Oxford Calculus: Separable Solutions to PDEs

Summary

Dans cette vidéo, le Dr Tom Crawford, de l'Université d'Oxford, explique la méthode des solutions séparables pour résoudre des équations différentielles partielles (EDP). Il démontre comment une solution peut être supposée sous la forme d'un produit de fonctions dépendant chacune d'une seule variable, simplifiant ainsi la résolution de l'EDP en deux équations différentielles ordinaires (EDO). À travers des exemples pratiques, il montre comment séparer les variables et résoudre ces EDO, avant de valider les résultats avec des conditions aux limites et des outils comme l'application Maple. Cette méthode permet de mieux comprendre et résoudre les EDP de manière plus accessible.

Takeaways

• 😀 La résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) est plus complexe que celle des équations différentielles ordinaires (EDO) en raison des dérivées partielles.
• 😀 Une solution simplifiée consiste à rechercher des solutions séparables, où la fonction dépend de deux variables, mais est décomposée en un produit de fonctions de chaque variable.
• 😀 Pour résoudre une EDP avec des solutions séparables, on suppose une solution sous la forme u(x, y) = f(x) * g(y), où f est une fonction de x et g est une fonction de y.
• 😀 Lors de l'application de cette méthode, on remplace u(x, y) dans l'EDP, ce qui permet de séparer les équations en deux EDOs distinctes, facilitant ainsi leur résolution.
• 😀 Exemple d'EDP : du/dy = y * du/dx. En substituant une solution séparée, l'EDP se décompose en deux équations simples, une pour x et une pour y.
• 😀 Une fois séparées, les équations peuvent être résolues indépendamment : pour x, on obtient f(x) = a * e^(c * x), et pour y, g(y) = b * e^(c * y² / 2).
• 😀 En combinant les résultats des deux équations, la solution générale de l'EDP devient u(x, y) = d * e^(c * x + y² / 2), où d est une constante arbitraire.
• 😀 Les constantes de la solution (comme d et c) sont déterminées par les conditions initiales ou aux limites du problème.
• 😀 Un exemple d'application pratique montre comment utiliser les conditions aux limites pour déterminer les valeurs exactes de ces constantes, comme dans le cas où u(1, 1) = e.
• 😀 L'application de calcul différentiel (comme Maple) permet de vérifier la solution en différenciant et en comparant les dérivées partielles avec l'EDP originale, ce qui confirme que la solution est correcte.
• 😀 Un autre exemple avec une EDP plus complexe (x * y * du/dx = y * u + du/dy) suit la même méthode de séparation des variables, donnant une solution sous forme de produit de puissances et exponentielles, nécessitant également des vérifications avec les conditions aux limites.

Q & A

Qu'est-ce qu'une solution séparable dans le contexte des équations différentielles partielles (EDP) ?

Une solution séparable est une solution d'une EDP sous la forme d'un produit de deux fonctions, où chaque fonction dépend d'une seule variable. Par exemple, une solution de la forme u(x, y) = f(x) * g(y), où f dépend de x et g dépend de y.

Pourquoi résoudre une EDP est généralement plus difficile que de résoudre une équation différentielle ordinaire (EDO) ?

Résoudre une EDP est plus difficile parce qu'elle implique des dérivées partielles, ce qui nécessite une approche plus complexe. En revanche, les EDO ne concernent qu'une seule variable et sont donc généralement plus simples à résoudre.

Que se passe-t-il lorsqu'on intègre une dérivée partielle par rapport à une variable dans une EDP ?

Lorsqu'on intègre une dérivée partielle par rapport à une variable dans une EDP, le résultat est une fonction d'intégration plutôt qu'une constante d'intégration, ce qui rend la résolution plus complexe.

Comment fonctionne la méthode de séparation des variables pour résoudre une EDP ?

La méthode de séparation des variables consiste à supposer que la solution de l'EDP peut être exprimée comme un produit de fonctions dépendant chacune d'une seule variable. En substituant cette forme dans l'EDP, on espère séparer les termes en équations différentielles ordinaires (EDO) plus simples à résoudre.

Dans l'exemple donné, quelle est la forme de la solution que l'on suppose pour résoudre l'EDP ?

La solution supposée est de la forme u(x, y) = f(x) * g(y), où f est une fonction de x et g est une fonction de y.

Pourquoi peut-on égaler deux expressions dépendant respectivement de x et de y à une constante ?

On peut égaler ces deux expressions à une constante parce qu'une fonction dépendant uniquement de x doit être égale à une fonction dépendant uniquement de y uniquement si elles sont toutes deux égales à une constante, ce qui permet de séparer les variables et de résoudre les deux parties indépendamment.

Comment la constante c est-elle déterminée dans l'exemple de l'EDP donnée ?

La constante c est déterminée en utilisant les conditions aux limites ou initiales, telles que u(1,1) = e. En remplaçant dans l'expression de la solution, on peut résoudre pour c.

Quelles sont les étapes clés pour résoudre une équation différentielle ordinaire (EDO) comme celle pour f(x) dans l'exemple ?

Les étapes incluent : réécrire l'EDO sous une forme permettant l'intégration, intégrer les deux côtés de l'équation, exponentier pour résoudre la fonction, et enfin déterminer la solution générale pour f(x), ici f(x) = a * e^(cx).

Que signifie l'intégration d'une fonction g(y) dans le cas de l'EDP ?

L'intégration de g(y) permet de déterminer sa forme, qui est ici g(y) = e^(c * y^2 / 2 + β), où β est une constante d'intégration. Cette étape est similaire à celle de l'intégration de f(x).

Comment le logiciel Maple est-il utilisé dans l'exemple pour vérifier la solution de l'EDP ?

Le logiciel Maple est utilisé pour vérifier la solution en différenciant la fonction obtenue par rapport à x et y et en comparant ces dérivées à l'EDP originale. Il permet également de visualiser la solution en 3D et de faire une analyse détaillée des étapes de calcul.