Volumen con cilindro y plano inclinado con integral doble | COORDENADAS POLARES | GEOGEBRA | MAPLE

Summary

En este video, el presentador guía a los espectadores a través del cálculo del volumen de un sólido utilizando integrales múltiples. El sólido en cuestión está compuesto por un cilindro vertical, un plano inclinado y un plano horizontal. El vídeo ofrece una explicación detallada de cómo modelar el ejercicio y realiza el planteamiento integral utilizando coordenadas polares y cilíndricas. Además, se utiliza la aplicación GeoGebra para visualizar gráficamente las intersecciones y el sólido resultante. El presentador también discute la importancia de entender el enunciado del problema y proporciona consejos para realizar cálculos integrales en diferentes coordenadas. Finalmente, se utiliza el programa Maple para verificar los resultados obtenidos y se destaca la relevancia de la tecnología en la resolución de problemas matemáticos complejos.

Takeaways

• 📚 Se discute el cálculo del volumen de un sólido utilizando integrales múltiples, específicamente con coordenadas polares y cilíndricas.
• 📏 Se presenta un problema que involucra un cilindro vertical y dos planos para determinar el volumen del sólido entre ellos.
• ✅ Se destaca la importancia de entender el enunciado del problema y cómo puede interpretarse para usar diferentes métodos de integración.
• 📈 Se utiliza la aplicación GeoGebra para modelar gráficamente el ejercicio y ayudar a visualizar las secciones y el sólido resultante.
• 🔍 Se exploran los puntos de corte del cilindro con los planos y cómo estos afectan la geometría del sólido que se está calculando.
• 📐 Se describe el proceso de integración en coordenadas polares, incluyendo el cálculo del radio como función del ángulo y el uso de integrales triple.
• 🧮 Se menciona el uso de la fórmula geométrica para el volumen de un cilindro oblicuo truncado y cómo se relaciona con la integral a calcular.
• 📝 Se destaca la importancia de la precisión en la escritura de las ecuaciones y cómo estas deben reflejar adecuadamente las restricciones del problema.
• 🤔 Se reflexiona sobre el uso de la simetría en integrales y cuándo es apropiado aplicarla para simplificar cálculos.
• 📊 Se proporciona una comparación entre el uso de coordenadas polares y rectangulares, y se muestra cómo se puede llegar al mismo resultado pero con enfoques diferentes.
• 📈 Se utiliza el software Maple para verificar los resultados de la integral y se destaca la utilidad de las herramientas tecnológicas en la resolución de cálculos complejos.

Q & A

¿Qué tipo de figura geométrica se está usando para calcular el volumen en el script?

Se está utilizando un cilindro vertical para calcular el volumen.

¿Qué métodos se mencionan para realizar el cálculo del volumen?

Se mencionan los métodos de integrales dobles con coordenadas polares y el método de integral triple cilíndrica.

¿Qué aplicación se sugiere utilizar para graficar y visualizar las figuras geométricas?

Se sugiere utilizar GeoGebra, una aplicación gratuita que permite graficar figuras geométricas en 3D.

¿Cómo se define el sólido que se está calculando el volumen?

El sólido está definido como el espacio entre un cilindro vertical, un plano inclinado y el piso.

¿Por qué se utiliza la integral triple cilíndrica en lugar de la integral triple esférica?

Se utiliza la integral triple cilíndrica porque el problema geométrico se ajusta mejor a un cilindro y es más apropiado para el cálculo del volumen del sólido en cuestión.

¿Qué es el radio del cilindro que se menciona en el script?

El radio del cilindro es de 1 unidad.

¿Cómo se determina el corte del plano inclinado en el cilindro?

El corte del plano inclinado en el cilindro se determina por la intersección del plano con el cilindro, lo que forma una elipse en la base del cilindro.

¿Qué es el propósito de utilizar coordenadas polares en el cálculo?

Las coordenadas polares se utilizan para simplificar el cálculo del volumen cuando las figuras son circulares o elípticas, ya que las integrales se ven más sencillas en este sistema de coordenadas.

¿Cómo se evalúa la integral en coordenadas polares?

Se evalúa la integral en coordenadas polares tomando en cuenta el radio como función de la variable angular, y se realiza la integración con respecto a esta variable.

¿Qué resultado se obtiene al final del cálculo del volumen?

El resultado final del cálculo del volumen es 3π unidades cúbicas.

¿Cómo se puede verificar el resultado del cálculo del volumen?

El resultado del cálculo del volumen se puede verificar utilizando diferentes métodos, como la integral en coronas rectangulares o utilizando software de cálculo como Maple.

Outlines

00:00

📚 Introducción al cálculo de volumen con integrales múltiples

Se inicia el video con una introducción al cálculo de volumen utilizando integrales múltiples. Se menciona que se tratará de un sólido encerrado entre tres superficies: un cilindro vertical, un plano inclinado y el plano de la base. Aunque el problema no especifica si se requiere una integral doble o triple, se decide utilizar coordenadas polares para abordar el ejercicio. Se destaca la importancia de integrar en el espacio cilíndrica debido a la intersección de los mundos de las integrales dobles y triples. Se grafica el cilindro vertical y se explica cómo se realiza el corte con el plano inclinado, utilizando GeoGebra para visualizar la figura.

05:01

📐 Utilización de herramientas tecnológicas para la representación gráfica

Se aborda el uso de herramientas tecnológicas como GeoGebra para facilitar la representación gráfica de las figuras geométricas. Se describe cómo se pueden obtener puntos de corte y cómo se grafica el cilindro vertical y el plano inclinado. Se menciona la importancia de entender la intersección de los planos y cómo estos afectan la integración. Además, se ofrece un enfoque didáctico para que los espectadores puedan replicar los pasos en casa y profundizar en el aprendizaje de las integrales.

10:04

🧮 Análisis detallado de la integración en coordenadas polares

Se profundiza en el análisis de la integración en coordenadas polares, destacando la necesidad de realizar cambios de variables para facilitar el cálculo. Se discute la utilidad de las coordenadas polares para figuras circulares o elípticas y cómo se aplican los cambios de variables en situaciones donde las figuras son irregulares. Se aboga por la importancia de entender la geometría detrás de las integrales y se ofrecen recomendaciones para la visualización de la simetría en las figuras.

15:05

🔢 Ejecución de la integral y verificación del resultado

Se lleva a cabo la integral en coordenadas polares, destacando la importancia de factorizar y encontrar el factor común en la expresión. Se evalúa la integral para distintos valores y se verifica el resultado utilizando diferentes métodos, incluyendo el software Maple. Se enfatiza la precisión en el cálculo y se recomienda la revisión cuidadosa de cada paso para evitar errores. Se ofrece una comparación con el resultado obtenido utilizando la geometría clásica para un cilindro truncado.

20:06

📈 Conclusión y recomendaciones para el aprendizaje

Se concluye el video con una resolución del ejercicio y se ofrecen recomendaciones para el aprendizaje continuo. Se destaca el valor agregado de utilizar la tecnología en el proceso de aprendizaje y se motiva a los espectadores a utilizar herramientas como GeoGebra y Maple para mejorar su comprensión de los conceptos matemáticos. Se agradece el apoyo del público y se invita a seguir explorando el contenido de la sección de integrales múltiples en el canal.

Keywords

💡Integrales múltiples

Las integrales múltiples son una extensión de las integrales dobles y triples, que se utilizan para calcular áreas y volúmenes en varios dimensiones. En el video, se utiliza para calcular el volumen de un sólido compuesto por varias superficies, lo que es central para el tema principal de la lección.

💡Cilindro

Un cilindro es una figura geométrica tridimensional que consiste en un lente o una base circular seccionada por dos planos paralelos. En el video, el cilindro es una de las superficies que definen el sólido cuya integral se busca calcular.

💡Plano

Un plano es una superficie bidimensional extendida infinitamente en todas las direcciones. En el contexto del video, los planos son utilizados para cortar el cilindro y definir las secciones a través de las cuales se calculará el volumen.

💡Coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas alternativo al cartesiano, que utiliza un radio y un ángulo para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional. En el video, se sugiere el uso de coordenadas polares para simplificar las integrales al trabajar con figuras circulares o elípticas.

💡GeoGebra

GeoGebra es una aplicación de software gratuito que permite la construcción y manipulación de figuras geométricas en dos y tres dimensiones. En el video, se menciona GeoGebra como una herramienta para visualizar y entender mejor las figuras y secciones involucradas en el cálculo del volumen.

💡Volumen

El volumen es una medida de la cantidad de espacio ocupado por un sólido o cuerpo tridimensional. El cálculo del volumen es el objetivo final del ejercicio presentado en el video, y se busca encontrarlo a través del análisis de las secciones definidas por las superficies y planos.

💡Cambio de variables

El cambio de variables es una técnica utilizada en cálculo integral para simplificar integrales complejas al reemplazar las variables originales con otras que son más convenientes para la forma de la integral. En el video, se discute el cambio a coordenadas polares como un ejemplo de esta técnica.

💡Simetría

La simetría se refiere a la propiedad de un objeto o figura de ser invariante bajo ciertas transformaciones, como rotaciones o reflexiones. En el video, se menciona la posibilidad de usar la simetría para simplificar el cálculo del volumen, aunque se concluye que en este caso no es muy útil debido a la complejidad de la figura.

💡Maple

Maple es un software de cálculo simbólico y numérico que se utiliza para resolver problemas matemáticos complejos. En el video, se sugiere el uso de Maple para verificar los resultados de las integrales y obtener la respuesta al problema del volumen.

💡Jacobiano

El jacobianiano es una matriz o un escalar que aparece en el cálculo del cambio de variables en integrales múltiples. Se relaciona con el factor de transformación entre los diferenciales de área en los sistemas de coordenadas original y el nuevo. Aunque no se menciona directamente en el video, es un concepto fundamental en el cambio de variables que se discute.

💡Trigonometría

La trigonometría es una rama de las matemáticas que trata sobre las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y otras figuras geométricas, especialmente las que involucran ángulos rectos. En el video, la trigonometría se utiliza al trabajar con coordenadas polares y al calcular áreas y volúmenes utilizando funciones trigonométricas.

Highlights

El vídeo comienza con una introducción al cálculo del volumen de un sólido utilizando integrales múltiples.

Se describe un sólido compuesto por un cilindro vertical y dos planos que lo cortan de manera oblicua.

Se utiliza la aplicación GeoGebra para graficar y visualizar el sólido y sus intersecciones.

Se discute la elección entre el uso de coordenadas polares o cilíndricas para resolver la integral triple.

Se destaca la importancia de entender el enunciado del problema y las condiciones implícitas.

Se proporciona una guía detallada para modelar el ejercicio utilizando GeoGebra y encontrar los puntos de corte.

Se abordan las ecuaciones para definir el cilindro y los planos de corte en la aplicación GeoGebra.

Se menciona la importancia de la simetría en la integración y cómo aplicarla en el problema.

Se calcula el volumen del sólido utilizando tanto coordenadas polares como cilíndricas.

Se destaca la utilidad del cambio de variables en coordenadas polares para simplificar la integral.

Se utiliza el programa Maple para verificar la respuesta obtenida a través de la integral en coordenadas rectangulares.

Se ofrece una discusión sobre la evolución de las técnicas de enseñanza en matemáticas y el valor agregado de la tecnología.

Se recomienda a los espectadores utilizar la tecnología para aprender y aplicar los conceptos de forma práctica.

Se destaca el valor de la integración en coordenadas polares y su popularidad en la resolución de problemas geométricos.

Se proporciona un ejemplo de cómo realizar el cambio de variables para pasar de coordenadas rectangulares a polares.

Se evalúa la integral en polares y se obtiene el volumen del sólido, que coincide con el resultado previamente encontrado.

Se concluye el vídeo resaltando la importancia de la comprensión de los conceptos y la confianza en el cálculo de integrales.

Transcripts

bienvenido además a su canal viola y en

esta oportunidad vamos a calcular el

volumen con integrales múltiples de un

sólido que está encerrado entre tres

superficies este x corramos ya 4 igual a

un cilindro que vertical ya lo vamos a

aplicar un plano x más llamativo n 3 y

el plano de antigua la 0 x claro aquí el

problema del enunciado que me dieron no

especifica si integra el doble un

integral triple yo lo hace con integral

doble con coordenadas polar pero pero

pepe con integral triple corona

cilíndrica que es el hermano mayor salió

un umbral de los ejercicios que están en

el umbral y se pueden hacer por ambos

métodos aunque no parezca pero cuando

plantea la integral y lo va a ser el

comentario para porque la integrante el

pensil indica solamente agrega la

integral de dz pero cuando se está es

cero

entonces ese ejercicio está en los dos

universos están los dos mundos está en

la intersección de esos dos mundos

porque solamente se considera el techo

porque este piso es cuando tú íntegras

por defecto el piso 0 cuando tiene una

sola superficie entonces aquí te lo

especifican entonces están al umbral ya

lo vamos a explicar antes de comenzar

quiero modelar completo el ejercicio

para que tengan ya una visión de qué es

lo que estamos haciendo en gráfica y

luego hacemos todo el planteamiento

integral y todo aquello aquí tenemos un

cilindro que es muy clásicos muy típicos

que lo debe conocer todo porque es

típico con estos problemas ante la

ausencia de z con una superficie que le

falta una variable en esa variable en la

superficie

ese es un cilindro y se expande

paralelamente a esa a ese eje este

cilindro vertical que como le faltase

está el cilindro hacia arriba y hacia

abajo infinito por eso es que ese para

ser o corta y hace una base para esa

pared a figura y este un plano que es el

plano más fácil de graficar x maceta

igual a 3 porque cuando tú buscar los

puntos de corte en cada eje estrés se

hace a ese x0 que da 3 en zeta

jay-z 0 que ya creen y aquí ya si va o

sea que el forma como un triángulo

la traza visible en el primero tanto

montículo este en planos más fácil de

graficar pero no más gráficas manuales

con pisadas restos con tecnología

entonces vamos a hacerlo con geogebra

una aplicación que la puede ver al

celular es totalmente gratuita pueden

acaso un amigo y va a poder aplicar

también los pasos tengo todas las

ecuaciones listas pero para que las

hagan en casa en las escriban igual y

vean que lo pueden hacer y modificar y

jugar con las herramientas y aprender

entonces tenemos un cilindro vertical un

plano que está inclinado supongo que va

a cortar el cilindro clemente y el piso

pero quiero que vean bien cuál es el

sólido y qué información me refleja en

el planeta y seamos de obra y volvemos a

la integral

voy a quitamos nido de brasa que está

listo el plano x y z y algunas

actuaciones ya listas yo sólo voy a

mostrar bien para que lo puedan hacer en

casas muchos me preguntaron y cuáles son

las ecuaciones quiero hacerlo en casa yo

lo quiero aprender ok vamos con calma

bueno primero escribe este igual a cero

el plano mira el set y con eso lo

escribes tal cual es dejar inter esta

aplicación que sobra 3d la puedes

descargar sola si necesitas tu teléfono

laptop y ipad lo que tengas tablet

entonces aquí tienes el plano mira que

va a cortar por la parte inferior el

cilindro lo escribes tal cual es ahora

vamos a correr igual a 1 el radio es uno

por robert eckel radio la raíz del

número por ese eje 4 el radio 2

mira el seguido por cilindros infinito

acuérdate va a ser la parte superior

pero el plano un set igual a 0 se

encarga hacer un corte inferior ahora

este plano x mayer va a ser igual a 3 si

tú lo colocas bueno no escribe la edad

ve como corta

al cilindro de manera oblicua con hey

pero no me afecta en la base de la pieza

porque la base va a ser este círculo

como yo lo sé sin tener aplicaciones

bueno estaba comentando que lo que puede

hacer los plásticos puntos de corte

x00ed a ser igual a 3 que sería el corte

aquí igual lo pueden hacer para aquí y

el corte es en tres y tres ya que en el

primer cuadrante primero tanto no va a

cortar nunca a esta base que es muy

importante porque si corta la base me va

a afectar un nivel de integración pero

no lo hace éste es el sólido que vamos a

ahorita vamos a colocar sólidos

solamente no se preocupen pero la que le

interesa es que ustedes vean que a veces

el enunciado no dice exactamente lo que

quiere sino te dice entre la superficie

pero si denunciaban libros o textos

profesores que dice bueno debajo del

plano x massieu más antigua de tres

sobre el set igual a cero y dentro del

siguiente muy explícito ahora ahí se

entiende pero hay unos que no dicen nada

si yo te digo entre las tres superficies

tiene que ser entonces

este este es sólido que está aquí

adentro este porque entre las tres

entonces para que sientan este tiene que

ser sobre 60 igual a 0 que de plano que

debajo y dentro del cilindro porque aquí

arriba el infinito abajo infinito se

tiene que ser este pacto como lo hacemos

hay un comando para escribirlo una vez

se haga intersex ya que tiene de plano

patrick al inter seca crónicas plano

para tu escoge este y ya tienen los

planos listos el le pone un nombre por

defecto tu solo puedes cambiar si

quieres pero primero el plano yo lo dejé

como 6 con número puso pueda poner es

ese uno le doy coma y la cuadrilla es

ese 2 por suerte el satélite pone una

ecuación abajo para platicar con tres

casos y le das a gente y aquí ya me hizo

una curva intersección de este elipse

destacar que está oblicua es una crónica

oblicua vez vuelvo a poner intersec a

mirar cómo administra seca que plano

patrick aquí también y pongo ahora pongo

el plano es

efe porque el plano se activó el cero se

llama efe mirando ese nombre lo puso por

defecto y la cuadrilla ese 2 y ve que me

pone aquí mira cuando es con planos es

chévere porque él trae los comandos ya

por defecto cuando es planos con

cuadrillas ok superficies cuadritos

cilindros paraboloides el try ya por

defecto la intersección está

perfectamente

pero y el cuerpo

o sea el cuerpo de la figura bueno aquí

ya yo lo tengo listo un poco esto que

está acá para que tomen nota ya yo tengo

un vídeo de construcción de sólidos que

le darán la recomendación de las

tarjetas y en la descripción del vídeo

para que vayan como sé cómo se hace esto

pero te lo dejó listo esto es con el

comando superficie esto de coseno de un

seno de un señor estos coordenadas

polares ya él reconoce no de pitar o

teta o cita como lo quieran llamar

rc no la r no está porque el radio uno

por eso no lo es cerrado yo pusiera a

todos con 0 2 por 0 1 con ocasión esta s

es para que me hagan a superficies que

yo quiero en z pero en paréntesis esto

es cuando despeja zeta ceta es 3 - x

menos y esa x ya están cambiadas por

esto ya es txt si despejarse 33 - x

llevarás bueno que estas 3 - x escocia

no de ultras z que es seno de ésta en

este caso las letras que tú quieras va

de 0 2 bis para que no haga el círculo

completo

y ese que es el que va para las para

poner la superficie de 0 1

tú puedes cambiar el ángulo puedes

cambiar estos valores y verás cómo

modificará su posición o va a

seleccionar y nueva el cuerpo de la

superficie ves ya te lo dejo acá es pero

ya es tomado no te retrasas hervido toma

cactus lo que tú quieras y lo haces en

casa te recomiendo el vídeo de

construcción de sólidos ahora voy a

retirar el plano para retirar el

cilindro y van a tirar este plano

solamente va a dejar mira mira esta

belleza strike es esto una belleza es el

sol y dos señores que es un cilindro

trucado

esto tiene fórmula geométrica o sea no

hace falta integrales para saberlo

porque es la forma cuál es la fórmula un

cilindro normal el área de la base que

espiral al cuadro por la altura cierto

se ha guardado h en tres de geometría el

espacio y como sería esto el corte

lateral es un trapecio sería área de la

base por la altura por el área del

trapecio que ya 40 que la forma de

trapecio de altura grande más altura

pequeña entre 2

cierto el corte entonces tú puedes

buscar en internet no lo voy a hacer en

este vídeo volumen del cilindro oblicuo

siguiendo truncado y tensa el spirit

radio al cuadrado por altura 1 altura 2

sea la suma entre 2 entonces el área de

la base por la altura pero considerando

la altura no un rectángulo si nuestra

peso ok ahora vamos entonces a la lámina

y seguimos con esta integral ya sabemos

que lo que vamos a hacer sabemos lo que

está en el plano aquí y sabemos del

techo con el techo y la piel piso

suficiente es una elipse pero proyecta

muscular la circunferencia un círculo

[Música]

y estamos de vuelta en la lámina

entonces vamos a colocar lo que el piso

porque cuando vas a hacer coordenadas

polares en lo que está en el piso lo más

importante porque de ahí que va a sacar

el radio del ángulo o coordenadas

cilíndrica que es en este caso para

extensión sería lo mismo pero antes de

pasar a coordenadas quiero plantear los

coronas rectangulares con el profesor

que dice platero corren al tubular en

los balcanes vamos a sacarle el jugo

completo esta persona se todo lo posible

en este ejercicio o integrales

vamos a despejar z

3 - porque si recuerdan una integral

doble para el volumen aquí va a efe de

que el techo ya por defecto el piso es

igual a cero

por defecto aquí y el diferencial de

área puede ser de equipos de esquí de

niños

suponte una fuerza que acompañe siempre

que ama hacer de lleve x que sería

entrada inferior sería superior cuando

tiene un círculo y va a ser integrales

dobles tiene que separar la parte

superior y la parte inferior que no es

difícil porque se pegando y cuando tú

pasas el cuadrado es más o menos raíz

porque menos raíz del despeje uno menos

y cuero en la parte inferior

igual raíz 1 menos positivo es el arco

de circunferencia superior con radiouno

entonces en que será la entrada es

inferior menos raíz y la salida es este

y x siempre son los números de menos 11

sea porque ya que se encargó de las

curvas x en carga desde el principio a

fin no importa si son puntos si están o

no importados a x sólo de números porque

ya llegué se encargó de la forma de las

curvas

entonces la integral sería de menos 11

en x que la última siempre la última es

sólo números la interna puede ser

números funciones o mixto la entrada

inferior salida superior aquí base de

quique zeta zetas esto equivale 307 x

pero hacer este integrales titanic como

sea no es fácil hacer este integral por

eso es que nacen los cambios de

variables en coordenadas polares en

coordenadas cuando baja triple en todas

se llama cilíndrica y corre al esférica

por aquí también tal hakobyan o cuando

son figuras que si cuadrada de

triangulares figuras muy irregulares por

eso es que nace los cambios variables

como un integral simple usted cuando

vimos integrales definidas o integrales

definidas que se llama cambio variable

bueno

esto es cambio variable

pero en otras coordenadas cuando son

figuras circulares redondas elípticas

ese tipo de cosas se las dejo de ejemplo

ya tenemos en coordenadas rectangulares

pero hay que resolverse con unas

coordenadas amigables para que la

integral se puede hacer manualmente el

correr por la repasamos que de quienes

reconocen o irc no x con amaya cuadrado

de re cuadrado porque si reemplaza estos

dos aquí pues llegar a esta conclusión

con trigonometría y el diferencial de

área heredera de tita una forma de

mostrar esto porque una suscriptora un

producto que como se demuestra esto se

pasa por jacob ya no ya yo tengo un

dibujo en un vídeo perdón que en un

cambio de gobierno se lo dejo en las

tarjetas lo pueden revisar para que vean

cómo se puede conseguir esto con jacob

ya no es no es muy difícil derivadas

parciales en determinante y esto la musa

para cambiar todo está integral vamos

ahora a ver los del punto de vista

polares del punto de vista polar es el

ángulo empieza en cero al canal en semis

x positivo y va siempre antihorario y

medio y tres primero 2000

hay algo que se llama polo que os centro

y de ahí nace un radio vector llamado

eje polar que es un radio vector que

barre la figura cuando el círculo es con

céntrico con el origen sea que el centro

del círculo está en el centro del

sistema coordenada es fácil porque el

radio es constante malo es cuando el

círculo está aún se rueda a la derecha o

hacia arriba ya tengo vídeos al respecto

lo va a darle recomendaciones al final

revise por favor todos mis vídeos porque

a ver saben uno solo le dicen

espero que hagas más y ya tengo más y no

lo porque consiguieron uno solo vayan a

la sección completa para que veas todos

los que tengo y te ayuden si estudias

más aquí el radio constante porque hace

donde en sangre al eje polar siempre va

a ser el radio 01 porque toda esta

región es volumétrica todo esto es

volumen puesto es sólido el piso sólido

de 0 1 por donde están y que igual si

transformas estos en ezreh cuadrados en

el re cuadrado igual a 1-1

se va de 0 a 1 y radio constante cuando

sale no es constante que es más difícil

aunque ahora vamos con el ángulo el

ángulo es antihorario parte en cero

hasta hasta 2 p por qué porque sería

barrer toda la figura porque date cuenta

que todo es sólido hay que barrer dos

completos dos vías para hacer simetría

en el tercio no lo recomiendo porque ve

que el corte o licuó y la figura no es

si no se puede ver bien la simetría y

aquí de cero no puede decir algo primer

cuadrante multiplicó por cuatro no puede

hacer eso

porque la figura es irregular

no es simétrico 9 un cilindro y un

paraboloide y agarró el primer cuadrante

multiplicó por 4 no es a quien no os

recomiendo usar simetría a lo completo

total

emma la simetría que te va a ahorrar de

ceros y medio por 4 y desde cero dos

pisos a hacer simetría no ahorra casi

nada para este problema porque sólo

cambiaría este valor que al final la

integral ya está lista entonces no te

moleste se puede equivocar revisó el

dibujo para crear que la simetría muy

complicada ya no es fácil de ver pues

nutrición que sea imposible pero no es

fácil de ver entonces yo recomiendo

hacerlo completo de pertenencia y

obviamente xy va a cambiar por el récord

de seno y de x que es el diferencial

diaria rbr de tipo de teta necesita como

lo quieran llamar

señores en coordenadas polares

de 02 piqué es la última el ángulo 01 el

radio de esta hierba fija

y aquí está 3 - r coseno x rc no sé si

tú te das cuenta tú te podía arriesgar a

hacer esto sin saber el volumen porque

con el piso iceta es suficiente pero es

que yo necesito que vean el espacio sea

que sepan que el plano no corta esto

porque se prueba lo corta adiós está

malo el ejercicio ya tenemos la integral

en correr por ahora como serie

cilíndrica bueno se indica sería una

integral más de 0 a esto a 3 - de

caminos pero cambiado polares

pero es lo mismo porque sería antes

agrega un diferencial de z y queda esto

igual esto por eso que es el indrhi acá

y polares en este ejercicio como muchos

otros cuando dice tengo en acero y la

superficie está acá está acá del techo

puede hacerse en los dos en los dos

mundos ok cuidado con eso pero lo quiero

hacer para polares porque polar es más

común más popular muchas personas ven

dobles y a veces el profesor no da

triples o ese contenido se reserva para

trabajo exposiciones en fin en fin polar

es más popular sin duda alguna pero

tenemos más tecnología a la mano vamos a

buscar al programa maple que yo uso

mucho ese programa para las integrales y

coloque al inter en coordenadas

rectangulares me da tres pi

o sea que sé la respuesta que me tiene

que dar no importa cómo lo cambie no

importa cómo lo hará

pido entonces obviamente después en él

vamos a ver la respuesta de una vez en

tres p si lo haces por geometría por

fórmula de cilindro trucado lo quieras

llamar también te tiene que hacer

estrella yo lo hice la carpeta mente por

geometría ya lo tenemos mira aquí está

lo que está verificado todo entonces

vamos allá si quiero salir de la pizarra

quiero ofrecerle ustedes algo más y que

la tecnología está al alcance la mano

hoy en día hay que evolucionar los

grupos nos quedarán la pizarra y hoy por

hoy todos que existe le clases

exposición en entregar trabajo entonces

collet porte que proyecto mal este

ejercicio tú lo entrega del sólido hoy

es ahora un valor agregado al trabajo y

que aprendan se solemnice de obra

buenísimo para la comunidad matemática

espero que estos dos profesores

preparadores estudiantes y entusiastas

ahora vamos a hacer la integral gracias

por su paciencia acompañen a hacer toda

la integral en coordenadas polares voy a

hacer un paso aquí y voy a sacar factor

común de menos r ok lo menos el radio -

r depende dónde me tendiendo de la

producción r sonido vibrante de la r

entonces va a sacar el factor común de

menos ere quedará coseno más 0 es lo

único

hacer acá cuidado es el factor común

acompáñeme entonces para la integral

vale muy bien aquí dejo el sólido para

crear esta belleza sin duda quedó

excelente y aquí estaba el factor como

menos r esto queda positivo por el

factor común porque hago factor común

para ser más cómodo porque como vamos a

integrar con respecto al radio está r va

a ser distributiva

se quedaría 3r acá y aquí r al cuadrado

cuidadores distributiva se puede

integrar con felice no es constante esto

no sale del integral porque está

restando no puede salir la primera

integral es muy sencilla porque está r

es recuerdo sobre dos y este recurso

sobre 3 de 0 1 el 0 no hace falta en

esta oportunidad porque en la r ganar 0

todo el 16 se valoren 1 aquí quedan 13

medios por 1 y aquí un tercio señor esto

no lo pueden restar por favor con los

clavos de cristo te lo pueden restar

esto porque aquí está multiplicando no

puede restar quedara tres medios menos

un tercio y la trigonometría ahora vamos

a integrar tres medios una constante que

se puede integrar por repita y esto se

puede integrar obviamente entonces sería

tres medios el ángulo menos un tercio la

integral del coche no es seropositivo y

la integral de ceros menos coseno de 02

pi aquí si voy a evaluar los dos porque

dos tiene un efecto y cero también

cuando el intrigó no metía el cero hay

que tener cuidado y vigilarlo

exponencial en logaritmo

tiene esta pendiente con dos funciones

trascendentes

vamos con dos placas dos de aquí y dos

de aquiles de espinaca y aquí en

paréntesis no dice distributiva dos

pivotes ahora vamos como en cero cómo

viene el cero se ponen menos corchetes

y luego el cero parís era cero seno de

ser conservar el cero pero en corchetes

por el inferior siempre se protege

porque hay un menos primero vamos

eliminar los que son 092 y que hicieron

el 0 0 porque 1 metría cálculos radiales

círculo unitario tablas es cero este 0

obviamente también pero el coste no 1

con 0 2 y 0 de 0 1 en cada uno se ve

cuidado con esto en este dos estados

cancela aquí queda atrás piqué tiene

problema aquí tienes menos un tercero y

aquí es menos uno se multiplican y aquí

hay aquí tienes que tener más cuidado

porque hay un menor que afuera hay un

menos en el menú terso y un menos aquí o

sea que por lo menos menos y menos más

hay 3 menos

aquí menos y menos queda más y que esté

menos te quedaría algo así de este dos

cancelas que atrás explicó que al menos

un tercio por menos uno aquí lo puse y

queda menos un tercio pero o sea aquí

dejé un solo menos porque este y estos

dos silos multiplique menos por menos da

más cuenta de eso por uno que aquí sí

cuidado pero obviamente aquí va a quedar

menos por menos queda un tercio positivo

menos un texto y esto se elimina

un texto pregunta se elimina ya que no

adivinan cuál es la respuesta señor la

respuesta es 3 p unidades cúbicas but lo

tenemos que ya lo habíamos verificado

con la integral en coronas rectangulares

con las cuerdas polares un maple

excelente ejercicio para lo que está

enfriando con las polares cambios por

vasculares volumen están utilizando

siembras creo que sacarle el máximo

provecho a esto es buenísimo ayuda a

entender mejor los ejercicios a ver lo

mejor y te da más confianza para hacer

más eso lo que yo necesito que no le

tengas miedo que días no si se puede

entendí voy a hacer otro mecanismo de

marca vamos a hacer otro está buenísimo

vamos y bueno si te gustó tenemos

entonces mi correo mi red social para

que podáis conmigo recibo muchos correos

muchos mensajes diarios trato de

aprender la medida posible acá para que

se suscriban darle la campanita si te

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