¿Qué es la derivada? El concepto gráfico de derivada. ¿Qué es doblegar la curva?
Summary
TLDREste video ofrece una introducción a la idea de derivada, primero de una manera natural y luego con rigor matemático. Se explica cómo comparar cantidades mediante la razón y el porcentaje, y se aplica a la vida real con ejemplos de pendientes de carreteras. Se profundiza en el concepto de pendiente, diferenciando entre rectas y curvas, y se introduce la derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Se ilustra con la función f(x) = x^2, mostrando cómo la derivada nos da la pendiente de la tangente en cualquier punto. El video también conecta la derivada con el comportamiento de la función, y cómo una derivada cero indica un punto de cambio de la función. Finalmente, se menciona el término 'doblegar la curva' en el contexto de las medidas sanitarias para reducir la tasa de infección.
Takeaways
- 📚 La derivada es un concepto matemático que se utiliza para medir la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto específico.
- 🔍 Se introduce la idea de derivada de una manera natural antes de abordarla con rigor matemático.
- ⭐ La comparación de cantidades a través de la división permite entender mejor la relación entre ellas, como el doble o la mitad.
- 📈 La pendiente de una carretera o recta se calcula dividiendo la distancia vertical por la distancia horizontal.
- 🚗 Se utiliza un ejemplo práctico de un coche subiendo una carretera para explicar cómo calcular la pendiente y su significado.
- 📉 La pendiente en porcentaje no es lo mismo que los grados o el ángulo que forma la carretera con la horizontal.
- 📚 Se describe cómo calcular la pendiente de una recta inclinada y cómo esta pendiente varía según la posición en la recta.
- 🔍 Se introduce la idea de que en una curva, la pendiente varía en cada punto y se puede calcular la pendiente en un punto específico usando la recta tangente.
- 📈 Se explica el proceso de aproximar la recta tangente a una curva al acercarla lo suficiente hasta que la pendiente de la secante converge a la pendiente de la tangente.
- 🎯 La derivada se define matemáticamente como el límite cuando el intervalo horizontal tiende a cero, y es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.
- 📘 Se ejemplifica el proceso de calcular la derivada para la función f(x) = x^2 y cómo esta derivada se utiliza para encontrar la pendiente de la tangente en puntos específicos.
- 📊 La gráfica de la función y su derivada muestra cómo la pendiente de la derivada refleja el comportamiento de la función (crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión).
- 🌡 Se hace una analogía sobre cómo 'doblegar la curva' en el contexto de las medidas sanitarias durante una pandemia, relacionándolo con la reducción de la pendiente de la curva de contagios.
Q & A
¿Qué es la derivada y cómo se relaciona con la pendiente de una curva?
-La derivada es un concepto matemático que se refiere a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico. Es el límite de la pendiente de las rectas secantes a la curva cuando el punto de corte se acerca al punto de interés, y se convierte en la tangente.
¿Cómo se compara la relación entre dos cantidades utilizando la razón?
-La razón se utiliza para comparar la relación entre dos cantidades dividiendo una por la otra. Esto indica cuántas veces una cantidad es mayor o menor que la otra, y se puede expresar en porcentaje multiplicando el resultado por 100.
¿Cómo se calcula la pendiente de una carretera inclinada?
-La pendiente de una carretera se calcula dividiendo la distancia vertical que ha subido el vehículo entre la distancia horizontal recorrida. Este valor se puede expresar en tantos por ciento o como una proporción.
¿Qué es una recta tangente y cómo se relaciona con la pendiente de una curva?
-Una recta tangente es una línea que toca una curva en un solo punto sin cruzarla. La pendiente de la recta tangente en ese punto es igual a la pendiente de la curva en ese punto específico.
¿Cómo se interpreta la pendiente de un 100% en una carretera?
-Una pendiente del 100% significa que por cada unidad de longitud horizontal, la carretera sube una unidad de longitud vertical. Esto indica una inclinación muy pronunciada, donde la carretera sube lo mismo que avanza horizontalmente.
¿Qué es la función f(x) = x^2 y cómo se relaciona con su derivada?
-La función f(x) = x^2 es una función cuadrática que representa una parábola. Su derivada, f'(x) = 2x, indica la pendiente de la recta tangente a la parábola en cualquier punto x.
¿Cómo se determina la pendiente de la tangente a la función f(x) = x^2 en el punto x = 1?
-Para determinar la pendiente de la tangente en el punto x = 1, se sustituye x por 1 en la derivada f'(x) = 2x, lo que resulta en f'(1) = 2. Por lo tanto, la pendiente es 2.
¿Qué indica un valor de derivada negativa en la función f(x) = x^2?
-Un valor de derivada negativa indica que la pendiente de la tangente a la función en ese punto es negativa, lo que significa que la función está decreciendo en ese intervalo, es decir, a medida que aumenta x, la función f(x) disminuye.
¿Qué ocurre cuando la derivada de una función es cero?
-Cuando la derivada de una función es cero, significa que la pendiente de la tangente en ese punto es plana, y la función tiene un punto de inflexión, donde puede pasar de decrecer a crecer o viceversa.
¿Qué significa 'doblegar la curva' en el contexto de datos acumulados de infectados por un virus?
-Doblegar la curva se refiere a reducir la tasa de aumento de los casos de infección. En el contexto de los datos acumulados, significa que las medidas sanitarias están surtiendo efecto y la pendiente de la curva de casos está disminuyendo, lo que se refleja en una disminución en la pendiente de la recta tangente a la gráfica.
Outlines
📐 Concepto de razón y pendiente
El primer párrafo introduce el concepto de razón y pendiente como una forma de comparar dos cantidades, ejemplificado con la comparación de números y su aplicación en la medición de la pendiente de una carretera. Se describe cómo calcular la pendiente a través de la división de la distancia vertical entre la distancia horizontal y cómo esta relación se traduce en términos de porcentaje. Además, se menciona que la pendiente varía en función de la inclinación de la carretera y cómo se relaciona con el ángulo que forma con la horizontal.
📈 Derivada como pendiente de la tangente a una curva
El segundo párrafo explora cómo calcular la pendiente en un punto de una curva, utilizando la idea de aproximar la curva con rectas tangentes. Se explica el proceso de acercar una recta a la curva hasta que roce y se define como tangente a la curva. Luego, se introduce el concepto de derivada matemática como el límite de la pendiente de una recta secante cuando el intervalo horizontal 'h' tiende a cero. Se ilustra este proceso con una función simple 'f(x) = x^2', demostrando cómo calcular la derivada y su significado en términos de pendiente de la tangente en puntos específicos de la función.
📉 Aplicaciones de la derivada y doblegar la curva
El tercer párrafo profundiza en las aplicaciones prácticas de la derivada, mostrando cómo se utiliza para determinar la pendiente de tangentes a curvas en puntos específicos y cómo esta información es útil en el análisis gráfico. Se discuten las implicaciones de tener una derivada positiva, negativa o nula, y cómo estas condiciones se relacionan con el crecimiento, decrecimiento o puntos de inflexión de una función. Finalmente, se hace una analogía entre el concepto de 'doblegar la curva' en contextos como la epidemiología y el efecto que tiene en la pendiente de la tangente a una curva representativa de los datos en cuestión.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Pendiente
💡Razón
💡Porcentaje
💡Función
💡Recta Tangente
💡Recta Secante
💡Límite
💡Función Derivada
💡Doblegar la Curva
Highlights
El video trata de enseñar el concepto de derivada de manera natural y matemática.
Comparar cantidades mediante la resta y la división para entender relaciones y proporciones.
La razón, que es la división de una cantidad entre otra, se usa para comparar magnitudes.
Ejemplo práctico: calcular la pendiente de una carretera mediante la relación vertical/horizontal.
La pendiente se expresa en porcentaje multiplicando el cociente por 100.
La pendiente de una carretera se calcula dividiendo la distancia vertical entre la horizontal.
La pendiente de una recta se mide comparando su desplazamiento vertical con el horizontal.
La pendiente de una curva se calcula aproximándola con rectas tangentes.
La recta tangente a una curva en un punto tiene una pendiente diferente a la de una secante.
El concepto de límite se introduce para pasar de una secante a una tangente matemáticamente.
La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.
La definición de derivada se calcula tomando el límite cuando h tiende a cero en la fórmula de la pendiente.
Ejemplo de derivada: la función f(x) = x^2 tiene una derivada f'(x) = 2x.
La derivada permite obtener la pendiente de la tangente a una curva en cualquier punto.
La gráfica de la función y su derivada muestra la relación entre pendientes y el comportamiento de la función.
La derivada negativa indica que la función decrece, mientras que la positiva indica crecimiento.
Cuando la derivada es cero, hay un punto de mínimo en la función.
Doblegar la curva en el contexto de epidemiología significa reducir la tasa de crecimiento de los contagios.
Transcripts
[Aplausos]
en este vídeo voy a intentar que
aprendas el concepto de derivada para
siempre primero veremos la idea de
derivada de una forma natural y a
continuación con rigor de forma
matemática
[Música]
se te ocurre alguna forma de comparar
dos cantidades por ejemplo cuatro y dos
si restamos 42 nos da 2 y si dividimos 4
entre 24 entre 2 son 24 es dos veces 2
probamos ahora con 10 y 8 vamos a
compararlos restando también es 2 pero
10 no es el doble de 8 parece que la
mejor forma de comparar dos cantidades
es dividir una entre otra es como si
tuviéramos más claro cuánto es una más
grande que la otra comparemos diez y
cinco parece evidente que 10 es el doble
de 5 ahora lo hacemos al revés divido la
menor entre la mayor
[Música]
5 es la mitad de 10 y si queremos ver la
relación que hay entre los dos en tantos
por ciento sólo tenemos que multiplicar
0.5 por 100
[Música]
5 es el 50 de 10 dividir es una buena
forma de comparar a esta forma de
comparar se le llama razón la razón
indica el número de veces que una
cantidad es mayor o menor que otra pero
para qué sirve comparar cantidades vamos
a ver un ejemplo aplicado de comparación
de cantidades
este coche intenta subir por esta
carretera la carretera está inclinada
tiene pendiente cuánta pendiente tiene
para saber la pendiente comparamos dos
cantidades la dimensión vertical y la
dimensión horizontal lo que ha subido
entre lo que ha recorrido en horizontal
esa comparación nos da una idea de lo
pendiente que está la carretera si lo
que ha subido el coche es 7
y lo que ha recorrido es 20 podemos
comparar 7 y 20 7 entre 20 es 0 35
y si multiplicamos 0 35% lo tenemos en
tantos por ciento 7 es el 35 de 20
la pendiente de esta carretera es del
35% recordamos hemos comparado 7 y 20 la
razón la división
la relación entre 7 y 20 es 0 35
7 es el 35 por ciento de 20
he subido el 35% de lo que he recorrido
el 35
quiere decir que si aquí hubiera 100
aquí habría 35 la pendiente de una
carretera o de una rampa o de una recta
se calcula dividiendo la distancia
vertical entre la distancia horizontal
ahora el coche va por esta carretera
está más pendiente que está me do y veo
que ha subido 10 mientras que ha andado
20 comparo las cantidades
[Música]
10 es el 50% de 20
10 es la mitad de 20 la pendiente de
esta carretera es del 50% vamos con una
carretera muy pendiente medimos 20 en
vertical y 20 en horizontal
[Música]
tenemos una pendiente del 100% por cada
100 que ando subo 100 atención la
pendiente en tantos por ciento no son
los grados el ángulo que forma la
carretera con la horizontal es otra
forma de medir la pendiente en este caso
el ángulo es de 45 grados es la mitad de
un ángulo de 90 grados
una pregunta sube esto un coche algunas
marcas dicen que si a mí me parece
difícil que un coche suba una pendiente
del cien por cien o una moto si vamos a
profundizar en el concepto de pendiente
a la pendiente de esta rampa es igual
que la pendiente de esta recta una recta
puede estar horizontal o tener
inclinación la inclinación es la
pendiente esto es poca pendiente esto es
mucha pendiente para calcular la
pendiente de una recta tomamos un tramo
y calculamos lo que ha subido entre lo
que ha recorrido en horizontal
esta recta tiene una inclinación de 10 /
15 su pendiente es 10 / 15
[Música]
hasta ahora hemos calculado pendientes
de líneas rectas pero imaginemos que la
carretera en vez de tener una pendiente
continua tiene esta forma ahora la
pendiente es distinta en cada punto hay
una pendiente por cada punto de la
carretera como calculamos la pendiente
en un punto si la línea es curva la
solución que dan las matemáticas es ésta
cogemos esta recta la acercamos a la
línea curva cuando la roce decimos que
la recta es tangente a la curva en ese
punto una recta tangente a una curva es
una recta que la toca o la roza en un
punto pero sin cortar la cada recta
tangente a la curva tiene una pendiente
distinta a medida que mueve la recta
haciendo que toque en un punto a la
curva la pendiente varía vamos a dejarla
en el punto en el que queremos calcular
la pendiente la recta es tangente a la
curva en este punto la pendiente de la
recta será la pendiente de la curva en
este punto justo si calculamos la
pendiente de esta recta tendremos la
pendiente de la curva en este punto
esta es la idea el concepto de pendiente
de una recta tangente a una curva ahora
tenemos que hacerlo de forma exacta y la
forma exacta es la forma matemática el
invento es este trazamos una recta que
pase por el punto en el que queremos
calcular la pendiente y por otro punto
cualquiera si la recta corta a la curva
no es una tangente es una secante ahora
vamos a calcular la pendiente de esta
recta secante
y ponemos nombre a nuestra función como
función empieza por efe
efe
el punto en el que quiero calcular la
pendiente tiene esta x cuando lo hacemos
pasar por la función o le aplicamos la
función tendremos su f x a la distancia
horizontal entre el punto x y el
siguiente punto lo llamaremos h que para
eso es horizontal el siguiente punto en
el eje de las x será x + h y si lo
hacemos pasar por la función tenemos
efe de x + h pero lo que realmente
queremos para calcular la pendiente de
la recta es esta medida y ésta
esta medida es h y para calcular esta
medida hacemos esto desde aquí hasta
aquí ni de fx + h y desde aquí hasta
aquí me de fx por tanto este trozo será
esto menos esto
i
[Música]
recordemos que la pendiente de esta
recta es esto entre esto
en matemáticas a la pendiente se le
llama m
[Música]
aquí
i
ah
lo que queremos es la pendiente en el
primer punto tenemos la pendiente de
esta recta pero no la de esta que es la
tangente en este punto
[Música]
el gran invento matemático fue hacer la
h cada vez más pequeña tan pequeña que
se fuera acercando a cero y si h es cero
la recta secante se convierte en la
recta tangente a la curva en este punto
basta con hacer h muy pequeño para
conseguir convertir la pendiente de la
recta secante en la pendiente de la
recta tangente y en matemáticas hacer la
h cero es hacer el límite cuando h
tiende a cero de esta distancia entre
ésta
[Música]
a la pendiente de la recta tangente se
le conoce con el nombre de derivada y
esta fórmula es conocida como la
definición de derivada recordamos para
siempre la derivada es la pendiente de
la recta tangente a la curva en un punto
no vamos a verlo con un ejemplo la
función f x igual a x cuadrado
[Música]
lo que queremos exactamente es calcular
la pendiente de la recta tangente a esta
curva en cualquier punto
por ejemplo en x igual a 1 o en x igual
a menos uno o en x igual a cero ahora
volvemos a la fórmula matemática de la
derivada vamos a aplicarla a nuestra
función fx igual a x cuadrado tengo que
hacer efe de x + h en nuestra función
donde pone x tengo que poner x + h pero
como esta al cuadrado debo poner x + h
al cuadrado y fx en nuestra función es x
cuadrado
[Música]
x + h al cuadrado es un binomio al
cuadrado cuadrado del primero más
cuadrado del segundo más el doble
producto del primero por el segundo
[Música]
esta x cuadrado se anula con esta que
está restando
[Música]
sacamos factor como un h
[Música]
ah
ahora hacemos el límite cuando h tiende
a 0 este límite se resuelve sustituyendo
h por 0
2x es una nueva función a esta nueva
función que ha derivado de la otra la
llamamos función derivada o simplemente
derivada y para distinguirla la vamos a
llamar f prima de x aquí está la
genialidad con la función derivada
podemos obtener la pendiente de
cualquier tangente a la curva solo
tenemos que sustituir el valor de la x
en la que queramos la pendiente en la
función derivada por ejemplo para x
igual a 1 resulta que f prima de x es 2
por 1 que es 2 la pendiente de la recta
tangente a la curva en x igual a 1 es 2
vamos a verlo en la gráfica nos vamos a
x1 en este punto trazamos una tangente y
vemos que pendiente tiene de forma
gráfica
[Música]
la pendiente de la recta tangente a la
curva es 2 lo mismo que obtuvimos con la
fórmula
ahora lo hacemos con x menos 1 sustituyó
menos 1 en la función derivada
2 x menos uno es menos 2
la pendiente en x igual a menos 1 es
menos 2
vemos en la gráfica que quiere decir
pendiente menos 2 la pendiente es 2 pero
en este sentido
cuánto será la pendiente en x igual a 0
vemos que la tangente es plana en x
igual a cero
ahora en la fórmula
sustituimos x por 0 se confirma que la
pendiente en x0 es 0
una curiosidad vamos a dibujar las dos
funciones en una misma gráfica para ver
qué relación hay entre una función y su
derivada
[Música]
genial cuando la derivada es negativa es
decir su valor está por debajo del eje
de las x la función x cuadrado tiene
pendientes negativas cuando la derivada
es positiva la función x cuadrado tiene
pendientes positivas y cuando la
derivada pasa por cero la función x
cuadrado de la que deriva tiene
pendiente cero además podemos decir que
cuando la derivada es negativa la
función de la que procede decrece
decrecer significa que a medida que
aumenta la x disminuye la iv y podemos
decir también que cuando la derivada es
positiva la función de la que procede
crece que a medida que aumenta la x
aumenta la iv y en cero en cero la
derivada es cero
la recta tangente no tiene pendiente la
función tiene un punto en el que pasa de
decrecer a crecer a este punto se le
llama mínimo es un punto en el que la
derivada se hace cero y la última
pregunta que es doblegar la curva a qué
se refieren los científicos cuando
hablan de doblegar la curva imaginemos
que este diagrama de barras recoge los
datos acumulados de infectados por un
virus cada día se suman los nuevos
infectados a los que ya se han producido
anteriormente y esta es la gráfica que
representa la evolución de los datos la
pendiente de la recta tangente a la
curva es fuerte
los casos siguen subiendo
se toman medidas sanitarias para
intentar reducir los contagios y los
contagios empiezan a descender la
pendiente de la recta tangente a la
curva va disminuyendo si la curva se
suaviza se doblega la pendiente de la
recta tangente se hace cada vez más
plana doblegar la curva es conseguir que
la derivada sea cero y lo hemos
conseguido
[Música]
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