94. Ecuación del plano que contiene TRES PUNTOS
Summary
TLDREn este vídeo de 'Mate, fácil', se aborda cómo obtener la ecuación general de un plano a partir de tres puntos no colineales. Se explica que estos puntos definen un único plano y se necesita un punto y un vector normal para su cálculo. A través de la visualización gráfica y la comprensión de la no colinealidad de los puntos, se demuestra la existencia de un solo plano. Seguidamente, se calcula el vector normal utilizando el producto cruz de los vectores formados por estos puntos. Finalmente, se utiliza la ecuación vectorial del plano para determinar la ecuación general, introduciendo un método vectorial y un enfoque algebraico que se profundizará en futuras sesiones.
Takeaways
- 📘 Para obtener la ecuación de un plano que pasa por tres puntos, se necesita un punto en el plano y un vector normal al plano.
- 📐 Los tres puntos dados pueden formar un único plano si no son colineales, lo cual se puede verificar geométricamente o mediante cálculos de ángulos o productos cruz.
- 🔵 Se puede elegir cualquiera de los tres puntos como punto en el plano para calcular la ecuación del plano.
- 🛠️ Para encontrar un vector normal, se calcula el producto cruz de dos vectores formados por los tres puntos no colineales.
- ✅ El producto cruz entre dos vectores que se forman con los puntos no colineales da como resultado un vector perpendicular al plano.
- 📊 El vector normal resultante del producto cruz se utiliza para la ecuación vectorial del plano, junto con un punto en el plano.
- 📌 La ecuación general del plano se obtiene resolviendo la igualdad del producto punto del vector normal y el vector que une un punto en el plano con un punto general.
- 🔄 Otros métodos para encontrar la ecuación de un plano incluyen el método algebraico de sustitución, que se explicará en un próximo vídeo.
- 👨🏫 El vídeo ofrece una guía paso a paso para resolver el ejercicio de forma interactiva, invitando a los espectadores a pausar y probar por sí mismos.
- 🔗 Se proporciona un enlace a la lista completa de cursos en la descripción del vídeo para aquellos que quieran aprender más sobre los conceptos explicados.
Q & A
¿Qué método se utiliza para encontrar la ecuación general de un plano que pasa por tres puntos?
-Se utiliza el método vectorial, que implica formar vectores a partir de los puntos dados, calcular el producto cruz de estos vectores para obtener un vector normal al plano y luego utilizar este vector normal junto con las coordenadas de uno de los puntos para escribir la ecuación del plano.
¿Por qué es necesario un vector normal para encontrar la ecuación de un plano?
-Un vector normal es esencial para definir la ecuación de un plano porque indica la dirección perpendicular al plano. Esto permite expresar la ecuación del plano en términos de x, y y z, donde el vector normal (a, b, c) se utiliza en la fórmula general ax + by + cz = d.
¿Cómo se determina si tres puntos están en la misma recta y, por lo tanto, no definen un único plano?
-Se puede verificar si los tres puntos están en la misma recta calculando el producto cruz de los vectores formados por estos puntos. Si el producto cruz es cero, los puntos son colineales y, por lo tanto, no definen un único plano.
¿Cómo se calcula el vector que une dos puntos en un plano?
-Para calcular el vector que une dos puntos A y B con coordenadas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) respectivamente, se resta la posición de A de la posición de B: (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
¿Qué es el producto cruz y cómo se calcula?
-El producto cruz es una operación que se realiza en tres dimensiones y produce un vector perpendicular a los dos vectores operandos. Se calcula mediante el determinante de una matriz formada por los componentes de los vectores y las bases unitarias i, j, k.
¿Cómo se determina la ecuación vectorial de un plano?
-La ecuación vectorial de un plano se determina utilizando un punto en el plano (p0) y un vector normal (n). La ecuación general es n · (p - p0) = 0, donde p es un punto general en el plano, y la resta p - p0 da el vector desde p0 a p.
¿Cuál es la importancia de asegurarse de que los puntos no son colineales antes de calcular la ecuación del plano?
-Si los puntos son colineales, hay infinidad de planos que pueden pasar por ellos y no se puede definir una única ecuación de plano. Es crucial verificar que los puntos no son colineales para asegurar que existe un único plano que los contenga.
¿Qué alternativas hay al método vectorial para encontrar la ecuación de un plano?
-Otra alternativa es el método de sustitución, que implica sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación general del plano ax + by + cz = d para resolver un sistema de ecuaciones lineales y encontrar los coeficientes a, b, c y d.
¿Cómo se puede verificar si un punto pertenece a un plano dado?
-Para verificar si un punto pertenece a un plano, se puede sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del plano. Si la ecuación se evalúa a cero, el punto está en el plano.
¿Qué pasos se sugieren para resolver el ejercicio propuesto en el vídeo?
-Se sugiere que el espectador pause el vídeo, intente resolver el ejercicio utilizando los mismos pasos mostrados en el vídeo y luego verifique su resultado con la solución proporcionada.
Outlines
📐 Introducción al cálculo de la ecuación de un plano
Este primer párrafo introduce el objetivo del vídeo, que es resolver un ejercicio sobre cómo obtener la ecuación general de un plano que pasa por tres puntos distintos. Se explica que para obtener la ecuación de un plano se necesitan las coordenadas de un punto en el plano y un vector normal al plano. A partir de las coordenadas de tres puntos dados, se discute cómo determinar si estos puntos son co-lineales, es decir, si pertenecen a la misma recta, y por ende, si definen un único plano. Se utiliza una representación gráfica para visualizar los puntos y se explica que si los puntos no son co-lineales, entonces existe un único plano que los contiene. Finalmente, se menciona que se necesitará calcular un vector normal utilizando el producto cruz de dos vectores formados por los puntos dados.
🔍 Procedimiento para calcular el vector normal y la ecuación del plano
En este segundo párrafo, se describe el proceso detallado para calcular el vector normal al plano utilizando el producto cruz de dos vectores que se forman a partir de los tres puntos dados. Se explica cómo se calculan estos vectores y se muestran los pasos matemáticos para obtener el producto cruz, que resulta en un vector perpendicular a ambos y, por lo tanto, normal al plano. A continuación, se utiliza la ecuación vectorial del plano con un punto dado y el vector normal calculado para derivar la ecuación general del plano. Se invita al espectador a intentar resolver un ejercicio similar y se ofrece una solución de ejemplo para verificar el resultado.
📘 Alternativa al método vectorial: el método de sustitución
El tercer párrafo presenta un método alternativo para encontrar la ecuación de un plano, el cual es completamente algebraico y se basa en la sustitución de coordenadas en la ecuación general del plano. Se menciona que este método, que se explicará en detalle en el siguiente vídeo, es útil para aquellos que prefieren resolver sistemas de ecuaciones en lugar de utilizar el método vectorial. Además, se agradece a los donantes y se invita a los espectadores a apoyar el canal a través de diferentes plataformas.
Mindmap
Keywords
💡Plano
💡Punto
💡Vector
💡Normal
💡Producto Cruz
💡Co-lineales
💡Ecuación vectorial del plano
💡Determinante
💡Método vectorial
💡Método de sustitución
Highlights
Explicación del ejercicio de encontrar la ecuación general de un plano que pasa por tres puntos.
Necesidad de un punto sobre el plano y un vector normal para calcular la ecuación de un plano.
Uso de las coordenadas de tres puntos sobre el plano para determinar si son co-lineales.
Visualización gráfica de los tres puntos para determinar si pertenecen a una misma recta.
Demostración geométrica de que los tres puntos no son co-lineales y por lo tanto definen un único plano.
Métodos para verificar si los puntos son co-lineales: ángulo de 180 grados, producto cruz cero, y verificación de paralelismo.
Selección de un punto sobre el plano y necesidad de encontrar un vector normal.
Formación de dos vectores a partir de los tres puntos para calcular un vector perpendicular al plano.
Cálculo del vector AB y AC para utilizar en el producto cruz.
Explicación del producto cruz de dos vectores para encontrar un vector normal al plano.
Cálculo del producto cruz y obtención del vector normal al plano.
Uso de la ecuación vectorial del plano con un punto y el vector normal para encontrar la ecuación del plano.
Cálculo del vector que une el punto general con el punto de partida y su producto punto con el vector normal.
Obtención de la ecuación general del plano que pasa por los tres puntos.
Invitación al público a resolver un ejercicio similar siguiendo los pasos mostrados.
Método vectorial para obtener la ecuación de un plano y su comparación con el método algebraico de sustitución.
Anuncio del próximo vídeo que explicará el método algebraico de sustitución para encontrar la ecuación de un plano.
Agradecimiento a los donantes y promoción de las formas de apoyo al canal.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a resolver el
ejercicio que dejé al final del vídeo
anterior que consiste en obtener la
ecuación general de un plano que pasa
por tres puntos estos puntos de aquí a b
y c
para calcular la ecuación de un plano
nosotros necesitamos dos cosas
necesitamos saber las coordenadas de un
punto sobre el plano y de un vector que
sea normal al plano en este caso tenemos
las coordenadas de tres puntos sobre el
plano podemos tomar cualquiera de esos
puntos y entonces ya tenemos un punto
sobre el plano pero nos hace falta
conocer un vector normal ese vector
normal vamos a obtenerlo a partir de
estos tres puntos para entender de qué
manera podemos calcular ese vector
normal
vamos a ver gráficamente qué es lo que
tenemos
aquí tenemos la gráfica de los tres
puntos que nos da el ejercicio el punto
21 - 1 el b que es 5 - 20 y el pse que
04 - bueno
estos tres puntos si nosotros los
observamos así parecería que pertenecen
a una misma recta si los tres puntos
pertenecieron a una misma recta se dice
que son co lineales y en ese caso
existirían infinidad de planos que
contienen a esos tres puntos pero en el
caso en el que los tres puntos no
pertenecen a una misma recta existe un
solo plano que contiene a los tres
puntos primero vamos a ver si los tres
puntos pertenecen o no a una misma recta
es decir si son o no son co lineales si
dibujamos por ejemplo la recta que une
al punto b y al punto a la recta es esta
recta de aquí en amarillo es la recta
que pasa por ahí ve y vemos que el punto
c no pertenece a esta recta así que
geométricamente queda claro que los tres
puntos no son co lineales si quisiéramos
demostrar esto sin necesidad de hacer
una gráfica podríamos hacerlo de varias
maneras una muy sencilla sería tomar el
vector
y el vector hace y podemos por ejemplo
calcular el ángulo que forman si el
ángulo es de 180 grados entonces son
puntos con lineales otra opción es
calcular el producto cruz de esos dos
vectores si el producto cruz es cero
entonces son co lineales otra forma
sería verificar si los vectores son
paralelos es decir si un vector es un
múltiplo del otro todas estas formas ya
las he explicado en otros vídeos de este
curso en la descripción de este vídeo
pueden encontrar el enlace a la lista de
reproducción completa de este curso y
ahí pueden ver esos vídeos bueno
entonces ya vimos que los tres puntos no
son co lineales por lo tanto esos tres
puntos determinan un solo plano si
dibujamos el plano en este caso queda de
esta manera este plano en anaranjado es
el plano que contiene a los puntos a b y
c
bueno nosotros queremos calcular la
ecuación de este plano y para calcular
esa ecuación necesitamos un punto y un
vector normal ya tenemos un punto de
hecho tenemos tres pero podemos escoger
cualquiera de ellos por ejemplo digamos
que escogemos el punto y nos hace falta
conocer un vector normal y para eso lo
que vamos a hacer es formar dos vectores
a partir de estos tres puntos vamos a
escoger el punto a como punto de partida
podríamos elegir cualquier otro de los
puntos pero voy a elegir el punto a por
ejemplo y entonces vamos a formar el
vector ave y el vector hace esos
vectores quedarían de esta manera del
vector a b y el vector hace como ya
vimos esos vectores no son paralelos
porque los tres puntos no son co
lineales entonces para calcular un
vector perpendicular a este plano lo que
vamos a hacer es lo mismo que vimos en
el vídeo anterior porque ahora tenemos
un plano que contiene un punto y que
contiene dos vectores eso fue lo que
resolvimos en el vídeo anterior
simplemente hay que calcular el producto
cruz de estos dos vectores y de esa
manera tendremos un vector perpendicular
a estos dos vectores que a su vez será
un vector perpendicular al plano es
decir un vector normal en este caso al
calcular ese producto cruz obtenemos
este vector en azul y ese será el vector
que servirá como vector normal del plano
entonces lo que tenemos que hacer es
calcular el producto cruz del vector ave
con el vector ace primero hay que
calcular estos vectores uniendo estos
puntos y luego el producto cruz y así
resolvemos el problema
vamos a empezar entonces calculando el
vector que va del punto a al punto b ese
vector se calcula restando las
coordenadas de estos puntos las del
punto final menos las del inicial es
decir de menos a entonces tenemos que
hacer esta resta la hacemos y nos queda
este resultado
5 - 2 nos da 3 - 2 - 1 nos da menos 3 y
0 - menos 1 nos da 1 positivo porque
este menos por este menos nos da más
de la misma forma calculamos el vector
hace en este caso hay que restar c menos
a este menos éste hacemos la resta y en
este caso nos da menos 23 menos 1 ya
tenemos los vectores que unen esos
puntos
ahora vamos a calcular el producto cruz
calculamos ave cruz hace y lo vamos a
hacer mediante el determinante ponemos y
j y k en el primer renglón en el segundo
renglón colocamos las componentes de ave
que son estas de aquí y en el tercer
renglón las de hace que son estas de
aquí
ahora hacemos el desarrollo del
determinante para la componente y
multiplicamos menos 3 x menos 1 que nos
da tres luego 13 nos da menos 3 y eso se
multiplica por y luego para la
componente j no hay que olvidarnos de
que hay que poner un menos y en este
caso quitamos este renglón y esta
columna y multiplicamos 3 x menos 1 que
nos da menos 3 y luego menos menos 2 x 1
que nos da más 2 y luego para la
componente k quitamos este renglón y
esta columna 3 por 3 nos da 9 menos
menos 2 x menos 3 que nos da 6
hacemos ahora estas operaciones 330 así
que ya no hay componente y menos tres
más dos nos da menos uno y por este
menos nos da más así que queda j y nueve
menos seis nos da tres así que queda
aquí más tres k ya tenemos entonces el
resultado de este producto cruz ese será
nuestro vector normal así que el vector
normal es el 0 1 3
bueno ahora vamos a utilizar la ecuación
vectorial del plano utilizando un punto
como p 0 puede ser cualquiera de estos
tres y nuestro vector normal
bueno como p 0 vamos a utilizar por
ejemplo el punto a que es el 211 aunque
igualmente podríamos utilizar cualquiera
de los otros puntos en el punto p es el
punto general x y z formamos el vector
que une p 0 con p restando estas
coordenadas así que es x menos 2 - 1
iceta menos -1 ahora hacemos el producto
punto de estos vectores es decir este
vector con este de acá arriba nos queda
esto de aquí igual a 0 y hacemos ahora
las multiplicaciones es 0 por x menos
dos más uno porque menos uno más tres
por zeta más uno igual a cero aquí al
multiplicar x menos dos por cero eso nos
da cero así que este término lo podemos
quitar luego uno por llenos h uno por
menos uno es menos 13 por zeta es 3 z y
3 por una estrés hacemos está resta
menos 13 nos da más 2 y esta de aquí es
la ecuación general del plano que pasa
por estos tres puntos
ahora los invito a que ustedes le den
pausa al vídeo e intenten resolver el
siguiente ejercicio siguiendo los mismos
pasos que acabamos de ver y enseguida
les voy a mostrar la respuesta para que
verifiquen su resultado
bueno si ya intentaron hacerlo lo que
debieron haber hecho es lo siguiente
primero formar el vector ave que les
debió quedar menos 4 - 3 - 1 luego el
vector hace que es menos 115 también
podrían haber formado el bea y b c o el
sea y se ve es lo mismo pueden usar dos
vectores que unan a estos tres puntos
pero por hacerlo de la misma forma que
en este vídeo podrían haberlo hecho así
con el ave y el aceite ahora calculamos
el producto cruz y queda este vector de
aquí 16 y menos 19 j menos 7 k
entonces el vector normal al plano es el
16 19
7
y vamos a escoger uno de estos puntos
como nuestro punto p cero para utilizar
la ecuación vectorial del plano por
ejemplo usamos el punto a que es este de
aquí el punto p general es el x y z
hacemos la resta de las coordenadas para
formar el vector que une p 0 con p x 5 y
2 z menos 2 y ahora hacemos el producto
punto de este vector con el vector
normal que obtuvimos y aquí simplemente
es desarrollar las multiplicaciones 16
por x 5 menos 19 porque menos dos menos
7 % menos 2 igual a cero hacemos las
multiplicaciones reducimos estos
términos semejantes y así llegamos a
este resultado que es la ecuación
general del plano que pasa por estos
tres puntos
bueno el método que vimos en este vídeo
es una forma de obtener la ecuación
general que pasa por tres puntos y ese
método es el método vectorial mediante
este método ya encontramos la ecuación
del plan o simplemente formando vectores
calculando el vector el producto cruz y
así obtenemos el vector normal existe
otro método que también funciona muy
bien y que también nos permite encontrar
la ecuación del plano el otro método es
completamente algebraico y vamos a
llamarle método de sustitución consiste
en sustituir las coordenadas de estos
puntos en la ecuación general del plano
la cual es de la forma ad x + b
cz más b igual a 0 hacemos la
sustitución de estas coordenadas y así
vamos a obtener un sistema de tres
ecuaciones y al resolver este sistema
vamos a encontrar los coeficientes de la
ecuación general del plano este método
lo voy a explicar en el siguiente vídeo
y es una alternativa útil para encontrar
la ecuación de un plano
por alguna razón olvidamos el método
vectorial o si no pero si nos parece
mejor resolver sistemas de ecuaciones
bueno entonces los invito a que miren el
siguiente vídeo
muchas gracias a todas las personas que
me han apoyado con su donación a través
de youtube y a través de pensión por
aquí pueden ver sus nombres si ustedes
quieren apoyarme por alguno de estos
medios pueden hacerlo dando click al
botón de unirse que aparece a un lado
del botón de suscribirse o el enlace
ap/john pueden encontrarlo en la
descripción
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