Résoudre une équation de degré 3 avec une racine connue - Terminale - Maths expertes

Summary

Dans cette vidéo, l'instructeur explique comment résoudre une équation de degré 3 en utilisant une racine évidente, ici x = 1. Après avoir confirmé que cette valeur satisfait l'équation, il démontre comment réduire le degré du polynôme pour obtenir une équation du second degré. Il utilise la méthode de factorisation et l'identification des coefficients pour dériver le polynôme de degré 2. Finalement, il résout l'équation résultante en appliquant le discriminant, fournissant ainsi trois solutions pour l'équation initiale, tout en mettant en lumière le processus méthodique et pédagogique de la résolution d'équations cubiques.

Takeaways

• 😀 Dans cette vidéo, on apprend à résoudre une équation de degré 3 avec une racine connue.
• 🤔 La racine connue est souvent évidente et peut être un entier autour de zéro.
• 🔍 On commence par tester des valeurs entières comme 0, 1, -1, 2, -2, 3, et -3 pour trouver une racine.
• ✔️ Après avoir testé x = 1, on confirme qu'il s'agit d'une racine évidente de l'équation.
• 🔗 En utilisant la propriété des polynômes, on descend d'un degré pour obtenir une équation de degré 2.
• 📉 La forme factorisée du polynôme est importante pour simplifier la résolution.
• 📝 En développant l'expression factorisée, on identifie les coefficients du polynôme de degré 2.
• 💡 La méthode d'identification des coefficients permet de déterminer les valeurs de a, b et c.
• 🔄 Après avoir trouvé les coefficients, on peut résoudre l'équation du second degré en utilisant le discriminant.
• 🎉 Finalement, les solutions de l'équation sont x = 1, x = -1 - racine de 2, et x = -1 + racine de 2.

Q & A

Quelle est l'équation à résoudre dans la vidéo?

L'équation à résoudre est x³ - 3x + 1 = 0.

Qu'est-ce qu'une racine évidente?

Une racine évidente est une racine entière simple, souvent proche de zéro, comme -3, -2, -1, 0, 1, 2, ou 3.

Comment vérifier si x = 1 est une solution de l'équation?

On remplace x par 1 dans l'équation et on voit si le résultat est égal à zéro.

Pourquoi peut-on descendre d'un degré dans la résolution du polynôme?

On peut descendre d'un degré parce que connaître une racine permet de factoriser le polynôme.

Quelle est la forme factorisée du polynôme p(x) après avoir trouvé la racine?

La forme factorisée est p(x) = (x - 1)(x² + 2x - 1).

Comment calcule-t-on le discriminant pour résoudre une équation du second degré?

Le discriminant est calculé avec la formule Δ = b² - 4ac, où a, b et c sont les coefficients de l'équation.

Quels sont les résultats de la résolution de l'équation du second degré?

Les solutions sont x = -1 - racine(2) et x = -1 + racine(2), ainsi que la racine évidente x = 1.

Comment trouve-t-on les coefficients a, b et c dans le polynôme du second degré?

On les trouve par identification après avoir développé l'expression du polynôme.

Pourquoi le développement et l'identification sont-ils importants?

Ils permettent de déterminer les coefficients du polynôme pour résoudre l'équation correctement.

Que signifie une racine réelle dans le contexte de l'équation cubique?

Une racine réelle est une valeur de x pour laquelle l'équation est égale à zéro et qui peut être trouvée à l'aide des méthodes de factorisation et de résolution.