🟦 Máximos y Mínimos de una Función (Criterio de la Primer Derivada) | Video 2

Summary

本视频详细讲解了如何通过一阶导数找到函数的最大值和最小值。首先，计算了函数的导数并设其为零以求解临界点。接着，使用分解法解方程，找到了两个临界点：x = 1和x = 3。通过分析导数在临界点附近的符号变化，确定x = 1为最大值，x = 3为最小值。最后，计算了最大值和最小值对应的坐标，得出函数在x = 1处有最大值（坐标为(1, 4)），在x = 3处有最小值（坐标为(3, 0)）。

Takeaways

• 😀 第一步：计算函数的导数。对多项式每一项分别求导。
• 😀 第二步：将导数等于零，寻找临界点。
• 😀 将导数公式 3x² - 12x + 9 = 0 简化并求解。
• 😀 通过因式分解法求解方程，得到临界点 x = 1 和 x = 3。
• 😀 临界点 x = 1 和 x = 3 是候选的最大值或最小值。
• 😀 第三步：选择临界点左右的测试点，评估导数的符号变化。
• 😀 第四步：评估导数在选定测试点的值。
• 😀 选择 x = 0 和 x = 2 来测试 x = 1 的附近值。
• 😀 选择 x = 2 和 x = 4 来测试 x = 3 的附近值。
• 😀 根据导数的符号变化，得出 x = 1 是最大值，x = 3 是最小值。
• 😀 第五步：计算最大值和最小值的坐标，通过代入原函数 f(x) 求得最大值点 (1, 4) 和最小值点 (3, 0)。

Q & A

如何计算函数 f(x) = x³ - 6x² + 9x 的导数？

我们通过对每个项分别求导来计算导数。x³ 的导数是 3x²，-6x² 的导数是 -12x，9x 的导数是 9。因此，f'(x) = 3x² - 12x + 9。

为什么要将导数等于零？

我们将导数等于零是为了找到函数的临界点，这些点可能是局部极大值或极小值。

如何解导数为零的方程 3x² - 12x + 9 = 0？

首先，我们可以将方程两边同时除以 3，简化为 x² - 4x + 3 = 0。然后，我们可以通过因式分解得到 (x - 3)(x - 1) = 0，从而得到临界点 x = 3 和 x = 1。

如何判断临界点 x = 1 和 x = 3 是否为极值？

通过选择临界点附近的值，并计算导数的符号变化。对于 x = 1，导数从正变负，表示这里是局部最大值；对于 x = 3，导数从负变正，表示这里是局部最小值。

选择 x = 1 附近的测试点时，为什么选取 x = 0 和 x = 2？

选择 x = 0 和 x = 2 是为了检查导数在临界点附近的符号变化。如果导数在这些点的值分别为正和负，则可以判断 x = 1 是一个最大值。

在 x = 1 时，导数的值是多少？

在 x = 1 时，导数的值是 9，即 f'(1) = 9。

如何计算 f(1) 的值？

我们将 x = 1 代入原函数 f(x) = x³ - 6x² + 9x，得到 f(1) = 1³ - 6*1² + 9*1 = 1 - 6 + 9 = 4。所以，最大值的坐标是 (1, 4)。

在 x = 3 时，导数的值是多少？

在 x = 3 时，导数的值是 -3，即 f'(3) = -3。

如何计算 f(3) 的值？

我们将 x = 3 代入原函数 f(x) = x³ - 6x² + 9x，得到 f(3) = 3³ - 6*3² + 9*3 = 27 - 54 + 27 = 0。所以，最小值的坐标是 (3, 0)。

为什么导数的符号变化可以用来判断极值？

导数的符号变化反映了函数的增减趋势。如果导数从正变负，表示函数由增变减，形成局部最大值；如果导数从负变正，表示函数由减变增，形成局部最小值。