Maclaurin series of sine function

MateFacil

25 Apr 201912:51

Summary

The video is abnormal, and we are working hard to fix it.
Please replace the link and try again.

Takeaways

😀 تم شرح طريقة حساب سلسلة ماكلورن لدالة الجيب باستخدام سلسلة تايلور حول x0 = 0.
😀 تبدأ الطريقة بحساب المشتقات الأولى والثانية والثالثة من دالة الجيب: الجيب، ثم الجيب المشتق (جيب تمام)، ثم الجيب المنقوص، وهكذا.
😀 تم حساب قيم المشتقات عند x = 0، حيث كانت: f(0) = 0، المشتقة الأولى = 1، المشتقة الثانية = 0، المشتقة الثالثة = -1، المشتقة الرابعة = 0.
😀 تم شرح كيفية استخدام سلسلة تايلور لكتابة السلسلة: كان أول مصطلح هو f(0) الذي تم إلغاؤه لكونه صفرًا.
😀 المصطلحات التي تحتوي على مشتقات عند x = 0 كانت صفرية وتم استبعادها، مثل المصطلح الثاني والرابع.
😀 تم استخلاص نمط تكراري للمشتقات، وهو 0، 1، 0، -1، مما يجعل كل مصطلح يحتوي على عامل -1^(n) للتناوب في الإشارات.
😀 تم شرح أن المصطلحات التي تحتوي على أسس زوجية يتم إلغاؤها، بينما يتم الاحتفاظ بالأسس الفردية.
😀 تم تقديم الصيغة العامة للحدود في السلسلة باستخدام قاعدة (2n + 1) للأرقام الفردية.
😀 تم استخدام الملاحظة أنه يمكن كتابة السلسلة باستخدام ملاحظات الجبر مثل 2n + 1 لتوليد الأرقام الفردية.
😀 تم حساب مجال التقاء السلسلة باستخدام قاعدة النسبة وأظهرت أن السلسلة تتقارب لجميع قيم x لأن النتيجة كانت دائمًا أقل من 1، مما يعني أن مجال التلاقي هو من -∞ إلى +∞.

Q & A

ما هي سلسلة ماكلورين التي يتم حسابها في الفيديو؟
-سلسلة ماكلورين هي تمثيل دالة كمتسلسلة لا نهائية حول نقطة معينة، وفي هذا الفيديو يتم حساب سلسلة ماكلورين لدالة الجيب (sin(x) حول النقطة x0 = 0.
كيف يتم حساب سلسلة ماكلورين؟
-لحساب سلسلة ماكلورين، يجب أولاً حساب عدة مشتقات للدالة المعنية ثم تقييم هذه المشتقات عند النقطة x0 = 0. بعد ذلك، يتم استخدام صيغة السلسلة لإيجاد التمثيل التربيعي.
ما هي المشتقات الأولى لدالة الجيب؟
-المشتقة الأولى لدالة الجيب هي دالة جيب التمام (cos(x، ثم تتابع المشتقات بين الجيب وجيب التمام مع الإشارات المتناوبة.
كيف يتم حساب القيم عند x0 = 0؟
-عند x0 = 0، يتم حساب القيم كالتالي: f(0) = sin(0) = 0، المشتقة الأولى f'(0) = cos(0) = 1، المشتقة الثانية f''(0) = -sin(0) = 0، المشتقة الثالثة f'''(0) = -cos(0) = -1، والمشتقة الرابعة f''''(0) = sin(0) = 0.
كيف يتم كتابة سلسلة تايلور لدالة الجيب؟
-يتم كتابة سلسلة تايلور لدالة الجيب عن طريق استبدال القيم المحسوبة للمشتقات في الصيغة العامة لسلسلة تايلور. تضمن هذه الصيغة أيضًا التراكيب التي تحتوي على القوى الفردية لـ x.
ما هو دور الصيغة العامة للحدود في السلسلة؟
-الصيغة العامة للحدود تعتمد على القيم المحسوبة للمشتقات، حيث يتم استخدام القوى الفردية لـ x بالإضافة إلى العامل (-1)^n لتحديد الإشارات المتناوبة في السلسلة.
ما هو دور التبديل بين الإشارات في السلسلة؟
-تتم الإشارات المتناوبة باستخدام العامل (-1)^n حيث تتغير الإشارة بين كل حد وآخر. فمثلاً عندما n = 0، تكون الإشارة موجبة، وعندما n = 1، تكون سلبية، وهكذا.
كيف يمكن التعبير عن السلسلة باستخدام التدوين sigma؟
-يمكن التعبير عن السلسلة باستخدام التدوين sigma كالتالي: Σ (من n = 0 إلى ∞) (-1)^n * (x^(2n+1))/(2n+1)!
ما هو مبدأ حساب فترة التقارب؟
-لحساب فترة التقارب، يتم استخدام معيار النسبة الذي يحدد أن السلسلة تتقارب إذا كان الحد المضاف بين النتيجة السابقة والحالية أقل من 1.
ما هو نطاق التقارب لسلسلة ماكلورين لدالة الجيب؟
-نطاق التقارب لسلسلة ماكلورين لدالة الجيب هو من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية، أي أنها تتقارب لجميع قيم x على خط الأعداد الحقيقية.