Déterminer le signe d'une fonction du 2nd degré donnée sous sa forme factorisée - Première
Summary
TLDRDans cette vidéo, l'auteur explique comment étudier le signe d'une fonction polynomial du second degré sous sa forme factorisée. On comprend que le signe change aux racines du polynôme, qui sont les points où la fonction s'annule. En développant la fonction, on observe qu'elle est bien du second degré, avec un terme en x². Les racines sont trouvées en résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0, ce qui donne x = 4 et x = -6. La forme factorisée permet de visualiser où la fonction change de signe. Le coefficient ಠdétermine l'orientation de la parabole : positif pour une cuvette, négatif pour une colline. Ici, le coefficient est négatif, indiquant une parabole orientée vers le bas. Ainsi, la fonction est négative pour x < -6, positive pour -6 < x < 4, et à nouveau négative pour x > 4. Un tableau de signe résume ces informations, montrant les valeurs prises par la fonction en fonction de l'intervalle de x.
Takeaways
- 📚 La vidéo explique comment étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré sous sa forme factorisée.
- 🔍 Lorsqu'une fonction est sous forme factorisée, il est facile de trouver ses racines, qui sont les points où la fonction s'annule.
- 📈 Les racines sont importants car elles indiquent où la fonction change de signe, ce qui est crucial pour l'étude du signe de la fonction.
- ✅ La fonction donnée est composée de facteurs, ce qui confirme qu'il s'agit d'une fonction du second degré.
- 🤔 La forme factorisée permet de déterminer les points où la fonction change de signe sans avoir besoin de développer l'expression.
- 🧮 En résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0, on trouve les deux racines de la fonction.
- 📉 La fonction est nulle en x = -4 et x = 6, ce qui signifie que la courbe de la fonction intersectera l'axe des abscisses en ces points.
- 📈 Le coefficient du terme en x² détermine l'orientation de la parabole, qui est vers le haut si le coefficient est positif et vers le bas si négatif.
- 📊 La parabole représentant la fonction f a ses branches qui tournent vers le bas car le coefficient du terme en x² est négatif.
- 🔢 Entre -6 et 4, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction vaut des valeurs positives.
- 📋 Le tableau de signe résume les valeurs prises par la fonction en fonction de x, montrant où elle est positive ou négative.
Q & A
Quelle forme de polynôme permet de facilement retrouver les racines et le signe de la fonction ?
-La forme factorisée permet de facilement retrouver les racines du polynôme et le signe de la fonction, car on peut directement observer les facteurs et les valeurs pour lesquelles la fonction s'annule.
Comment déterminer si une fonction polynôme du second degré est une parabole qui a ses branches tournant vers le haut ou vers le bas ?
-Le coefficient du terme en x² détermine la direction des branches de la parabole. Si ce coefficient est positif, les branches tournent vers le haut, et si c'est négatif, elles tournent vers le bas.
Quels sont les points où la fonction s'annule dans le script donné ?
-La fonction s'annule aux points x = -6 et x = 4, car ces valeurs sont les racines du polynôme.
Comment la forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré nous aide-t-elle à comprendre le changement de signe de la fonction ?
-La forme factorisée nous montre les points où la fonction peut s'annuler, ce qui correspond aux changements de signe. En développant la fonction, on obtiendrait un terme du second degré (x²), ce qui nous indique que la fonction est du second degré et nous permet de déterminer les changements de signe.
Quelle est la valeur de la fonction f(x) pour x < -6 ?
-Pour x < -6, la branche de la parabole est en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs négatives.
Quelle est la valeur de la fonction f(x) entre -6 et 4 ?
-Entre -6 et 4, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs positives.
Quelle est la valeur de la fonction f(x) pour x > 4 ?
-Pour x > 4, la branche de la parabole est à nouveau en dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction f(x) prend des valeurs négatives.
Comment le coefficient a du polynôme affecte-t-il la forme de la parabole représentative de la fonction ?
-Le coefficient a détermine si la parabole est en forme de cuvette (si a est positif) ou de colline (si a est négatif), ce qui affecte la direction dans laquelle les branches de la parabole tournent.
Quels sont les deux termes qui permettent de déterminer les racines du polynôme dans le script ?
-Les deux termes sont (x - 4) et (x + 6), et en les égalant à zéro, on détermine les racines du polynôme comme étant x = 4 et x = -6.
Comment le tableau de signe peut-il être utilisé pour résumer les valeurs prises par la fonction f en fonction de x ?
-Le tableau de signe indique les intervalles de x pour lesquels la fonction prend des valeurs positives ou négatives, en se basant sur les points où la fonction s'annule et la forme de la parabole.
Quelle est la forme générale d'une fonction polynôme du second degré ?
-La forme générale d'une fonction polynôme du second degré est ax² + bx + c, où a, b, et c sont des constantes et a ≠ 0.
Comment le signe de la fonction f(x) change-t-il en fonction des valeurs de x ?
-Le signe de la fonction f(x) change aux points où la fonction s'annule (x = -6 et x = 4) et est déterminé par la forme de la parabole (cuvette ou colline) et la position des branches par rapport à l'axe des abscisses.
Outlines
📚 Étude des signes d'une fonction polynomial du second degré
Dans le premier paragraphe, l'auteur explique comment étudier le signe d'une fonction polynomial du second degré sous sa forme factorisée. Il souligne l'importance de cette forme car elle permet d'identifier facilement les racines du polynôme, qui sont les points où la fonction s'annule et où elle change de signe. L'auteur utilise l'exemple de la fonction f(x) = (x - 4)(x + 6) pour montrer comment déterminer les racines et comment cela influence le signe de la fonction. Il indique que les deux racines sont x = -6 et x = 4, et que la forme de la parabole dépend du signe du coefficient du terme en x², qui est négatif dans cet exemple, signifiant que la parabole a ses branches qui tournent vers le bas. En utilisant ces informations, on peut déduire que la fonction est négative pour x < -6, positive pour -6 < x < 4, et à nouveau négative pour x > 4.
📈 Signe de la fonction et tableau de signes
Le deuxième paragraphe traite de la manière de visualiser et de comprendre le signe de la fonction en utilisant un tableau de signes. L'auteur montre comment remplir ce tableau en se basant sur les valeurs de x où la fonction s'annule et le comportement de la parabole. Il explique que la fonction est nulle pour x = -6 et x = 4, et utilise ces points pour déterminer le signe de la fonction pour différentes intervalles de x. Le tableau de signes est un outil efficace pour résumer les valeurs prises par la fonction en fonction de x, montrant clairement que la fonction est négative avant -6, positive entre -6 et 4, et à nouveau négative après 4.
Mindmap
Keywords
💡Signe d'une fonction
💡Fonction polynomiale du second degré
💡Forme factorisée
💡Racines du polynôme
💡Changement de signe
💡Coefficient a
💡Parabole
💡Tableau de signes
💡Axe des abscisses
💡Valeurs de f(x)
💡Intervalles de x
Highlights
Apprendre à étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré sous sa forme factorisée.
La forme factorisée permet de récupérer facilement les racines du polynôme.
Les racines d'un polynôme sont les points où la fonction s'annule.
L'étude du signe de la fonction est importante pour déterminer où elle change de signe.
La fonction du second degré est composée de facteurs, ce qui indique qu'elle est de second degré.
Les racines sont déterminées en résolvant les équations x - 4 = 0 et x + 6 = 0.
Les deux racines sont -4 et 6, qui sont les points où la fonction change de signe.
La courbe représentative de la fonction passe par l'axe des abscisses aux points où la fonction est nulle.
Le coefficient du terme en x² détermine l'orientation de la parabole (montante ou descendante).
Si le coefficient du terme en x² est négatif, la parabole a ses branches qui tournent vers le bas.
La fonction est négative pour les valeurs de x inférieures à -6 et pour les valeurs supérieures à 4.
La fonction est positive pour les valeurs de x comprises entre -6 et 4.
Le tableau de signe résume les valeurs prises par la fonction en fonction de x.
La fonction s'annule pour x = -6 et x = 4.
La branche de la parabole est en dessous de l'axe des abscisses avant -6 et après 4, indiquant des valeurs négatives.
La branche de la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses entre -6 et 4, indiquant des valeurs positives.
Le tableau de signe est un outil efficace pour résumer et répondre à des questions sur la fonction.
La séquence des signes change suivant la position par rapport aux racines et l'orientation de la parabole.
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir
apprendre à étudier le signe d'une
fonction polynôme du second degré sous
sa forme factoriser alors ici on a
effectivement une fonction polynôme du
second degré qui est bien sous sa forme
factoriser on voit que elle est composée
de facteurs et il s'agit bien d'une
fonction du second degré puisque si on
était amené à développer cette
expression eh bien on aurait un moment
donné x x x qui nous renverrait donc du
xe au carré x au carré est donc bien du
second degré alors pourquoi ces
pratiques à ce niveau d'avoir la forme
factoriser de notre fonction tout
simplement parce que quand elle est
quant à lui sous forme factoriser on
peut très facilement récupérer les
racines de notre polynôme et là c'est
intéressant parce que les racines du
polynôme c'est là où la fonction
s'annulent
et si elle ça nul ça veut dire qu'elle
est très certainement amené à changer de
signes or on rappelle qu'on veut en
étudier le signe donc si on sait la wave
change de signe ça sera facile après de
déterminer là où elle est positive et là
où elle est négative où elle change de
signe
et bien la réponse est ici la gx -4 ce
qui veut dire que pour que f de x ça nul
il faudrait que l'un des deux facteurs
soient nuls
donc il faudrait que x - 4 soit égal à
zéro par exemple mais pas seulement ou
que x + 6 soit égal à zéro eh oui - 2
n'ont pas moins de ses -2 ça peut pas
être égal à zéro donc finalement les
deux racines on les détermine comment
tout simplement en résolvant x - cat
égal à zéro et x + 6 égal à zéro ça
c'est très facile ça nous donne
xg cats éric ségal -6 donc grâce à
l'expression factoriser de notes
polynôme on a déjà déterminé
là où notre polynôme notre fonction va
changer de signes 7 en quatre et en
moins 6 regardons un peu gras
comment ce que cela signifie la fonction
f
c'est un nul en x égale cat iq ségala -
si cela veut donc dire que la courbe
représentatives de la fonction f va
passer par l'axé des abscisses là où f
ça nulle en x égale cats éric ségal
moins 6 j'ai marqué ces deux points sur
l'axé des abscisses puisque c'est là où
notre fonction va changer de signe
maintenant elle va changer de signes il
ya deux possibilités si elle change de
signal peut être d'abord positive
ensuite négative ou d'abord négative
ensuite positive et bien pour le savoir
il va falloir regarder le coefficient à
2 notre trinôme je vais expliquer ce que
cela signifie on sait déjà qu'une
fonction polynôme du second degré est
représenté par ce qui s'appelle une
parabole ça à cette forme
ou alors cette forme mais la question
c'est ok c'est la même forme mais elle
est tournée dans quel sens elle va être
tourné dans le sens d'une cuvette où
dans le sens d'une colline et bien c'est
là que j'ai dit que c'est le coefficient
à qui va nous permettre de répondre à
cette question car on a une propriété
qui nous dit que si le coefficient à est
positif et bien la parabole est tourné
de façon à avoir ses branches qui sont
tournés vers le haut
al'inverse 6 ha est négatif et bien on
aura quelque chose en forme de colline
avec une parabole qui a ses branches
tourner vers le bas et ça c'est très
important parce que une fois qu'on a
deux points comme ses marques et ici sur
notre repère et bien par ces deux points
la parabole elle peut remonter comme ça
ou redescendre comme ça bien ça c'est le
coefficient à qui nous le dit ici le
coefficient à il est négatif c'est clair
du coup ait en négatif
on a une parabole avec les branches
tourner vers le bas on peut donc
représenter notre parabole dans ce
repaire notre coefficient à égal moins
de est négatif donc la parabole qui
représente la fonction f possède des
branches tourner vers le bas c'est ce
qu'on a représenté ici à partir de là il
devient très facile d'établir le signe
de la fonction f en fonction de x car ce
signe comme annoncé va changer si on
regarde tout à gauche donc pour des
valeurs plus petites que -6 quelconque
est ce qu'on constate on constate que la
branche de la parabole est en dessous de
l'axé des abscisses ce qui veut dire que
la fonction va nous renvoyer des valeurs
négatives ce qui veut dire que avant -6
et bien la fonction est négative alors
que entre -6 et 4 la parabole est au
dessus de l'axé des abscisses elle va
donc nous renvoyer des valeurs de f
positive et enfin après quatre on se
retrouve à nouveau avec une branche en
dessous de l'axé abscisse la fonction
est donc négatif ce qu'on va faire c'est
qu'on va représenter
ceci dans un tableau de sin cela
permettra de répondre très facilement
très simplement à la question qui est
posée
alors voilà notre tableau thing est prêt
à être complétée les valeurs de x et
bien avons deux moins l'infini à +
l'infini puisque la fonction est défini
sur r quelles sont les valeurs de fgx
correspondante plus précisément quel est
le signe de f qui correspond et bien on
sait qu il se passe des choses en quatre
et en moins si cette annonce est ici
donc il faut faire figurer les valeurs
moins 6 et 4 dans le tableau de signes
qu'est-ce qui se passe eh bien il se
passe que la fonction s'annulent f 2 x
est égal à zéro lorsque x égal moins 6 l
de x est égal à zéro lorsque x égale 4
avant - 6 on avait dit que la branche se
trouve en dessous de l'axé bien des
abscisses donc f 2 x est négatif entre
-6 et 4 on a des valeurs de f2 x
positive et après 4 notre fonction est à
nouveau négative voilà le tableau de
scie qui résume les valeurs prise par f
en fonction de x et cette séquence est
terminée
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