que
estos espacios que antes quedaban vacíos
o que antes quedaban acá arriba
sobrantes se van a ir reduciendo y
entonces el área debajo de la curva ya
va a ser el valor exacto el que nosotros
queremos por lo tanto el área exacta de
debajo de la curva de fx en el intervalo
ave va a ser el límite cuando n tiende a
infinito de esta expresión
bueno pues esto es precisamente lo que
nosotros definimos como una integral
definida en lugar de estar escribiendo
este símbolo todo el tiempo el límite el
sigma todo esto mejor lo representamos
con esta otra forma que es la anotación
de leibniz con esta s alargada indicando
aquí los los límites de los intervalos
del intervalo integral que es desde aaa
hasta b la función que vamos a integrar
y el diferencial que nos indica respecto
de qué variable estamos integrando bueno
esto es para una variable esto es algo
que vieron en cálculo integral pero
estas ideas los vamos a utilizar para
definir las integrales de dos variables
mediante sumas de rima muchísimas
gracias a todas las personas que me
apoyan con su membresía en youtube y en
page jon de verdad infinitas gracias por
todo su apoyo
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