Entropy (for data science) Clearly Explained!!!

Summary

在本期StatQuest视频中，Josh Starmer清晰地解释了数据科学中的熵（Entropy）。他通过易于理解的例子，如鸡的颜色和概率，展示了熵如何量化惊讶感，及其与概率之间的关系。视频深入讲解了熵的计算方法，强调熵作为每次事件期望惊讶值的意义。通过引入信息论中的经典公式，Josh帮助观众更好地理解熵在分类树、互信息和交叉熵等领域中的应用。最终，熵被呈现为描述随机性和不确定性的重要工具。

Takeaways

• 😀 熵在数据科学中被广泛应用，如用于构建分类树，量化两个事物之间的关系，和相对熵及交叉熵。
• 😀 熵与概率相关，越低的概率会带来更高的惊讶感，而越高的概率则会带来较低的惊讶感。
• 😀 惊讶的计算基于概率的倒数的对数，使用对数是因为概率为1时惊讶感应为0。
• 😀 在计算惊讶时，使用对数函数解决了概率为1时惊讶无法为零的问题。
• 😀 计算硬币抛掷结果的惊讶时，可以通过将每次抛掷的概率与惊讶值相乘，并求和来得到总惊讶值。
• 😀 熵实际上是每次事件的平均惊讶值，它是惊讶的期望值。
• 😀 熵的计算公式可以通过乘以概率并求和得到，但它通常以另一种标准形式表示，即信息论中的香农熵公式。
• 😀 熵是衡量随机事件不确定性的一个量，概率均等时熵最大，概率差异较大时熵较小。
• 😀 对于鸡的例子，通过计算不同区域中鸡的种类分布的熵，我们可以量化区域中鸡的多样性和不确定性。
• 😀 香农熵公式通过概率和惊讶的关系来表示信息量和不确定性，它是信息理论的核心概念之一。
• 😀 想要让别人吃惊，可以简单地告诉他们概率倒数的对数，这是熵的核心计算方法。

Q & A

什么是熵，它在数据科学中的作用是什么？

熵是衡量随机变量不确定性的指标，它在数据科学中用于多种应用，如构建分类树、计算互信息、以及在算法如t-SNE和UMAP中应用。熵帮助量化相似性和差异性，尤其是在概率和惊讶之间的关系中。

熵是如何与惊讶的概念相关联的？

熵与惊讶直接相关，因为惊讶的程度与事件发生的概率呈反比。当事件的概率较低时，惊讶较大；当概率较高时，惊讶较小。熵就是这种惊讶的期望值，也就是平均惊讶。

为什么不能直接使用概率的倒数来计算惊讶？

直接使用概率的倒数来计算惊讶存在问题，因为当事件的概率为1时，倒数为1，但实际上我们希望得到的是零惊讶。因此，使用概率倒数的对数而不是简单倒数，能更准确地反映实际的惊讶程度。

为什么对数函数在计算惊讶时是合适的？

对数函数能够将概率和惊讶之间的关系进行平滑处理，确保当概率为1时，惊讶为0，而对于极小概率的事件，惊讶会非常大。对数函数帮助避免了零概率（不可发生事件）带来的数学不确定性。

如何计算一次抛硬币实验中的惊讶？

在一次抛硬币实验中，如果硬币的正反面概率分别为0.9和0.1，可以使用对数公式来计算每种结果的惊讶。计算公式是惊讶 = -log₂(概率)，然后分别计算正面和反面出现时的惊讶值。

如何计算一次抛硬币实验的总惊讶？

一次抛硬币实验的总惊讶是每次抛硬币结果的惊讶值的总和。例如，如果抛三次硬币，结果是正正反，那么总惊讶是各个抛掷的惊讶值的和。

什么是熵的定义？

熵是一个概率分布的期望惊讶值。也就是说，它表示在多次实验中，我们平均会有多少惊讶。例如，对于一个抛硬币实验，熵是每次抛掷硬币时的平均惊讶。

如何从惊讶公式推导出熵的公式？

从惊讶公式出发，可以计算每个结果的惊讶值，乘以其发生的概率，然后加总所有结果的贡献，这样得到熵的计算公式。熵是每个可能结果的惊讶值与其发生概率的乘积之和。

在统计学中，熵的标准公式是什么？

在统计学中，熵的标准公式是：H(X) = - Σ p(x) log₂ p(x)，其中p(x)是某一事件x发生的概率，log₂表示以2为底的对数。该公式表示所有可能事件的加权惊讶值的负和。

如何计算区域A、B和C中的熵值？

通过计算每个区域中不同类型的鸡的概率并应用熵公式，可以计算区域A、B和C的熵。例如，区域A有6只橙色鸡和1只蓝色鸡，使用概率6/7和1/7来计算熵。区域B和C也通过类似的方法计算熵。