CIRCULO UNITARIO Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Hector Peralta

16 Oct 202013:10

Summary

TLDREl guion ofrece una explicación detallada de las funciones seno y coseno en relación con los ángulos en un sistema de coordenadas cartesiano. Se ilustra cómo los valores de seno y coseno varían a medida que el ángulo cambia, utilizando la calculadora para obtener los valores correspondientes a ángulos específicos como 10, 20, 30, 40, 90 y 350 grados. Se resalta la simetría y el patrón periódico de estas funciones, así como su comportamiento en ángulos complementarios, con ejemplos prácticos y comparaciones visuales en un círculo unitario.

Takeaways

📏 La importancia de que los ejes del transportador coincidan con los ejes del sistema de coordenadas cartesianos para el análisis de funciones trigonométricas.
📈 El eje X se utiliza para medir la proyección de ángulos y se relaciona con la función coseno, donde los valores positivos van de 0 hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda.
📉 El coseno de ángulos como 10° y 350°, así como 20° y 340°, tienen valores muy similares debido a la simetría del círculo unitario.
🔢 Se utilizó una calculadora para obtener valores aproximados del coseno de ángulos específicos, como 0.98 para 10° y 0.86 para 40°.
🚫 A los 90° y 270°, la proyección del coseno es cero, ya que no hay proyección horizontal sobre el eje X.
🔄 El coseno de ángulos opuestos, como 10° y 350°, tiene el mismo valor pero pueden ser de signo contrario dependiendo de su posición en el eje X.
📍 El seno de ángulos como 90° es igual a 1, mientras que el seno de ángulos opuestos, como 10° y 170°, tienen el mismo valor pero de signo opuesto.
📉 El seno de ángulos menores a 180° tiene valores positivos, mientras que los ángulos mayores a 180° hasta 360° tienen valores negativos.
📈 La función seno aumenta gradualmente desde 0 hasta 90°, donde alcanza su valor máximo de 1.
📊 Se proporcionará una tabla de valores para las funciones seno y coseno, donde los estudiantes deberán medir los ángulos en un círculo unitario y calcular los valores correspondientes con una calculadora.

Q & A

¿Qué relación debe existir entre los ejes del transportador y el sistema de coordenadas cartesianas para que la proyección sea correcta?
-Los ejes del transportador deben coincidir perfectamente con los ejes del sistema de coordenadas cartesianas para que la proyección de los ángulos sobre el eje X dé la función coseno correcta.
¿Cuál es el resultado aproximado del coseno de 10 grados según el guion?
-El coseno de 10 grados es aproximadamente 0.98 o 0.987.
¿Por qué el coseno de 350 grados tiene el mismo valor que el coseno de 10 grados?
-El coseno de 350 grados tiene el mismo valor que el de 10 grados porque ambos ángulos son simétricos con respecto al eje X en el círculo trigonométrico, lo que les da el mismo resultado en la función coseno.
¿Cuál es el resultado aproximado del coseno de 20 grados y por qué es significativo?
-El coseno de 20 grados es aproximadamente 0.93 o 0.934. Es significativo porque muestra cómo el valor del coseno disminuye a medida que el ángulo aumenta desde el cero.
¿Por qué el coseno de 30 grados y el de 330 grados tienen el mismo valor?
-El coseno de 30 grados y el de 330 grados tienen el mismo valor debido a la simetría en el círculo trigonométrico; ambos ángulos están a 300 grados de la vertical, pero en direcciones opuestas.
¿Cuál es el resultado del coseno de 90 grados y por qué?
-El coseno de 90 grados es 0 porque, en un círculo unitario, la proyección del ángulo de 90 grados en el eje X no tiene extensión horizontal.
¿Cómo varía el valor del coseno a medida que el ángulo aumenta desde 0 hasta 90 grados?
-A medida que el ángulo aumenta desde 0 hasta 90 grados, el valor del coseno disminuye desde 1 a 0, reflejando la disminución de la proyección horizontal del ángulo en el eje X.
¿Cuál es la relación entre el seno y el coseno de ángulos opuestos en el círculo trigonométrico?
-El seno de un ángulo opuesto es igual al coseno de ese ángulo, pero con signo opuesto. Por ejemplo, el seno de 10 grados es igual al coseno de 350 grados, pero con signo negativo.
¿Cuál es el resultado del seno de 90 grados y por qué es significativo?
-El seno de 90 grados es 1, lo cual es significativo porque representa el valor máximo de la función seno, donde la proyección vertical alcanza su máxima extensión en el eje Y.
¿Cómo se relacionan los valores del seno y el coseno para ángulos que son 180 grados apartados?
-Los valores del seno y el coseno para ángulos que son 180 grados apartados son iguales en magnitud pero opuestos en signo. Por ejemplo, el seno de 10 grados es igual en valor al seno de 170 grados, pero con signo opuesto.
¿Cómo varía el signo de los valores del seno y el coseno a medida que el ángulo recorre el círculo trigonométrico?
-El signo de los valores del seno y el coseno cambia a medida que el ángulo recorre el círculo trigonométrico. Por ejemplo, los valores son positivos en los primeros y terceros cuadrantes para el seno y el coseno, respectivamente, y negativos en los segundos y cuartos cuadrantes.

Outlines

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📏 Explicación de la función coseno en ángulos específicos

El primer párrafo explica cómo el eje x del sistema de coordenadas cartesianos debe coincidir con el eje de un transportador. Se describe el eje x, con valores positivos hacia arriba y negativos hacia la izquierda. Se utiliza la función coseno para proyectar ángulos sobre el eje x, mostrando cómo el coseno de 10 grados y 350 grados tienen el mismo valor, así como el de 20 grados y 340, y así sucesivamente. Se pide a los espectadores que utilicen su calculadora para verificar los valores del coseno de ángulos específicos, como 10, 20, 30 y 40 grados, y se observa que a 90 y 270 grados, el coseno es cero debido a que no hay proyección horizontal.

05:03

🔄 Relación de simetría entre ángulos y su coseno

El segundo párrafo profundiza en la relación de simetría entre ángulos opuestos y su correspondiente valor de coseno. Se muestra que el coseno de ángulos como 170 y 190 grados tienen el mismo valor que el coseno de 10 y 350 grados, pero con signo contrario, ilustrando la simetría en torno al eje x. Se discute cómo los valores del coseno varían en función de la medida del ángulo, y cómo se reflejan estos cambios en la calculadora y en el círculo unitario. Además, se explora cómo los ángulos de 160 y 200 grados tienen el mismo valor negativo que el coseno de 20 y 340 grados, respectivamente, y se continúa con ejemplos de ángulos como 120, 240, 60 y 300 grados para demostrar la simetría y el cambio de signo.

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📉 Análisis del comportamiento del seno y su correspondencia con ángulos

El tercer párrafo examina el seno de diferentes ángulos, destacando cómo los valores del seno cambian y su relación con los ángulos. Se menciona que el seno de 90 grados es 1, y cómo al aumentar los ángulos en 10 grados, los valores del seno también aumentan, como se ve en el seno de 10, 20 y 30 grados. Se hace notar la simetría en los valores del seno para ángulos opuestos, como 10 y 350, y cómo los valores son iguales pero con signo contrario, como en el caso del seno de 170 y 10 grados. Seguidamente, se analiza cómo el seno de ángulos crecientes, como de 20 a 30 grados, se acerca a valores unitarios y cómo, al llegar a 90 grados, el seno alcanza su valor máximo. También se discute el comportamiento del seno más allá de 90 grados, mencionando que los valores son negativos y cómo se refleja esta tendencia en la calculadora.

Mindmap

Keywords

💡Transportador

El 'transportador' se refiere a un dispositivo o sistema que se utiliza para mover objetos o datos de un lugar a otro. En el contexto del video, parece que se utiliza para ilustrar cómo los ejes de un transportador deben coincidir con los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano para una correcta proyección de ángulos sobre el eje X. Esto es crucial para entender la correlación entre los movimientos físicos y su representación matemática en el plano cartesiano.

💡Ejes de coordenadas cartesianos

Los 'ejes de coordenadas cartesianos' son los ejes X e Y en un sistema de coordenadas bidimensional. En el video, se enfatiza la importancia de que los ejes del transportador coincidan con estos ejes para que las proyecciones de ángulos se realicen correctamente sobre el eje X, lo que es fundamental para el entendimiento de las funciones trigonométricas como el coseno y el seno.

💡Función coseno

La 'función coseno' es una de las funciones trigonométricas fundamentales que representa la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo. En el video, se utiliza para demostrar cómo el coseno de ángulos específicos, como 10 grados o 350 grados, produce el mismo valor, lo que se verifica utilizando una calculadora y un círculo unitario.

💡Grados

Los 'grados' son una unidad de medida angular que se usa para medir los ángulos. En el video, se mencionan ángulos en grados, como 10, 20, 30, etc., para calcular sus correspondientes valores de coseno y seno, lo que ayuda a entender cómo varía la función trigonométrica con los cambios en el ángulo.

💡Círculo unitario

El 'círculo unitario' es una representación gráfica de los números complejos en el plano, donde el radio es 1. En el video, se utiliza para visualizar y comprender mejor los valores de las funciones trigonométricas, como el coseno y el seno, para diferentes ángulos, proporcionando una visualización clara de cómo estos valores varían con el ángulo.

💡Calculadora

Una 'calculadora' es un dispositivo electrónico que realiza cálculos matemáticos. En el video, se instruye al espectador para que use una calculadora para obtener valores de funciones trigonométricas como el coseno de 10 grados o el seno de 20 grados, lo que demuestra la aplicación práctica de estas funciones en la vida real y cómo se pueden verificar los resultados teóricos.

💡Función seno

La 'función seno' es otra función trigonométrica fundamental que representa la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto en un triángulo rectángulo. En el video, se explora cómo el seno de ángulos como 10 grados o 170 grados producen valores opuestos pero iguales en magnitud, lo que es crucial para comprender la periodicidad y la simetría de la función seno.

💡Periodicidad

La 'periodicidad' se refiere a la propiedad de ciertas funciones de repetirse a intervalos regulares. En el video, se discute cómo las funciones coseno y seno son periódicas, con un período de 360 grados, lo que significa que los valores de las funciones se repiten cada 360 grados, lo cual es esencial para entender su comportamiento en todo el rango de ángulos.

💡Simetría

La 'simetría' en el contexto del video se refiere a cómo las funciones trigonométricas reflejan valores opuestos pero iguales en magnitud en diferentes ángulos. Por ejemplo, el coseno de 10 grados es igual al coseno de 350 grados, pero el seno de 170 grados es igual en magnitud pero opuesto en signo al seno de 10 grados, lo que muestra la simetría en el comportamiento de estas funciones.

💡Ángulo

Un 'ángulo' es una medida de la disposición de dos líneas en un punto, expresada en grados o radianes. En el video, se utilizan ángulos para calcular valores de funciones trigonométricas, y se explora cómo estos valores varían con diferentes ángulos, lo que es fundamental para entender la relación entre la geometría y la trigonometría.

Highlights

La importancia de que los ejes del transportador coincidan con los ejes del sistema de coordenadas cartesianos.

El eje x y su relación con la función coseno, proyectando ángulos sobre este eje.

El uso de la calculadora para obtener el coseno de 10 grados, aproximado a 0.98.

La similitud del valor del coseno en ángulos de 10 y 350 grados.

El coseno de ángulos crecientes, como 20 grados, mostrando un valor aproximado de 0.93.

La coincidencia del valor del coseno en ángulos suplementarios, como 20 y 340 grados.

El valor del coseno en 30 grados, aproximadamente 0.86, y su correspondencia en 330 grados.

El cambio en el valor del coseno al aumentar el ángulo a 40 grados, mostrando un valor de 0.67 aproximadamente.

La ausencia de proyección en ángulos de 90 y 270 grados, donde el coseno es cero.

La relación de simetría en el valor del coseno en ángulos opuestos, como 170 y 10 grados.

El uso de la calculadora para comparar el coseno de ángulos diferentes y su igualdad o diferencia de signo.

La explicación de cómo varía el valor del seno al cambiar los ángulos, comenzando con 10 grados.

La igualdad del seno en ángulos que son complementarios, como 10 y 170 grados.

El valor del seno en ángulos de 20 y 160 grados, mostrando una aproximación de 0.34.

El seno en ángulos de 30 y 150 grados, con un valor de 0.5, y su progresión hacia 90 grados.

La característica del seno en 90 grados, donde alcanza el valor de 1.

La simetría del seno en ángulos opuestos, como 190 y 10 grados, y su signo contrario.

La explicación de la distribución de valores positivos y negativos en las funciones seno y coseno a lo largo de un círculo completo.

La tarea propuesta para medir y comparar los valores de las funciones seno y coseno en un círculo unitario utilizando una calculadora.