Simpson 1/3 Deducción de la fórmula 02
Summary
TLDREl método de Simpson un tercio es una técnica para aproximar integrales definidas, basada en la interpolación de un polinomio de segundo grado. Este método, también conocido como tres octavos, es una derivación de los métodos de Newton-Cotes para aproximación de integrales numéricas. La aproximación se realiza utilizando tres puntos: dos límites (a y b) y un punto medio (a + b)/2. La expresión resultante es una función que aproxima la integral de la función original en el intervalo de interés. El ejemplo práctico mostrado en el script utiliza la función seno al cuadrado y demuestra cómo, mediante esta sencilla fórmula, se puede aproximar una integral numérica con precisión.
Takeaways
- 📚 El Método de Simpson un Tercio es una variante de los métodos de aproximación de integrales numéricas, derivados de los métodos de Newton-Cotes.
- 🔢 Este método utiliza un polinomio de segundo grado para interpolar y aproximar la integral definida de una función en un intervalo.
- 📌 Se requieren tres puntos para el Método de Simpson un Tercio: dos límites (a y b) y el punto medio (m = (a + b) / 2).
- 📈 La interpolación se realiza mediante un polinomio que puede ser obtenido utilizando técnicas como el polinomio de Newton o el método de Lagrange.
- 🔍 El polinomio interpolador se representa g(x) = f(a) * (x - m)^2 * (x - a) + f(b) * (x - m) * (x - b) + f(m) * (x - a) * (x - b).
- 🧩 La integral aproximada por el Método de Simpson un Tercio es la integral de este polinomio interpolador en el intervalo [a, b].
- 📊 La fórmula para la integral aproximada es: ∫(a a f(x)dx) ≈ (f(a) + 4 * f(m) + f(b)) * (b - a) / 6.
- 🌐 El Método de Simpson un Tercio es especialmente útil para funciones que son más fáciles de integrar cuando se elevan al cuadrado.
- 🔑 La precisión del Método de Simpson un Tercio depende en gran medida del grado del polinomio interpolador y la selección de los puntos de interpolación.
- 📝 Es importante tener en cuenta que el Método de Simpson un Tercio es una aproximación y no una valor exacto de la integral definida.
- 🔄 Este método puede ser utilizado para aproximar integrales numéricas de funciones polinomiales de grado superior, incrementando el grado del polinomio interpolador.
Q & A
¿Qué es el método de Simpson un tercio?
-El método de Simpson un tercio es una técnica de integración numérica que utiliza un polinomio de segundo grado para aproximar el área bajo una curva. Es parte de los métodos de Newton-Cotes para la aproximación de integrales.
¿Cómo se relaciona el método de Simpson un tercio con otros métodos numéricos?
-El método de Simpson un tercio está relacionado con otros métodos de Newton-Cotes como el método de los trapecios y el método de Simpson tres octavos, los cuales son variaciones que también utilizan polinomios para aproximar integrales.
¿Por qué se utiliza un polinomio para aproximar integrales en el método de Simpson un tercio?
-Se utiliza un polinomio porque puede ser más sencillo de integrar comparado con la función original, que puede ser complicada o incluso imposible de integrar analíticamente.
¿Qué puntos se utilizan en el método de Simpson un tercio para realizar la interpolación?
-En el método de Simpson un tercio, se utilizan tres puntos: los puntos en los límites inferior y superior de la integral y un punto medio. Estos corresponden a las coordenadas a, b y (a+b)/2 respectivamente.
¿Cuál es la fórmula general del método de Simpson un tercio?
-La fórmula general es (b-a)/6 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)], donde 'a' y 'b' son los límites de integración y 'f' es la función a integrar.
¿Cómo se calcula el punto medio en el método de Simpson un tercio y por qué es importante?
-El punto medio se calcula como (a+b)/2. Es crucial porque este punto es necesario para el cálculo de la interpolación de segundo grado, proporcionando un valor adicional de la función que mejora la precisión de la aproximación.
¿Qué representan las variables 'a' y 'b' en el contexto del método de Simpson un tercio?
-En el contexto del método de Simpson un tercio, 'a' y 'b' representan los límites inferior y superior de la integral definida, respectivamente.
¿Por qué se puede considerar que el método de Simpson es más preciso que otros métodos numéricos para integración?
-El método de Simpson un tercio puede ser más preciso que otros métodos, como el de los trapecios, debido a que usa una interpolación de segundo grado que se ajusta mejor a muchas funciones que los polinomios de grado inferior.
¿Cuál es la importancia de evaluar la función en el punto medio en el método de Simpson un tercio?
-Evaluar la función en el punto medio es crucial para aumentar la precisión de la interpolación del polinomio, permitiendo una mejor aproximación del área bajo la curva entre los límites de integración.
¿Cómo se interpreta la constante '1/3' en el nombre del método de Simpson un tercio?
-La constante '1/3' en el nombre del método no se refiere directamente a la fórmula utilizada, sino más bien a una característica histórica y convencional de la nomenclatura de los métodos de integración numérica basados en la interpolación polinomial.
Outlines
📚 Introducción al Método de Simpson Un Tercio
Este párrafo introduce el Método de Simpson Un Tercio, una técnica matemática para aproximar integrales definidas. Se menciona que es una variante del método de Simpson y se relaciona con el método de trapecios, ambos derivados de los métodos de Newton-Cotes. El texto explica que en vez de intentar integrar un polinomio complicado, se interpola un polinomio más simple y se aproxima la integral de esa forma. Se describe el proceso de interpolación utilizando un polinomio de segundo grado y se definen los límites inferior (a) y superior (b) de la integral, así como el punto medio (m) que se utiliza para la interpolación.
📈 Desarrollo y Aproximación del Polinomio de Segundo Grado
En este párrafo se detalla el proceso de desarrollo del polinomio de segundo grado necesario para el Método de Simpson Un Tercio. Se discute cómo se puede expandir el polinomio y por qué, aunque puede parecer complicado, sigue siendo fácil de integrar. El texto también describe cómo se aproxima la integral utilizando el polinomio desarrollado, y se menciona que aunque el proceso de integración puede ser extenso, la evaluación final resulta en una expresión mucho más simple. Además, se anticipa que la integral se aproxima mediante una fórmula específica que involucra la evaluación de la función en los puntos de los límites y el punto medio.
📊 Aplicación del Método de Simpson Un Tercio al Seno Cuadrado
Este párrafo presenta un ejemplo práctico de cómo aplicar el Método de Simpson Un Tercio para aproximar la integral de una función específica: el seno de x al cuadrado, en el intervalo de 1.2 a 1.6. Se describe el proceso de almacenar los valores de los límites en la calculadora, la utilización de la memoria de la calculadora para simplificar los cálculos y cómo se aplica la fórmula del Método de Simpson Un Tercio para obtener un resultado aproximado. El resultado del ejemplo es 0.3494, que se menciona como el valor aproximado de la integral.
Mindmap
Keywords
💡Método de Simpson un tercio
💡Interpolación
💡Polinomio de segundo grado
💡Límites inferior y superior
💡Valores de la función evaluados
💡Método de Newton y Cotes
💡Método del trapecio
💡Aproximación numérica
💡Área bajo la curva
💡Simplificación algebraica
💡Ejemplo práctico
Highlights
Método de Simpson un tercio para aproximar integrales definidas.
Variante de Simpson un tercio también conocido como tres octavos, derivado de los métodos de Newton y Cotes.
Interpolación de un polinomio de segundo grado en lugar de integrar un polinomio complicado.
El intervalo de integración se representa mediante las variables a (límite inferior) y b (límite superior).
Ubicación de la tercera coordenada en el valor medio, m, de los límites a y b.
Desarrollo del polinomio interpolador de segundo grado utilizando el método de Lagrange.
Aproximación de la integral definida a través de la integral del polinomio interpolador.
Simplificación de la expresión del polinomio de segundo grado para facilitar la integración.
El resultado de la integral evaluada es menor que la complejidad de la expresión aparente.
Explicación detallada de la fórmula de Simpson un tercio y su aplicación.
Ejemplo práctico del método de Simpson un tercio aplicado a la función seno de x al cuadrado.
Uso de la calculadora para simplificar los cálculos en el ejemplo del seno de x al cuadrado.
El resultado aproximado de la integral de 1.2 a 1.6 de seno de x al cuadrado es 0.3494.
La interpolación cuadrática es fundamental para comprender el método de Simpson un tercio.
Consideraciones importantes a tener en cuenta al aplicar la técnica de Simpson un tercio.
Transcripts
ahora sí vamos a obtener la expresión
que corresponde al método de simpson un
tercio para obtener o para aproximar una
integral definida antes de un poquito de
teoría el método de simpson un tercio el
método una variante de simpson un tercio
vamos a poner aquí simpson un tercio una
variante que también se le conoce como
tres octavos e incluso el método de
trapecio para aproximar integrales
forman parte o son son
derivaciones de los métodos de newton
cotes para aproximación de integrales
numéricas que es un método de newton
cotes mira la idea es en lugar de
integrar un polinomio
un poco complicado o en ocasiones
incluso imposible de poder hacerlo mejor
analizó cuál es el intervalo que a mí me
interesa obtener su área e interpol amos
un polinomio puede ser de primer grado
un interpol o de un polinomio lineal
como como bien lo propone el método del
trapecio puede ser un polinomio el
segundo grado comet como el método de
simpson un tercio plantea o ir
incrementando el grado del polinomio
interpelador el principio es el mismo
mejor integramos ese polinomio que es
más sencillo de trabajar a tener que
hacer una integral un poquito más
revoltoso aclarado esto ahora sí vamos a
enfocarnos en simpson un tercio bueno
en el vídeo anterior veíamos un ejemplo
numérico de cómo se planteaba pero ahora
vamos a generalizar lo en lugar de
concentrarnos en 1.2 y en 1.6 como los
otros valores o límites inferior y
superior vamos ahora
a nombrar estos puntos
con valores con variables que me
represente cualquier posible cualquier
posible selección en este caso esta
coordenada sería para a y el valor de g
para la coordenada sería la función
evaluada en a
cerrar acá esta otra coordenada sería b
y el resultado o el valor para allí
sería la función evaluada en b
estamos denominando aquí límite inferior
como a y el límite superior como ven el
método de simpson un tercio se basa en
un polinomio de segundo grado para hacer
una interpolación de segundo grado lo
que requerimos son tres coordenadas por
ahora solamente tenemos dos vamos a
ubicar la tercera tomando en cuenta el
valor de x que está en medio de ahí bien
en este caso estamos hablando de justo
esta coordenada
ok observa el número o el valor que está
en medio de ahí ve se encontraría justo
en esta posición
y ubicamos la coordenada dentro de la
función cual es la descripción para este
punto dado que es el número que está en
medio de los límites vamos a definirlo
como a más b
entre 2 y su valor de y sería la función
evaluada en más b entre 2
con estas tres coordenadas ya puedo
hacer mi interpolación vamos a aquí ya
plantear las tenemos x tenemos bien
tenemos coordenadas y función evaluar
aena
coordenada a más ve entre dos
después la función evaluada dámaso entre
2
y por último ve y la función evaluada en
b
como quieres hacer la interpolación
bueno en realidad es a tu gusto puedes
utilizar el polinomio newton puedes
utilizar las grandes puedes resolver un
sistema de ecuaciones en este caso yo
voy a obtener el polinomio mediante la
granxa es un poquito de matemáticas
solamente voy a dejar en el resultado si
quieres ver en qué me baso para aplicar
lagrange te voy a dejar en la
descripción de este vídeo un enlace para
que puedas revisar cómo se aplica este
método de interpolación yo en este caso
ya tengo aquí desarrollado el polinomio
y que sería la interpolación así que
vamos a copiarlo
y vamos a trabajar con él
en este caso está m que tú estás viendo
yo la escribí o mejor dicho la estoy
definiendo como el valor medio qué
significa eso de medio el a más no entre
2 m es igual a más b entre 2
que solo para que la expresión no
quedara tan extensa utilizando esta
sustitución ahora este polinomio en el
que estás viendo aquí estaría
representando esta parábola que ves en
color verde y cualquier combinación de
los tres puntos de este set de tres
puntos se podría describir con esa
expresión que únicamente variando los
valores de a y debe ahora
podemos nosotros pensar en desarrollar
todo este polinomio porque a qué me
refiero con desarrollar aquí tienes
productos de binomios podría ser lo
mejor decidir hacer x x x x x m m x x
por b que dar una expresión muy extensa
en realidad
pero recordemos no aunque sea una
expresión muy larga aunque sea de
expresión muy grande no te preocupes
porque todavía seguimos hablando de un
polinomio de segundo grado pensar en un
polinomio de segundo grado aunque hayan
algunas letras que puedan hacerlo pensar
que es complicado no deja de ser difícil
de integrar además nuestro enfoque debe
ser en integrar toda esta expresión
sigue aquí vamos a borrar esto
y lo que yo quiero es integrar
porque es el límite inferior hasta ve
todo todo el polinomio y realmente está
integral lo que está haciendo es
aproximar
la integrada que yo estaba buscando
entonces esto es la aproximación una
aproximación de la integral de a ave de
la función original
ahora no voy a desarrollarlo ok y mucho
menos voy a hacer la evaluación de la
integral pero resulta algo curioso bueno
no la voy a desarrollar pero si te voy a
decir cuál es el resultado hay algo
curioso aunque toda esta expresión
aparentemente resulte algo gigantesco la
evaluación de la integral es algo muy
pequeño
estamos diciendo que la integral que yo
estoy buscando de ave fx
de x se está aproximando con lo que voy
a apuntar aquí sería el resultado de
hacer todo esto vamos a tener un
venenosa
/ en este caso entre 6 multiplicando a
la función evaluada na
+ 4 veces la función
evaluada en ambas b entre 2
y por último le vamos a sumar la función
evaluada en b
recuerda que aquí está m significa a más
de entre 2 no es mi comodín y
sustitución para para que no quede tan
extensa
toda esta expresión ahora así de fácil y
sencillo es como nosotros estaríamos
aproximando una integral si tú me das
una función
yo puedo mediante un polinomio de
segundo grado de 100 sabes que el
resultado de esta integral definida lo
puedo aproximar con la expresión que
estábamos viendo en pantalla ahora a lo
mejor te preguntas por qué se llama
simpson un tercio donde está en un
tercio bueno nosotros podemos manipular
un poquito esa expresión la siguiente
forma tenemos a b tenemos fx de x
decimos que esto es aproximadamente
observa un tercio
que multiplica a menos entre 2
y que multiplica lo voy a copiar vamos a
poner todo esto
se multiplica a toda esa expresión a la
mejor te pueden aparecer un poquito
hechizo decir ah pues qué inconveniente
no lo escribiste todo esto para generar
en un tercio y esteve menos a entre dos
que de hecho tiene una razón de ser éste
ve - a entre dos está representado de
manera gráfica a la hora de interpol a
te voy a decir dónde se encuentra
teniendo aquí toda esta función la
distancia que hay
desde a hasta a la obtendríamos con
venosa
si ves 10 y ya es 6 10 6 sería el 4 que
es la distancia ahora al decir de menos
entre 2 lo que estaríamos haciendo
referencia
sería a esta distancia y esa es esa
longitud lo que nos permitía era definir
el punto medio por eso ese ve - a entre
dos tiene su razón de ser es decir nos
dice cuál fue la distancia o cuál es la
distancia del límite inferior y del
metro superior hacia el punto central de
hecho dentro de la fórmula
dependiendo de la bibliografía que tú
puedas consultar estévez
entre dos también lo escriben
como una h
aquí una h y agrega la nota
diciendo que h pues es esto no
y así de fácil y sencillo es como
estaríamos aplicando el método de
simpson un tercio vamos a hacer un
ejemplo vamos a trabajar de hecho con el
mismo ejercicio de el seno de ex al
cuadrado que trabajaba en el vídeo
anterior vamos a poner que la función
que yo quiero analizar es el seno de x
al cuadrado la integral que yo quiero
trabajar sería integral de 1.2 a 1.6 de
toda esa expresión de seno
x al cuadrado y esta misma yo la puedo
aproximar con esta fórmula ok a mí en lo
personal me gusta más emplear la
expresión de aquí
para ponerla
y tenemos una ventaja
podemos emplear la calculadora de forma
directa para hacer los cálculos de fedea
df debe deje de 20-2 observa cómo lo voy
a hacer
por canales aquí y bueno recordando fx
es el seno de x al cuadrado
vamos aquí en nuestra calculadora
a hacer lo siguiente no voy a escribir
el 1.6 ni el 1.2 dado que la calculadora
tiene memorias voy a emplear las vamos a
hacer que el 1.2
se guarde en a vamos a hacer que el 1.6
se guarde en be y voy a escribir
todo esto todo lo que vendría siendo el
simpson un tercio no aquí permitan hacer
una pequeña corrección en cuestión en la
mutación esto no es igual que es
aproximadamente ahora sí
nos dice la expresión que debemos de
apuntar la vez vamos a poner aquí
alfabeto menos la app
- ah
entre 6 multiplicando aquí ojo tenemos
un producto la función de evaluada na
esta es la función entonces escribimos
con la calculadora en radiales por
supuesto en seno
de al seno de al cuadrado sería ponerle
al cuadrado
después hay que sumar 4 veces
la función evaluada en amazon entre dos
así que vamos a poner aquí el seno
vamos a poner esto doble paréntesis
ponemos el cuadrado
y escribimos aquí a más b
a más la ve
entre 2
y listo no observa lo que llevamos acá
tenemos esta expresión y por último
tenemos que hay que sumar la función es
decir el seno
evaluado en b vamos a poner aquí debe al
cuadrado
cerramos el paréntesis y el resultado
sería 0.34 94 que de hecho es el valor
con el que terminamos en el vídeo
anterior esto es lo interesante no
observa
cómo podemos aproximar una integral
numérica
a partir de un producto muy sencillo
solamente que sí es muy importante que
sepas que se basa en una interpolación
cuadrática porque eso nos lleva a saber
cuáles son las consideraciones
importantes que hay que hay que tener en
mente a la hora de aplicar esta técnica
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