Sistemas y Señales I - 4. Fasores
Summary
TLDREl script de video proporciona una explicación detallada sobre los factores en señales y sistemas. Se discute cómo los factores son utilizados para simplificar cálculos en el análisis de funciones senoidales. Se menciona la convención de representación de números complejos en forma polar y exponencial, y cómo estos están relacionados con las funciones senoidales. Se destaca la ventaja de utilizar factores en lugar de funciones trigonométricas para operaciones algebraicas, ya que simplifica significativamente los cálculos. Se ofrecen ejemplos prácticos para ilustrar cómo transformar funciones senoidales en factores y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Además, se aborda el proceso de pasar del dominio temporal al dominio de las frecuencias y viceversa. El video finaliza con una invitación a los espectadores a consultar la bibliografía y aclarar dudas si las tuvieran.
Takeaways
- 📚 La bibliografía recomendada para estudiar factores complejos es Hyde, ya que utiliza la convención de los coseños que se aplicará en la asignatura.
- 🔍 Es importante tener en cuenta las convenciones de representación de números complejos en diferentes formatos: cartesiano, polar y polar exponencial.
- 🌀 Los ángulos en los factores complejos son variables y dependen del tiempo, a diferencia de los ángulos fijos en los números complejos.
- ⚙️ Los factores complejos son útiles para simplificar cálculos en el dominio de las frecuencias, permitiendo operaciones algebraicas más sencillas.
- 📈 La representación de una función senoidal a través de un factor complejo involucra tomar la parte real del factor, que es análogo a la función de onda.
- 🧮 Al realizar cálculos en el dominio de las frecuencias, es fundamental asegurarse de que todos los factores complejos tengan la misma frecuencia angular.
- 📉 Para transformar una función del dominio temporal al dominio de las frecuencias, se utiliza un factor complejo que captura la amplitud y el desfasaje inicial.
- 🔄 Un factor complejo se representa como un vector en el plano complejo que gire con una velocidad angular constante, formando una proyección senoidal en el eje horizontal.
- 📐 La transformación de funciones trigonométricas a factores complejos permite simplificar cálculos, como la suma, resta, multiplicación y división de funciones senoidales.
- 🛠️ La ventaja de utilizar factores complejos radica en la simplificación de cálculos en el dominio de las frecuencias, evitando el uso directo de funciones trigonométricas.
- 🔙 Al final de los cálculos en el dominio de las frecuencias, es posible revertir a una función en el dominio temporal a través de la transformación de factores complejos en funciones senoidales.
Q & A
¿Qué convención se recomienda utilizar para definir los factores en la asignatura?
-Se recomienda utilizar la convención que define los factores con cosenos.
¿Cuál es la diferencia entre la representación cartesiana y polar de un número complejo?
-La representación cartesiana proporciona la parte real e imaginaria de un número complejo, mientras que la polar ofrece el módulo y el ángulo del número complejo.
¿Cómo se relaciona la función seno con la función coseno en términos de ángulos?
-El seno de un ángulo es igual al coseno del ángulo menos 90 grados.
¿Qué es un factor y cómo se diferencia de un número complejo?
-Un factor es una representación de un número con módulo y ángulo variable, mientras que un número complejo tiene un ángulo fijo.
¿Cómo se puede simplificar la anotación de un factor que varía con el tiempo?
-Se puede representar el factor en el momento inicial, conservando el valor de omega y utilizando la representación polar o polar exponencial.
¿Qué ventaja tiene utilizar factores en lugar de funciones senoidales al realizar operaciones aritméticas?
-Los cálculos se simplifican significativamente, ya que es más fácil sumar, restar, multiplicar y dividir factores que tienen la misma frecuencia angular.
¿Cómo se realiza el paso del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia en un circuito?
-Se utiliza un artefacto matemático para transformar una función que depende del tiempo en un factor, el cual luego se puede manipular en el dominio de las frecuencias.
¿Por qué es importante verificar que los factores tengan la misma frecuencia angular al realizar operaciones algebraicas?
-Es necesario para que se puedan sumar, restar, multiplicar y dividir los factores de manera correcta. Si los factores tuvieran frecuencias distintas, no se podría realizar la operación algebraica.
¿Cómo se transforma una función de tiempo en un factor si la función contiene una señal senoidal?
-Se enfoca en el módulo y en el desfasaje inicial de la función senoidal, y se utiliza esta información para crear un factor con amplitud y desfasaje correspondientes.
¿Cómo se calcula el cociente de dos funciones senoidales si se quiere simplificar el proceso sin utilizar funciones trigonométricas?
-Se transforma el numerador y el denominador en factores con módulos y ángulos correspondientes y luego se dividen estos factores, asegurándose de que tengan la misma frecuencia angular.
¿Cómo se vuelve a transformar un factor en una función de tiempo para obtener una solución?
-Se utiliza la representación del factor en forma de coseno, seno o cualquier otra función senoidal equivalente, proporcionando la amplitud, la frecuencia y el desfase inicial del factor.
Outlines
📚 Introducción a los Factores y Representación de Números Complejos
El primer párrafo introduce el tema de los factores en sistemas y señales, destacando la importancia de la bibliografía. Se recomienda seguir la convención de Hyde para definir los factores utilizando coseños. Se discute la representación de números complejos en diferentes formas: cartesiana, polar y polar exponencial. Además, se relaciona el tema con las funciones senoidales y cómo la sustitución de 'tita' por 'omega t' y la multiplicación por el módulo transforman la función en una forma que se asemeja a la que se ha estado utilizando en las clases anteriores.
🔁 Representación de Seno y Coseno en el Plano Complejo
Este párrafo profundiza en la representación de funciones senoidales en el plano complejo. Se describe cómo el ángulo 'tita' es constante en la representación polar, mientras que 'omega t' varía con el tiempo. Esto lleva a la definición de un factor, que tiene una parte real y una parte imaginaria, y cómo esta parte real es similar a las funciones senoidales que se han estado estudiando. Se ilustra cómo se puede obtener una función senoidal a partir de la parte real de un factor complejo con un ángulo variable.
🔄 Factores como Vectores en el Plano Complejo y Operaciones en el Dominio de las Frecuencias
El tercer párrafo explica cómo los factores, representados como vectores en el plano complejo, giran constantemente con una frecuencia angular. Se simplifica la anotación de estos vectores al representarlos en el instante inicial. Se discute cómo trabajar con factores en el dominio de las frecuencias simplifica significativamente el cálculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en comparación con las funciones senoidales tradicionales. Se proporciona un ejemplo de cómo transformar una función senoidal dada en el dominio de la frecuencia en un factor, y cómo realizar operaciones algebraicas con factores una vez que se conocen la amplitud y el desfase inicial. Finalmente, se resalta la ventaja de utilizar factores en lugar de funciones trigonométricas para simplificar cálculos en el dominio de las frecuencias.
Mindmap
Keywords
💡Sistemas y señales
💡Factores complejos
💡Convenciones de representación
💡Plano complejo
💡Representación polar
💡Ecuación de Euler
💡Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia
💡Trigonometría
💡Desfasaje
💡Algebra lineal
💡Transformación de señales
Highlights
El tema de los factores complejos es muy importante en sistemas y señales.
Se recomienda seguir la convención de Hyde para definir los factores con cosenos.
Los factores complejos se representan en forma cartesiana, polar y polar exponencial.
La relación de Euler se utiliza para definir la forma exponencial de un número complejo.
Los factores complejos están relacionados con las funciones senoidales trabajadas en clases anteriores.
Los factores complejos tienen una parte real y una parte imaginaria, similar a las funciones senoidales.
Los ángulos en los factores complejos son variables y dependen del tiempo.
Los factores complejos son como vectores en el plano complejo que giran con el tiempo.
La proyección del vector en el eje horizontal forma la función senoidal.
Para simplificar, se representa al vector en el momento inicial cuando el ángulo es cero.
El factor complejo se utiliza en lugar de números complejos para simplificar cálculos en el dominio de la frecuencia.
El factor complejo se representa en forma polar con amplitud y ángulo de desfasaje inicial.
La ventaja de los factores complejos es que simplifican la suma, resta, multiplicación y división de funciones senoidales.
El cambio de dominio desde el temporal al de las frecuencias se hace a través de factores complejos.
Se puede trabajar con factores complejos utilizando álgebra para resolver operaciones en el dominio de las frecuencias.
Es importante verificar que todos los factores complejos tengan la misma frecuencia angular para operar algebraicamente.
Se pueden transformar funciones senoidales en factores complejos para simplificar cálculos y luego volver al dominio del tiempo.
Se proporciona un ejemplo de cómo transformar una función senoidal en un factor complejo y luego realizar operaciones algebraicas.
Se muestra cómo calcular el cociente de dos funciones senoidales utilizando factores complejos y luego transformar el resultado de vuelta al dominio del tiempo.
Transcripts
buenos días hoy nos toca a ver un tema
que es muy importante en sistemas y
señales que es el tema de factores la
bibliografía es la que tenemos acá como
siempre el height y el voile start
les aconsejo que para este tema siga en
el hyde en primer lugar porque utiliza
la convención que nosotros vamos a
utilizar en la asignatura que es definir
los factores con cosenos también por
supuesto pueden leer el voile están
siempre que tengan presente que la
convención que utiliza el libro es la
del seno
la clase ponderada en un cambio habíamos
definido lo que eran los números como
empleados o gráficamente deben bien esos
cuáles eran las formas de representarlos
en el plano complejos y en una forma era
la cartesiana en donde yo daba la parte
real y la parte imaginaria y lo escribía
como además bj otra forma era la polar
en donde yo tenía que dar el módulo del
número complejo y el ángulo sí y otra
forma era la polar exponencial en donde
yo daba el módulo y el ángulo este pero
expresado con una forma exponencial
compleja que se definía a través de la
relación de euler como ea la jota tita
coseno de igual a coseno de tita más
jota seno de tita si éste es un número
complejo que tiene una parte real coseno
de tita y una parte imaginaria jota seno
de tita
ahora qué tiene que ver todo este tema
de los complejos con las funciones que
nosotros veníamos trabajando en las
clases anteriores que eran por ejemplo
vélez te iguala de máximo por coseno de
mega temas y tienen que ver en que ambas
utilizan el cosenos y
acá está la función y ustedes se fijan
esta función con senoidal tendría algún
parecido con esta que nosotros tenemos
acá si nosotros reemplazáramos este tita
por omega temas fit y si la
multiplicamos por el módulo en ambos
lados sí
entonces eso es lo que vamos a hacer
ahora a continuación partimos de la
identidad de euler multiplicamos ambos
miembros por el módulo de a entonces me
va a quedar de esta forma si el módulo
de apure a la j tita y un número una
parte real acá y una parte imaginaria de
este lado y ahora vamos a hacer el
cambio en vez de utilizar tita vamos a
utilizar o mega tema fi y lo vamos a
reemplazar aquí adentro sí y no va a
quedar este número que está acá que es
la representación de algo que tiene
módulo a y que tiene un ángulo o mega
tema fi sí y que tiene una parte real y
una parte imaginaria cuál es la
diferencia con la forma polar que
habíamos visto nosotros antes la
diferencia está en que aquí el ángulo
tita es un ángulo constante y fijo
mientras que aquí el ángulo con el que
yo estoy trabajando en un ángulo que
depende del tiempo en un ángulo variable
o sea para cada momento tiene un valor
distinto para t igual a cero valdrá fi
si párate igual al periodo valdrá fi
pero en los puntos intermedios va a
tener va a ir tomando distintos valores
si entonces lo que nosotros tenemos acá
no le podemos llamar un número complejo
porque el número complejo tiene un
ángulo fijo y esto no tiene un ángulo
fijo sino que tiene un ángulo variable
entonces esto es lo que nosotros le
llamamos factor si entonces el factor
tiene una parte real y una parte
imaginaria la parte real es bastante
parecido a lo que nosotros queremos
trabajar con nuestras nuestras funciones
que cosen hoy dale sí senoidal es que
hemos venido trabajando entonces si
nosotros tomamos la parte real de este
factor nos queda esta forma así y esta
forma es exactamente igual a cuando
nosotros decíamos verde igual a b máximo
que sería el módulo coseno de omega tema
si se entiende entonces lo que nosotros
estamos haciendo es a la función
ve desde que teníamos antes la corriente
y dt podría hacer cualquier función
senoidal o poseen hoy dan la podemos
imaginar como si fuera la parte real de
un este un número complejo sí que no es
en realidad
un número complejo fijo y estático en el
tiempo sino que tiene un ángulo que
varía con el tiempo esto que está acá de
lo que nosotros llamamos un factor sí
que está escrito acá a que éste a que
corresponde si yo les hiciera un
dibujito sería este vector que está aquí
es el vector en el plano complejo que va
cambiando su ángulo con el tiempo sí y
que gira con una velocidad angular
determinada con qué velocidad gire este
vector con la omega que nosotros le
definamos si y entonces me va formando
la proyección fíjense que la proyección
sobre el eje horizontal de este vector
me va formando la función co senoidal
que es la que tenemos aquí sí entonces
esto es un factor es como un vector en
el plano complejo que está girando
permanentemente ahora nosotros lo que
hacemos para simplificar la anotación es
como el vector siempre gira con la misma
frecuencia angular es representarlo a
este vector pero en el momento en que
esté igual a cero o sea en el instante
inicial sí entonces este omega t es como
que me lo guardo este su valor y
simplemente representa un a la j fit sí
igual que como teníamos antes este en
forma polar pero la diferencia es que
nosotros sabemos que esa entidad tensión
o corriente en realidad es un factor y
no un número complejo está
entonces esta explicación que yo les di
es bastante sencilla de llevarlo a la
práctica no es complicado por ejemplo yo
tengo la atención verde igualada por
coseno de omega tema así que tengo que
hacer me tengo que fijar exclusivamente
en el módulo a y en el desfasaje inicial
fin el omega lo guardo para para tenerlo
como dato pero no se utiliza cuando uno
hace el paso del dominio del tiempo al
dominio de la frecuencia que es donde
viven
digamos por decirlo de alguna manera los
factores entonces el factor tensión es
este se representa como en forma polar
como una amplitud a con un ángulo de
desfasaje inicial si si entonces cuál es
la ventaja de esto que es si yo tengo
que sumar restar multiplicar y dividir
funciones en oid al esas cosas no de
alem es bastante complicado no es
imposible pero es más complicado que si
yo tuviera que sumar restar multiplicar
y dividir factores de este tipo entonces
los cálculos se simplifican un montón
aquí a la izquierda ustedes van a ver lo
que yo les estoy este es como un resumen
de cómo es el pasaje del dominio
temporal al dominio de las frecuencias
cuando nosotros trabajemos con nuestro
circuito entonces nosotros siempre vamos
a partir del dominio temporal o sea de
una función que depende del tiempo te lo
que vamos a hacer es un artilugio
matemático para transformarla este en un
factor que lo que está causa primero
toma la parte real transformó en un
factor este factor tiene parte real y
parte imaginaria pero la parte que a mí
me interesa como solución va a ser
finalmente la parte real exclusivamente
entonces pero mientras tanto yo cuando
me tramo me transportó al dominio de las
frecuencias puedo trabajar con los
factores y utilidad utilizar los
algebraica méndez resolver todas las
operaciones en este dominio si éste este
dominio este bueno este factor este
éxito acá en forma polar exponencial y
este factor está escrito acá
directamente en forma polar son
exactamente lo mismo
fíjense que se utiliza la letra negrita
en ambos casos para indicar qué
este número es un factor si algunos
libros le ponen doble rayita
a la letra otros le ponen un palito
arriba y en este caso el height por
ejemplo lo pone con negrita entonces
veamos
y ahora un un ejemplo
supongamos que nosotros tenemos esta
función vedette y bm coseno de omega
tema fi que es la forma general de una
fuente de tensión por ejemplo nos
fijamos en el desfasaje inicial y en la
amplitud nada más y con esos dos datos
lo transformamos en el dominio de la
frecuencia o en un factor b que tiene
amplitud bm y desfasaje fi
qué hubiera pasado obviamente si este
más hubiera sido menos de este lado
tendría que ponerle el menos y si
hubiera tenido un seno en vez de un
coseno
como por ejemplo en este caso yo ya sé
que el seno de un ángulo el seno de alfa
es igual al coseno de alfa menos 90
grados o sea que lo único que tengo que
hacer es de vuelta me fijo en el fin
pero cuando vaya a escribir el ángulo le
restó 90 grados y con eso tenemos
solucionado el problema del pocero
van a haber unos ejemplos sencillos por
ejemplo supongamos que el práctico nos
dice que transformemos a paso a favor
esta función vedete 12 voltios coseno de
500 t menos 30 que nos tenemos que fijar
como siempre la amplitud del factor que
va a ser 12 voltios y en la fase inicial
que va a ser menos 30 como lo escribo en
forma polar como 12 menos 30 sí
la unidad del factor que yo estoy
trabajando la podemos escribir o bien al
final entre paréntesis en este caso
voltios o bien la podemos poner junto
con la amplitud podríamos haber puesto
cada 12 voltios
otro ejemplo supongamos ahora que
tenemos una corriente 52 samper de
módulo por seno de 20 t 25 de vuelta me
fijo solamente en el módulo que 5,2
amper y solamente en la fase inicial que
es 25 grados como escribo mi fa sol como
5 225 grados pero como esto está escrito
como un seno le restó los 90 grados
entonces 25 menos 90 me da menos 65 y de
vuelta escala en este caso la
magnitud de samper
y veamos un último ejemplo un chiquitín
más complicado
supongamos que nos hubieran dicho
calcular el siguiente cociente tenemos
una función coseno ideal 12 coseno de
500 t menos 30 dividido 4 seno de 500
temas 25 como haríamos ese cálculo sin
necesidad de utilizar obviamente las
funciones trigonométricas porque la idea
es simplificarlo no complicarlo entonces
podemos podemos transformar este
numerador a un factor y este denominador
a otro factor y dividir los dos siempre
que yo haga cuentas entre factores tengo
que verificar que la frecuencia angular
está que tengo acá estos 500 sean la
misma para todos los factores yo puedo
sumar puedo operar algebraica mente con
los factores siempre que los factores
tengan la misma frecuencia si tuvieran
frecuencia distinta no se podría hacer
todo esto que estamos hablando en el 99%
de los casos de los problemas que
ustedes van a ver en esta materia
los factores todos tienen la misma
frecuencia si en el caso de que no la
tengan nosotros le vamos a avisar y le
vamos a enseñar cómo se trabaja con eso
entonces este factor de arriba es un
factor del módulo 12 y ángulos inicial
menos 30 y el defensor debajo tiene
módulo 4 y ángulo más 25 y como es un
seno lo que tengo que restar los 90
grados si acá es lo que escribió acá 12
con menos 34 con 25 menos 90 que son los
menos 65 y ahí ya puedo operar como
hemos visto en la clase pasada este para
dividir los números que están en forma
polar dividido a los módulos 12 / 4
estrés y resto de los ángulos sea menos
30 menos menos 25 más 90 o menos 65 son
los menos 95 sí o sea opere y obtuve
como resultado otro factor que tiene una
actitud distinta 3 y un desfasaje
inicial distintos 90 menos 95 grados
esto por supuesto si yo quiero dar la
solución de este problema la tengo que
dar en el en el dominio del tiempo no en
el dominio factorial entonces lo que
hago es volverme al dominio del tiempo
transformando este factor en un coseno
entonces la amplitud va a ser 3 la
frecuencia va a ser la misma con la que
venimos trabajando 500 y el desfase
inicial va a ser menos 95 y entonces la
el cociente éste es igual a esta fórmula
que tenemos acá así como hice cociente
podría haber hecho suma resta
multiplicación división o lo que se me
hubiera ocurrido este y hubiera sacado
este el resultado mucho más sencillo
pasándome a factores y resolviendo que
utilizando las funciones trigonométricas
bueno hasta aquí llegamos el 10 si les
queda alguna duda este vídeo que
encontré aquí está muy sencillo
explicado que es un factor así que se
los dejo para que ustedes lo vean
cualquier cosa miren en la bibliografía
y consultan si tienen alguna duda
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