Writing a Quadratic Function from Points (Example)

Summary

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Takeaways

• 😀 这个视频演示了如何通过三个已知的有序对来写出一个二次函数。
• 😀 二次函数的标准形式为 f(x) = ax² + bx + c。
• 😀 每个有序对的 x 和 y 值被代入二次函数的标准方程，生成一组线性方程式。
• 😀 视频通过使用代入法或消元法来解决这些方程，目的是求解出系数 a、b 和 c。
• 😀 通过将前两个方程相加，b 的系数被消去，得到一个简化的方程式。
• 😀 接着通过倍增第三个方程并与第二个方程相加，也消除了 b 的系数。
• 😀 两个简化后的方程最终可以解决 a 和 c 的值。
• 😀 通过代入值 a = 3/4 和 c = 1，最终求得 b = -1/2。
• 😀 完成系数求解后，最终得到二次函数：f(x) = 3/4x² - 1/2x + 1。
• 😀 最后，视频展示了该二次函数的图像，确认其经过了给定的三个有序对。
• 😀 通过这些步骤，观众可以了解如何通过给定点来求解并构建一个二次函数。

Q & A

如何通过给定的三个有序对来求解二次函数？

通过将每个有序对代入二次函数的标准形式方程（y = ax² + bx + c），构建一个包含a、b和c的方程组。然后通过代数方法（如消元法或代入法）来解这个方程组，得到a、b和c的值，从而得到所需的二次函数。

标准二次函数的形式是什么？

标准二次函数的形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，a ≠ 0。

在求解方程组时，如何消去b的系数？

通过将两个包含b项的方程相加，可以消去b的系数。例如，首先得到的方程是5 = 4a - 2b + c，第二个方程是3 = 4a + 2b + c。将这两个方程相加，b项会被消去。

如何简化求解过程中的方程？

通过对方程两边进行适当的除法，可以简化方程中的系数。例如，将方程4 = 4a + c两边除以2，得到2 = 2a + c，这样系数变小，便于后续计算。

在第二次消元过程中，为什么要将方程乘以2？

为了使两个方程的b系数相反，从而在相加时消去b的系数。例如，方程3 = 4a - 4b + c可以通过乘以2得到6 = 8a + 4b + 2c，这样加起来就能消去b的项。

在解得a和c后，如何求解b的值？

首先代入已知的a和c的值，选择一个包含a、b和c的方程来求解b。例如，方程3 = 4a + 2b + c被代入a和c的值后，通过简单的代数运算可以解得b的值。

a、b和c的值分别是多少？

根据方程组的解得，a的值为3/4，b的值为-1/2，c的值为1。

如何将解得的系数代入二次函数方程中？

将a = 3/4，b = -1/2，c = 1代入标准二次函数方程y = ax² + bx + c中，得到最终的二次函数为f(x) = 3/4x² - 1/2x + 1。

求得的二次函数表示的是什么样的图像？

求得的二次函数表示的是一个抛物线，且该抛物线通过给定的三个点（-2,5）、(2,3)和(-4,15)。

如果需要验证该二次函数是否通过这三个点，应该怎么做？

将每个点的x值代入求得的二次函数f(x) = 3/4x² - 1/2x + 1中，验证每次代入后的结果是否等于相应的y值。如果是，那么该二次函数就通过这三个点。