Curso de Integrales. Capítulo 2: la constante, el símbolo y el diferencial. Una propuesta didáctica.
Summary
TLDREl guion del video ofrece una introducción amigable al concepto de integral, comparando el aprendizaje de la integral con aprender a hablar, donde primero se adquiere la idea básica antes de abordar el rigor matemático. Expone la importancia de la 'c' en las integrales como constante de integración, y cómo representa el desplazamiento en el eje y cuando x es cero. Además, se discuten las fórmulas para dividir potencias con la misma base, la derivación de potencias y la importancia de la constante en la derivada de una función. El guion también explora el símbolo de la integral y su significado en el contexto de áreas y sumas infinitas, concluyendo con cómo insertar integrales en una aplicación de procesamiento de texto.
Takeaways
- 📚 El concepto de integral se acerca primero de forma amigable y sin rigor, similar a cómo se aprende a hablar, para facilitar su comprensión.
- 🔍 Se utiliza el área para introducir la idea de integral, como un modelo didáctico que ayuda a enraizar la idea de manera sencilla.
- 🧩 Aprender la integral sin sobrecargar la carga de trabajo cerebral es importante, al igual que aprender a manejar un coche paso a paso.
- 📉 El proceso de aprendizaje de la integral comienza con una aproximación general y luego se va enfolando en detalles más específicos, como el tráfico y las señales en la conducción.
- ✍️ Al calcular integrales, se pone una 'c' al final, que representa la suma de una constante a la función antiderivada.
- 🔢 La 'c' en las integrales es como los gastos fijos en economía o cualquier otro valor que se añade al inicio cuando x=0.
- 📈 La gráfica de las funciones muestra cómo la 'c' es el desplazamiento vertical de la función con respecto al eje x.
- 🤔 La curiosidad sobre el origen del símbolo de la integral y su evolución desde las anotaciones de Newton hasta el símbolo actual.
- 📐 El símbolo de integral se usa para denotar el conjunto de primitivas que, al derivar, dan la función original.
- 📏 El 'dx' en una integral representa una pequeña diferencia en el eje x, la base de un rectángulo en el proceso de sumar áreas.
- 📝 La integral de una función se escribe formalmente como la suma de rectángulos con altura 'f(x)' y base 'dx', y se puede insertar en aplicaciones de edición de texto como Word.
Q & A
¿Qué es el concepto de integral y cómo se acerca al mismo el guion?
-El concepto de integral se acerca a través de la idea de área, utilizando un modelo didáctico amigable que no requiere rigor inicialmente, permitiendo que el entendimiento se asienta antes de abordar el tema con rigurosidad matemática.
¿Por qué se menciona la importancia de entender el concepto de integral antes de abordarlo con rigor?
-La comprensión del concepto de integral sin rigor sirve como base para poder enfrentarlo con rigurosidad más adelante, evitando la sobrecarga cognitiva que puede causar el aprendizaje de conceptos complejos de forma abrupta.
¿Cómo se relaciona el aprendizaje de la integral con el aprendizaje del lenguaje o el manejo de un coche?
-Se compara el aprendizaje de la integral con el aprendizaje del lenguaje o el manejo de un coche, enfatizando la importancia de comenzar con un enfoque más amplio y luego pasar a detalles específicos y automáticos.
¿Qué es la 'c' que se menciona al final de calcular una integral y por qué se pone?
-La 'c' representa una constante que se añade al final de una integral para representar el conjunto de antiderivadas o primitivas de la función, ya que una misma derivada puede corresponder a diferentes funciones.
¿Qué es la derivada y cómo se calcula la derivada de una función simple como x?
-La derivada es una medida de la pendiente de una función en un punto dado. La derivada de x es 1, ya que la pendiente de la función f(x) = x en cualquier punto es 1.
¿Por qué las funciones x - 1, x + 1 y x tienen la misma derivada?
-Tienen la misma derivada porque la derivada es la pendiente y todas estas funciones tienen una pendiente de 1 en cualquier punto del eje x.
¿Qué significa el símbolo 'dx' en una integral y cómo se relaciona con el concepto de área?
-El 'dx' en una integral representa una pequeña diferencia en el eje x, y es parte del proceso de sumar áreas de rectángulos con bases muy pequeñas para calcular el área bajo la curva de una función.
¿Cómo se puede representar formalmente la integral de una función en una ecuación?
-La integral de una función se representa formalmente como ∫f(x)dx, donde 'f(x)' es la función y 'dx' indica la diferencia infinitesimal en el eje x.
¿Qué es el símbolo 'S' que se coloca delante de una integral y qué representa?
-El símbolo 'S', que en realidad es el símbolo de integral ∫, se coloca delante de una función para indicar que se está calculando el conjunto de primitivas de esa función.
¿Cómo se inserta una integral en una aplicación de procesamiento de texto como Word?
-Para insertar una integral en Word, se va a la pestaña 'Insertar', se selecciona 'Ecuación', se coloca el cursor donde se desea la integral, se elige el símbolo de integral y se escribe la función correspondiente, añadiendo 'dx' al final.
¿Qué es el significado de 'integral' fuera del contexto matemático y cómo se relaciona con otros contextos como la economía o la medicina?
-Fuera del contexto matemático, 'integral' puede referirse a algo esencial o fundamental en otros campos. Por ejemplo, en economía podría significar los gastos fijos de una empresa, mientras que en medicina podría tener otro significado específico relacionado con el campo.
Outlines
📚 Aprendizaje de la integral y su significado matemático
El primer párrafo introduce el concepto de integral a través de la idea de área, utilizando un enfoque didáctico amigable y sin rigor, similar al proceso de aprender a hablar. Se compara con la necesidad de aprender habilidades básicas antes de abordar aspectos más complejos, como se hace al aprender a conducir. La integral se presenta como una base para entender conceptos más avanzados, y se menciona la importancia de entender las operaciones matemáticas subyacentes, como la división de potencias con la misma base y la derivación de potencias, para comprender la 'fe' o constante que se añade al final de una integral.
🔍 Derivadas y su relación con las integrales
El segundo párrafo explora el concepto de derivada, demostrando cómo calcularlas para funciones simples como x, x - 1, y x + 1, y destacando que todas estas funciones tienen la misma derivada, lo que implica que tienen la misma pendiente. Esto lleva a la idea de que una misma derivada puede corresponder a diferentes funciones, lo que se conoce como antiderivadas o primitivas. Se explica que la integral de una función es el conjunto de todas las primitivas que, al derivar, resultan en la función original, y se introduce la necesidad de añadir una constante 'c' cuando se calcula una integral, demostrando su significado gráficamente y en diferentes contextos.
📘 Símbolos y formalismo en cálculos integrales
El tercer párrafo se enfoca en los aspectos formales del cálculo integral, incluyendo el símbolo de integral y su origen, atribuido a Newton y Leibniz. Se discute el significado del diferencial 'dx', que representa las pequeñas diferencias en el eje x, y cómo se relaciona con las áreas de rectángulos en el proceso de integración. El párrafo también proporciona una guía sobre cómo insertar integrales en Microsoft Word y bromea sobre el uso del término 'integral' en el contexto de alimentos, como el arroz o el pan integral, para ilustrar cómo el conocimiento matemático puede ser aplicado de manera humorística en la vida cotidiana.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Área
💡Cálculo
💡Derivada
💡Constante
💡Función
💡Antiderivada
💡Diferencial
💡Rectángulos
💡Símbolo de la integral
Highlights
El concepto de integral se acerca a través de la idea de área, utilizando un modelo didáctico amigable sin rigor.
La analogía de aprender a hablar sin concordancia gramatical para entender la integral de manera sencilla.
La importancia de tener un concepto de integral antes de abordarlo con rigor.
La comparación entre aprender a manejar un coche y aprender a calcular integrales.
La explicación de por qué se pone una 'c' al final al calcular una integral.
La demostración de dividir potencias con la misma base y su aplicación en integrales.
La fórmula para entender cuánto vale cualquier número elevado a cero.
La derivación de potencias y su importancia en el cálculo de integrales.
La derivada de la función constante 'uno' y su resultado cero.
La derivada de funciones como x, x - 1 y x + 1, y su relevancia en el aprendizaje de integrales.
La explicación de que distintas funciones pueden tener la misma derivada debido a tener la misma pendiente.
La definición de integral como el conjunto de primitivas que derivadas dan una función específica.
La importancia de la constante 'c' en la integral y su representación gráfica.
La interpretación de la 'c' en diferentes contextos como economía, física y medicina.
El simbolismo detrás del símbolo de integral y su evolución histórica.
La explicación del término 'dx' en el contexto de integrales y su significado.
La forma de insertar integrales en aplicaciones de procesamiento de texto como Word.
El humor final relacionado con el término 'integral' aplicado a alimentos como arroz o pan.
Transcripts
y le pregunté a un compañero para qué
miera se pone una fe cada vez que se
calcula una integral y me dice para
aprobar ahora que entiendo el porqué de
verdad voy a contarlo el motivo es para
probar
no el motivo es matemático en el
capítulo 1 me he acercado al concepto de
integral mediante la idea de área
particularmente utilizado un modelo
didáctico de acercamiento al concepto
que facilite el enraizamiento de la idea
un modelo que te acerque a la idea de
integral de forma amigable sin rigor
como cuando se aprende a hablar nadie
nos dice con un año de vida que hablemos
con concordancia de género y número o
que tildemos una palabra primero
balbuceamos luego con el tiempo se nos
empieza a entender
y aprendemos gramática sintaxis dicción
ortografía Una vez que se tiene el
concepto de integral se tiene la base
para afrontarlo con rigor así de esta
forma no superamos la carga de trabajo
que puede asimilar el cerebro cuando
aprende cuando aprendemos a manejar un
coche debemos manejar con soltura el
volante el embrague el freno las marchas
además hay que empezar en un terreno
grande plano y después cuando aprendemos
a manejar el coche de forma automática
empezamos a ver las señales el tráfico
el ancho de las calles vuelvo al
principio del capítulo cada vez que se
calcula una integral hay que poner una c
al final y para entender esto bien Por
qué hay que poner una c al final voy a
recordar pequeños cálculos que debo
tener en cuenta te pido tu atención
porque estas pequeñas operaciones te van
a ayudar a entender la fe de verdad Cómo
se divide en potencias con la misma base
por ejemplo 2 elevado 5 entre 2 elevado
a 2 2 por 2 por 2 por 2 por 2 entre 2
por 2 este se anula con este y este con
este y me queda 2 elevado a 3
[Música]
que con la fórmula era
se pone la misma base y se restan los
exponentes el de arriba menos el de
abajo 2 elevado a tres
para dividir potencias con la misma base
se pone la misma base y se restan los
exponentes
[Música]
fórmula para enmarcar
cuánto vale cualquier número elevado a
cero y cómo se demuestra si tengo esta
fracción 2 elevado a 3 entre 2 elevado a
3
pongo la misma base y resto los
exponentes 3 - 3 0 2 elevado a 0 pero
cuando en una misma fracción el
numerador es lo mismo que el denominador
la división es 1 así que cualquier
número elevado a cero es uno
[Música]
fórmula para enmarcar
como se deriva una potencia recordamos
la fórmula y la embarcamos derivada de X
elevado a n es n por x elevado a n - 1
Cómo se calcula la derivada de uno
el uno es como si tuviera aquí una x
elevada a 0 que es uno y derivo como una
potencia con la fórmula 0 por 1 es 0
y aquí queda x elevada a 0 - 1 que es
menos 1
pero esta multiplicación da 0 Así que la
derivada de uno es cero y esto podemos
hacerlo con cualquier constante la
derivada de uno de dos de -4
de cualquier constante es 0
teniendo en cuenta las tres fórmulas
vamos a derivar Cuál es la derivada de
la función x
el 1 del exponente que no se ve pero
está se multiplica por el coeficiente 1
que está adelante que no se ve pero que
también está y queda uno por uno es uno
se pone la x y se le resta uno al
exponente uno menos uno es cero nos
queda x elevada a cero que es uno y uno
por uno es uno la derivada de X es 1
[Música]
Cuál es la derivada de la función x
menos 1
[Música]
derivamos x que es uno y derivamos -1
que es 0 la derivada de x - 1 es 1
[Música]
Cuál es la derivada de x + 1
[Música]
la derivada de X es 1
y la derivada de uno es cero la derivada
de x + 1 es 1
Pero por qué distintas funciones tienen
la misma derivada porque la derivada es
la pendiente y estas funciones tienen la
misma pendiente
pendiente 1 siempre
esto quiere decir que una misma función
puede tener distintas integrales o dicho
con más rigor antiderivadas o primitivas
funciones de las que deriva entonces
debo decir que la integral de esta
función es el conjunto de primitivas que
tengan esta forma o esta estructura para
nombrarlas a todas y no dejarme ninguna
fuera la integral de esta función es una
función que tiene una x y un número real
cualquiera un número real es constante
la integral es x más una constante y la
constante representa a cualquier número
real y aquí de esta forma están todas
las primitivas de esta función Al
conjunto de primitivas se le llama
integral y a partir de ahora cada vez
que calculemos la integral de una
función sumamos una c y no me quejo
porque poner una c es muy barato pero
empieza a picarme la curiosidad me fijo
en la Gráfica de las tres funciones
Porque quiero saber qué es la c en la
Gráfica miro de nuevo y se me ocurre
dibujar las tres en la misma gráfica
lo tienes efectivamente la c es lo que
se separa la función del eje x el valor
de la y cuando la x vale 0 aquí la c es
-1 aquí es 0 Y aquí es más uno la c en
una gráfica de economía puede significar
los gastos fijos de los que parte una
empresa cada mes en física será otra
cosa y en medicina otra pero
gráficamente lo que significa es lo que
sube o baja en el eje x cuando la x es 0
[Música]
el primer punto formal ha sido la c la
fe famosa
la segunda cuestión es el símbolo de la
integral debemos poner algo que indique
la integral de la función porque si no
sólo queda la función algo que nos
indique que queremos calcular la
integral de una función el conjunto de
primitivas que derivadas dan la función
podemos poner calcula el conjunto de
primitivas que derivadas dan esta
función pero es muy largo Así que lo que
se pone es este símbolo tan raro
os animo a investigar de dónde salió
pero para sintetizar decir que Newton
para denotar la integral de una función
le colocaba una rayita encima o también
la metía en un cuadradito
como haciendo alusión a las áreas a una
cuadratura pero el símbolo que se
extendió y se impuso fue este el
deleinez dijo como se trata de la suma
de pequeñas áreas de rectángulos de una
función le pongo una s delante de la
función pero como es la suma infinita
llevada al límite de rectángulos cada
vez más finos la ssace larga como si
fuera la suma de un límite debió hacer
algo así Supongo
o así
Así que cada vez que queramos hacer la
integral de una función colocamos este
símbolo delante y la leemos integral de
esta función otra cuestión formal que
vemos en una función es el dx si lo que
tenemos que hacer son áreas de
rectángulos con bases muy pequeñas tan
pequeñas como podamos tan pequeñas que
se acerquen a cero pero sin llegar nunca
a ser cero tenemos que decir que son
diferencias muy pequeñas de x y son de X
porque la base de los rectángulos está
en el eje x la función es la altura del
rectángulo la i de la función y la base
es la diferencia pequeñita de cada
rectángulo de X Aquí hay una base por
una altura o infinitas bases por
infinitas alturas que tenemos que sumar
Por ejemplo si tenemos que hacer la
integral de x + 2 diferencial de X
x + 2 es una función en la que si
metemos el 1 en la x nos queda 3 y 3 es
la y la altura del rectángulo Así que a
partir de ahora formalmente escribiremos
la suma de los rectángulos con altura F
de x y base de x o simplificando la
integral de F de X diferencial de X si
tenéis que insertar integrales en la
aplicación Word vamos a la pestaña
insertar ecuación
y aparece esta cajita justo donde
tengamos el cursor aquí elijo integral
y hago clic en el cuadradito de puntos
escribo la función
y vuelvo al desplegable de la integral
aquí al final está el diferencial de X
la última cuestión y sin duda la más
importante es que si pongo aquí un
alimento por ejemplo arroz entonces
puedo decir que es arroz integral pasa
lo mismo con el pan esto sería pan y
esto sería pan integral
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