Volumen entre un cilindro y un paraboloide con integral doble en COORDENADAS POLARES | GEOGEBRA
Summary
TLDREl script proporciona una guía detallada sobre cómo calcular el volumen de dos sólidos, un paraboloide y un cilindro, utilizando coordenadas polares en lugar de rectangulares debido a su mayor conveniencia. Se recomienda el uso de tecnologías como GeoGebra y Maple para visualizar y verificar los cálculos. La explicación abarca conceptos como el paraboloide elíptico, la representación de figuras en 3D y la importancia de las coordenadas polares para figuras circulares. Además, se ofrece una metodología para plantear y resolver integrales dobles, destacando la simplicidad del enfoque polar en comparación con el método rectangular. Finalmente, se destaca la importancia de la comprensión gráfica para resolver integrales en espacio tridimensional y se motiva a los espectadores a utilizar herramientas tecnológicas para facilitar la comprensión y el cálculo de volúmenes complejos.
Takeaways
- 📚 Se discute el cálculo del volumen de dos sólidos: un paraboloide y un cilindro, utilizando coordenadas polares.
- 📐 Se destaca la conveniencia del uso de coordenadas polares en lugar de las rectangulares para este tipo de problemas.
- 💡 Se sugiere el uso de tecnologías como GeoGebra y Maple para visualizar y verificar los cálculos de integrales dobles.
- 📈 GeoGebra es particularmente útil para graficar superficies complejas de manera amigable.
- 🚀 Se describe cómo las gráficas de paraboloides elípticos varían con el valor de zeta, que afecta la concavidad y la orientación del paraboloide.
- 🔍 Se explica que el volumen a calcular está limitado por un paraboloide superior y un disco inferior, ambos en el plano x-z.
- 📐 Se detalla la importancia de entender la geometría de los sólidos para plantear correctamente las integrales.
- ⭕ Se menciona que el corte del cilindro es circular y cómo esto se relaciona con las coordenadas polares.
- 🔢 Se describe el proceso de cálculo del volumen utilizando integrales dobles y cómo se aplican las coordenadas polares en la integral.
- 📉 Se destaca la importancia de recordar las conversiones adecuadas de coordenadas y el diferencial de área en polares.
- 🔧 Se recomienda la utilización de Maple para resolver integrales complejas y verificar los resultados obtenidos.
- 📝 Se concluye con una mención de que, además de las integrales dobles, existen integrales triples y cílindricas para cálculos en espacio tridimensional.
Q & A
¿Qué tipo de sólido se está calculando el volumen en el script?
-Se está calculando el volumen de dos sólidos: un paraboloide elíptico y un cilindro, donde el paraboloide está contenido dentro del cilindro.
¿Por qué se utilizan coordenadas polares para este cálculo en lugar de rectangulares?
-Las coordenadas polares son más convenientes para este tipo de figuras circulares y parabólicas, ya que simplifican los cálculos y la representación gráfica de las figuras.
¿Qué software se recomienda para graficar las figuras mencionadas en el script?
-Se recomienda el software GeoGebra para graficar de manera amigable estas figuras, y también se menciona el uso de Maple para verificar los cálculos.
¿Cómo se define el paraboloide elíptico en términos de sus coordenadas?
-El paraboloide elíptico se define por la ecuación z = x^2 + y^2, donde z es el eje en el que el paraboloide se abre y x e y son las coordenadas en el plano.
¿Cómo se relaciona el valor de zeta con la forma del paraboloide?
-El valor de zeta determina la concavidad y la dirección en la que se abre el paraboloide. Por ejemplo, si zeta es positivo, el paraboloide abre hacia arriba, y si es negativo, abre hacia abajo.
¿Cómo se representa gráficamente un cilindro en coordenadas polares?
-Un cilindro en coordenadas polares se representa por una circunferencia en la base y su simetría radial. La ecuación de un cilindro puede ser r = radio del cilindro.
¿Cómo se determina el volumen del sólido compuesto por el paraboloide y el cilindro?
-Se realiza una integral doble, primero con respecto al radio y luego con respecto al ángulo, utilizando las coordenadas polares y las funciones que definen el límite superior (paraboloide) e inferior (cilindro) del volumen.
¿Cuál es la ventaja de utilizar la integral doble en polares en lugar de cartesianas para este cálculo?
-La integral doble en polares simplifica el cálculo, ya que las expresiones son más directas y la geometría de las figuras circulares se adapta mejor a este sistema de coordenadas.
¿Cómo se calcula el diferencial de área en coordenadas polares?
-El diferencial de área en coordenadas polares se calcula como dA = r dr dθ, donde r es el radio y θ es el ángulo.
¿Qué es la identidad trigonométrica que se utiliza para simplificar el cálculo del volumen?
-Se utiliza la identidad trigonométrica x^2 + y^2 = r^2 para relacionar las coordenadas cartesianas con las polares y simplificar el cálculo.
¿Cómo se verifica el resultado del cálculo del volumen utilizando Maple?
-Se ingresan las integrales correspondientes en Maple, utilizando las coordenadas polares y los límites adecuados, y se evalúa la integral para obtener el volumen, el cual se compara con el resultado obtenido manualmente.
¿Por qué se dice que las integrales dobles y triples son más complicadas que las simples?
-Las integrales dobles y triples son más complicadas porque dependen fuertemente de la geometría del sólido sobre el cual se realizan, lo que requiere una comprensión más profunda de la figura y la elección adecuada de las coordenadas.
Outlines
😀 Introducción a la cálculo de volúmenes con coordenadas polares
El primer párrafo introduce el tema de calcular el volumen de sólidos utilizando coordenadas polares. Se menciona el uso de GeoGebra y Maple para visualizar y verificar los cálculos. Se discuten figuras geométricas como paraboloides elípticos y cilindros, y cómo su traza es parabolica. Además, se explora cómo el valor de zeta afecta la forma del paraboloide. Finalmente, se describe cómo el volumen se encuentra entre un paraboloide y un disco, y cómo estos sólidos se representan en 3D.
📚 Análisis de figuras geométricas y ecuaciones parabólicas
Este párrafo profundiza en la identificación de figuras geométricas como paraboloides elípticos y cilindros circulares. Se abordan las ecuaciones de estos objetos y cómo se relacionan con el corte de un cilindro, resultando en una sección circular. Se destaca el uso de integrales dobles para calcular el volumen y se recomienda el uso de coordenadas polares en lugar de cartesianas debido a su simplicidad en figuras circulares. Además, se describe cómo se calcula el ángulo de barrido y el radio en un sistema polar, y cómo estos conceptos son útiles para calcular áreas y volúmenes.
🧮 Procedimiento para calcular el volumen con integrales dobles
El tercer párrafo se enfoca en el cálculo del volumen a través de integrales dobles. Se describe el proceso de integración, teniendo en cuenta la función del techo y el piso, y cómo se utiliza el diferencial de área en coordenadas polares. Se destacan las diferencias entre el uso de coordenadas polares y cartesianas, y se recomienda el primero debido a su simplicidad. Seguidamente, se resuelven las integrales internas y externas, y se evalúan los límites para obtener el volumen total. Finalmente, se utiliza Maple para confirmar los cálculos y se ofrece un desafío adicional de calcular en coordenadas rectangulares.
Mindmap
Keywords
💡Coordenadas polares
💡Paraboloide
💡Cilindro
💡Integrales dobles
💡GeoGebra
💡Maple
💡Volumen
💡Diferencial de área
💡Ecuaciones del techo y del piso
💡Ángulo de barrido
💡Radial
Highlights
El uso de coordenadas polares es más conveniente para determinar el volumen del sólido basal generado por el paraboloide y el cilindro.
La representación gráfica de figuras con GeoGebra es muy útil para comprender las formas tridimensionales.
El paraboloide elíptico se caracteriza por sus trazas parabolicas y puede abrirse en diferentes ejes dependiendo de la variable zeta.
La integral doble es la herramienta matemática utilizada para calcular el volumen del sólido entre el paraboloide y el cilindro.
El cilindro y el paraboloide se intersecan formando una figura en 3D que puede ser visualizada y manipulada en softwares como GeoGebra.
La integral triple es más complicada que la doble y depende mucho de la representación gráfica del sólido.
La coordenada polar es ideal para figuras circulares, simplificando cálculos y representaciones.
El ángulo de barrido y el radio son conceptos clave en las coordenadas polares que definen la forma y la orientación de la figura.
El cálculo del volumen del sólido entre dos figuras geométricas se realiza con una integral doble, considerando límites en el radio y el ángulo.
Las integrales dobles en coordenadas polares utilizan diferenciales de área en forma de r dr dθ.
La integral interna y externa son calculadas para encontrar el volumen del sólido entre el paraboloide y el cilindro.
El uso de Maple para verificar cálculos de integrales dobles proporciona una forma confiable de comprobar la precisión de los resultados.
Las integrales cónicas y cilíndricas son métodos avanzados para cálculos en geometría analítica.
La importancia de las unidades en las integrales para mantener la precisión en los cálculos.
La utilización de tecnologías educativas como GeoGebra y Maple para facilitar el aprendizaje de conceptos complejos.
El proceso de integración en coordenadas polares es más eficiente para figuras circulares en comparación con coordenadas rectangulares.
La integral doble en coordenadas polares es una técnica poderosa para calcular volúmenes de sólidos con simetría circular.
Transcripts
bienvenido a su canal premier league en
esta oportunidad con el ejercicio que
nos dice determina el volumen utilizando
coordenadas polares del sólido basal
paraboloides 7 igual economía cuadrado y
sobre el disco economía en para mayor o
igual a 4 un problema de integrales
dobles el cual nos dice que utilicemos
coordenadas polares ya que va a ser más
conveniente que las coordenadas
rectangulares aquí ya les anticipé cómo
va a quedar estos dos sólidos por
hacerlo alguna manera para atrapar el
volumen que me piden pero quiero
mostrarles con tecnología utilizar
geogebra y maple al final para verificar
los cálculos para que conozcan cómo se
puede representar este tipo de figuras
porque lo más difícil es reconocer como
en paraboloide como es este disco que
está acá que lo que representa como un
cilindro vamos a conocer un poco cómo
son estas gráficas con el software
geogebra muy bien él es recomendable en
geogebra porque gráfica muy
amigablemente este tipo de superficies
cuadrillas en la gráfica dora 3 de aquí
para que lo puedes usar directamente
online que pasa se da igual x cuadrado
pies cuadrados es un paraboloide se
conoce como elíptico el zeta es el eje
en el cual el paraboloide va a abrir
es decir se llama paraboloide porque sus
trazas son de palabras si ustedes toman
la aplicación y la colocan en esta
manera dirán que una vista lateral
frontal como quieran es para buenas y
por donde lo vean es parábolas es
parabólico claro él lo llaman para
volver y elíptico por la la busca que
está acá que puede ser un valor de zeta
tu empezar por ejemplo z4 estas cinco se
está seis si le das sepa 0 x y tiene que
valer cero y el vértice el zeta que está
acá y hacia donde abre la concavidad del
paraboloide pero no si fuera ayer en
este lado de aquí que es cuadrado más
está cuadrado él abre entonces de manera
horizontal abriría hacia allí
esta misma figura sería horizontal y si
es que si tuviese solista de este lado
entonces abre hacia la derecha
son situaciones que tienen que saber
violar la constitución tecnología van
cambiando las variables van viendo cómo
abre todo eso pero este esto que está
acá es circular lo llamamos eléctrico de
manera general pero el circular porque
aquí x cuadrado pepe cuadrado y
cualquier valor de zeta que eres va a
generar una traza circular es donde
coloque esa altura
si tienes por ejemplo se siente aquí 4x
cuadrado y aquí ya cuadrado sólo hay 6
elípticos y le das un valor a z y
generará una elipse sea ahí donde está
boca o esta abertura que es infinito por
cierto el par hablo de infinito aquí
está hasta esta altura pero él es
infinito no tiene un centro para ser así
tiene un vértice y el eje de simetría
este caso sería z porque la variable que
está sola se le recomendó que utilicen
tecnología para que vayan conociendo
cómo son las gráficas y así aprenden
cómo ir planteando los volúmenes en el
espacio
ahora ellos hablan de un disco pero ese
disco si nosotros lo colocamos dice que
un disco x con el cual dice menor o
igual que 4 al decir menor o igual que 4
es que es la parte interna de ese disco
pero si tú colocas en el programa el
cual es un cilindro y justamente el
cilindro hay el espacio también infinito
vean que también más en la parte de
abajo en el infinito es porque la
variable ausente el eje donde se
desarrolla o se alarga ese cilindro
entonces equipo no tiene z el bahiense
para si fuera x cuadrado más se está
cuadrado al faltar ya esto se le iría en
el eje berlín en elegir y si por ejemplo
sé si el cuadrado porsche está cuadrado
él iría en el eje x y 4 va a ser este
caso el a raíz de 4 que hacerla el radio
que es 2 por eso es que venga aquí los
cortes que es 2 y si lo colocan de esta
manera verán que va a ser entonces
también la parte el signo la parte verde
a local
entonces el volumen tiene que ser debajo
del paraboloide y dentro del disco el
ser volumen está atrapado en esta zona
el paraboloide va a ser el hecho por
decirlo así y dentro del cilindro el
disco en la base en el disco si los
chicos llevan a 3d va a ser un cilindro
va a cortar y este el volumen verde que
está acá pueden utilizar también para
alargar o sea para acercarse y alejarse
de la figura y pueden ver que el
cilindro infinito y el para doble
también pueden ver cómo el paraboloide
sobresale del cilindro que es aquí que
se atrapa el bolo que como dicen sobre
el disco entonces vamos a utilizar sobre
el plano x y z va a ser la última se
pueden ver esto esto es muy útil de
veras y ayuda a muchísimas personas que
le cuestan tanto porque yo creo que
integrales doble y triple en el espacio
1 tenemos más complicado porque depende
del gráfico si está bien en los sólidos
podrás hacer una buena integral si no
olvida lo que no lo va a lograr ahora
vamos por favor a la parte de los
cálculos y coordenadas
muy bien continuamos aquí tenemos
entonces un átomo capture el árbol hoy
de vamos a identificar lo que es ético
al equipo bien parado estas ecuaciones
paraboloides elípticos en este caso
circular por el corte que hay del
cilindro o el disco le va a ser un corte
perfectamente circular entonces con dos
ases integrales dobles ya la función del
techo que se está ya la tengo esa la
puedo guardar me interesa entonces la
parte del plano de quicio es el piso que
pasa que x 4 metros cuadrado es igual al
cuadrado este la ecuación de cualquier
cilindro vertical o cilindro que es a la
receta en este caso 4 es el valor gira
ko2 al cuadrado o la raíz de este no
entonces como tengan un cilindro el
número que está acá su raíz el radio o
lo puede llevar a una potencia por
ejemplo si es 5 sería raíz de 5 si es 16
sería 4 y así entonces el radio 2 igual
a la aplicación lo tienen como pueden
ver aquí ya tenemos el origen y aquí
tenemos xx el rojo como de acá y que
sería el verde
si hacemos la base o la vista superior
no solamente vista superior aquí está el
cilindro y tiene que haber quedado para
todas partes eso es muy bueno porque es
circular de coordenadas polares ajusta
muy bien porque acordonada por la
recorrerá polar ayuda mucho cuando son
figuras circulares no importa que no
tenga el origen puede estar de lado
arriba pero si es circular con alcohol
ayuda mucho y este tipo de expresiones y
corramos para se adapta muy bien al
programa polar hay algo que se llama
polar que es el que nos va a ayudar a
hacer el barrido y sacar lo que es el
ángulo de barrido y el radio porque qué
pasa si hacemos un sistema coordinado
pero tomamos en cuenta que el ángulo
siempre a comenzar en el eje x positivo
0 aquí el pri medio luego aquí spears
esperen que a santi horarios aquí es
treinta y medio y aquí es donde esté el
sistema en radiales normal de ángulo o
en sentido antihorario el eje polar va a
compensar el barrido en este x positivo
se va a barrer toda la figura de manera
que horaria que pasa que si por ejemplo
no fuese en el cilindro completo sino
solamente a la parte
así es el día de papi si fuera nada más
en el primero tanteo primer cuarto fue
de 0 este es el eje polar su ángulo de
barrido va a ser es donde comienza caos
donde él encuentra la figura porque por
ejemplo si fuera aquí en el segundo
cuadrante no va a haber es de 0 barrido
sino y medio aquí tiene que estar muy
pendiente o del pri medio menos a tres y
medio y en que está pendiente de su
presente caso comenzamos por que la
figura es completa que puede comenzar
acá yo sería de 0 a 2 pie la vuelta
completa pero también nos falta el radio
en este caso el radio va a ser la
distancia del centro del eje polar hasta
que salga de la figura en este caso el
radio es completo en radio sería de 0 a
2 y por donde lo vean es constante
porque también sirve para el rayo no sé
para dónde colocar cuando el radio nos
desee por ejemplo si yo tuviese en dos
discos uno por ejemplo menor en cuenta 4
y otro mayor o igual que uno va a
suponer que sería interno un disco
grande y más externo un disco pequeño es
un disco anti pequeño 1 entonces la
serie de una región va anularse la
comuna
arrancaría a cero el radio sería de 1 a
2 si hay dos anillos espero que
grabarlos próximamente quiere el canal
porque esas regiones anular el alza
mucho con los altos discos senos siempre
deseé lo traigo aquí de cero porque toda
la figura arranca en el orín no se
abarque también pero puede ir de un
radio a otro cuidado con eso el radio
del 0 a 2 para que lo vea también los
radios no son constantes veces sí sí el
círculo al cilindro está fuera del
origen del radio no es constante
eso también lo esperaban los nuestros
ahora vamos a plantear la integral por
favor acompaña
bien ya la parte más complicada la
pasamos lo que es el plan que está en 3d
ahora vamos con la integral ya que es
más fácil para todos una integral de
volumen e integrales dobles que hay que
recordar que aquí se coloca la función
de zeta o sea para que sea un volumen y
aquí un diferencial de área ahora si tú
quieres el área
aquí no se coloca nada aquí no hay un
techo porque solamente el piso si aquí
no hay nada aún uno por ejemplo
solamente la diferencia está calculando
un área interna dobles y vamos a
coordinar polares pero si le colocan un
techo esa área se lleva a un volumen
cuatro de éste eso ya lo vamos a colocar
y el diferencial de área tiene tres
opciones principalmente pues es de xd xd
y r por el diferencial de radio igual
diferencial del ángulo y esconderán
polar si te dice correr las carteras
tienes que usar nuestros dos
qué pasa que fx ez ez me lo dan que él
paraboloide ahora si planteamos la
integral doble z lo se reemplaza acá que
x con avilés parados ya que lo que
tendré zetas se reemplaza aquí y ahora
viene
esta es la integral para volumen ahora
bien es decidir qué coordenadas me
dijeron que correr polar es lo mejor que
hay porque cartesiana va a ser bastante
complicado que pasa recordamos las
cocacolas x recoger o del ángulo y el
radio por el seno del ángulo y x4 maya
cuadrado de recordado ya que el
diferencial del área es el ere por el
diferencial de radio diferencial del
ángulo y estos son para cambiar
cualquier situación que tengas en zeta
por fortuna es x por hombres cuadrados y
automáticamente recuerdo no voy a
hacerlo de manera él reconoce no acá y
resolver la que sería paso a paso si lo
hacen y desarrollar los productos
notable aplican identidad
trigonométricas le dará el rayo al
cuadrado lo va a poner directo para que
sepan he visto que profesores que piden
el reemplazo yo lo va a hacer directo
pero si reemplaza de todo aquí seguro
les daré cuadrado lo pueden hacer como
ejercicio para reemplazar tenemos que
estar
y el diferencial de área r por el
diferencial de radio por diferencial
delante ya tenemos los límites 0 a 2 en
el radio y en el ángulo es 02 porque el
circuito completo no hay limitantes
recorte medio antes todo es completo
ahora vamos al integralia de aquí
delante creo que es mucho más fácil para
todos tiene que recordar que se
recomienda ser r por el diferencial de
radio primero y el diferencial de la
cola el diferencial del radio vacuna
integral interno y el del ángulo vacuna
que está la integral externa el radio va
de 0 2 y el ángulo va de 0 a 2 ya está x
4 pero del paraguay
r al cuadrado radio parado y hay un ere
adicional en el diferencial cuidado hay
personas que se lo olvidan que el
diferencial trae un radio y el cambio
hay otro entonces obviamente se
multiplican vean como la integrales a
plantear y quedara el estudio integral
sumamente sencilla algebraica muy corta
muy rápida vamos a la integral interna
primero que se agarra el cubo se hace
primero integral interna y recuerde era
la 4 sobre 4 evaluado de 0 2 y luego
queda la integral externa vamos a
evaluar y a sacar esto del inter algo
que constante ya evaluamos el 2 de
valores
pero inútil pero para que lo vean al
valor el primero sería 2 a la 4 sobre 4
y luego 2004 estuvieron aquí no hay nada
que integral solamente en diferencial o
quedará entonces el ángulo 16 al entre
44 por el diferencial del ángulo
integrado sería el ángulo y de 0 2
volvemos entonces sería 204 que fuera y
cuatro por dos señores el volumen es
ocho y no olviden dejarme en sus
comentarios dudas que procesiones
gustaría ver que declaran estos 68
unidades públicas recuerde que si le
piden poner unidades ubicadas puede
colocar pero antes de despedirme me
gusta mucho utilizar tecnología como
utilizamos vídeos libros para graficar y
maple lo utilizó para realizar las
integrales si colocamos el maple este
integral de 0-2 pin 02 entre el cubo
diferenciales con la diferencia les va a
dar 8 fi aquí está el resultado y está
confirmado para que estén más tranquilo
pero para las personas que el local con
las rectangular se lo digo como como
algo adicional como un agregado este
planteamiento en coordenadas
rectangulares
porque esto que está acá de raíz de
cuatro metros cuadrados y menos ahí es
el despeje si lo hacen con
circunferencia y despejan quedan la
entrada en la raíz negativa inferior y
la salida de parte superior de los dos
es decir y si esto lo colocan en la
aplicación está o chopin pero si haces
de integrar otra clase en la manualmente
es muy complicada muy borrosa por eso es
la bondad del método por eso que corre
vascular es tan beneficioso y en tu
modelo para usarlo integra es doble y
tiene su hermano mayor que se llama
córdoba cilíndricas integrales críticas
así que bueno ahora sí me despido
gracias por su paciencia en este
ejercicio aquí para que se suscriban
otros ejercicios que le pueden interesar
de integrales múltiples gracias por su
apoyo no olviden dar la campanita y
compartir con sus amigos si recibió este
ejercicio
gracias por su apoyo es cuando el
próximo problema
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