Simpson 1/3 Introducción 01
Summary
TLDREl video explica el uso del método numérico de Simpson un tercio para aproximar el resultado de integrales definidas, a diferencia de métodos analíticos. A través de un ejemplo con la función seno de x al cuadrado, se muestra cómo interpolar un polinomio de segundo grado y luego calcular su integral para estimar el área bajo la curva. Aunque la calculadora utiliza una técnica diferente (cuadratura Gauss-Janě), el video destaca la importancia de entender diferentes enfoques numéricos para cálculos de integrales.
Takeaways
- 📊 El script讲解了如何在不具备解析解的情况下,使用数值方法来近似计算定积分。
- 🌟 特别提到了辛普森(Simpson)三分之一法则,尽管这不是计算器内部使用的计算方法。
- 📐 辛普森法则通过使用抛物线来近似函数曲线下的面积,从而计算积分。
- 🔢 首先,通过插值得到一个二次多项式,该多项式通过三个特定点(1.2, 1.4, 1.6)生成。
- 📈 通过计算器得到的数据点用于构建多项式,并计算其在给定区间的积分。
- 🏞️ 通过近似得到的积分结果与计算器直接给出的结果相近,但并不完全相同。
- 📝 计算器使用的是高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积法,这是一种特殊的高斯求积法。
- 🔍 虽然辛普森法则在视频中没有直接应用,但它提供了一种理解数值积分方法的途径。
- 🎯 辛普森法则的优势在于它简化了复杂函数的积分计算,使其变得更容易处理。
- 📊 视频中还提到了其他数值积分方法,如高斯求积法,这为理解更复杂的数值积分技术打开了大门。
- 🔑 了解数值积分方法的基本原理对于科学和工程领域的学生和专业人士来说非常重要。
Q & A
¿Qué método numérico se menciona en el script para aproximar el cálculo de integrales definidas?
-El método numérico mencionado en el script es el método de Simpson un tercio.
¿Qué es la técnica de fracciones parciales y por qué no se utiliza en este caso?
-La técnica de fracciones parciales es un método para resolver integrales definidas. No se utiliza en este caso porque el script se enfoca en explicar el aproximado numérico a través del método de Simpson un tercio en lugar de métodos analíticos como la técnica de fracciones parciales o sustitución trigonométricas.
¿Cuál es la función que se utiliza como ejemplo para explicar el método de Simpson un tercio?
-La función utilizada como ejemplo es f(x) = seno(x al cuadrado).
¿Qué representa la integral definida en relación a una curva y el eje x?
-Una integral definida representa el área que hay entre una curva y el eje x,限于 los límites inferior y superior especificados.
¿Cómo se aproxima el área en el ejemplo del seno de x al cuadrado utilizando el método de Simpson un tercio?
-Se aproxima encontrando una parábola que tenga un comportamiento similar al de la función en el rango de los límites y luego integrando esa parábola, lo que da un resultado aproximado al área bajo la curva original.
¿Qué es la parábola que se busca encontrar en el método de Simpson un tercio?
-La parábola buscada es una aproximación de la función original en un segmento específico de los límites, que se utiliza para calcular el área de manera numérica.
¿Cómo se obtiene el polinomio de segundo grado que se aproxima a la parábola en el método de Simpson un tercio?
-Se obtiene a través de la interpolación de un polinomio de segundo grado utilizando tres puntos en la curva, generalmente los límites y el punto medio entre ellos.
¿Cuál es el resultado aproximado del área en el ejemplo del seno de x al cuadrado?
-El resultado aproximado del área es de 0.34, aunque puede variar ligeramente dependiendo del método y la precisión del cálculo.
¿Qué es la cuadratura Gauss y cómo se relaciona con el método de Simpson un tercio?
-La cuadratura Gauss es un método numérico para aproximar integrales definidas. El método de Simpson un tercio es un caso especial de la cuadratura Gauss, y ambos son utilizados para aproximar el área bajo una curva a través de técnicas numéricas.
¿Qué método numérico se utiliza en la calculadora mencionada en el script?
-La calculadora mencionada en el script utiliza el método de Gauss-Legendre para la integración numérica.
¿Por qué es importante entender diferentes métodos numéricos para cálculos de integrales?
-Es importante entender diferentes métodos numéricos para cálculos de integrales porque cada uno tiene sus propias ventajas y limitaciones. Conocer varios métodos permite elegir el más adecuado para el problema específico, mejorar la precisión y la eficiencia del cálculo.
Outlines
📚 Introducción al Método Numérico de Simpson
En este primer párrafo, se presenta la tecla de la calculadora que permite realizar cálculos de integrales definidas. Se discute que, a diferencia de los métodos analíticos, el equipo utiliza un método numérico para aproximar resultados. Se menciona el Método de Simpson un Tercio como un ejemplo de cómo se aproxima el área entre una curva y el eje x, tomando como caso de estudio la función seno de x al cuadrado. Además, se sugiere que el objetivo es entender cómo la calculadora proporciona un resultado numérico sin realizar la integral de manera analítica.
📐 Estudio de la Aproximación con Polinomios
Este párrafo se enfoca en el proceso de aproximación de una función mediante polinomios. Se describe cómo, a través de la interpolación de un polinomio de segundo grado entre tres puntos, se puede obtener una parábola que se comporta de manera similar al trozo de función que se está analizando. Se detalla el proceso de calcular los valores y坐标 para completar la tabla de los puntos y se menciona cómo se utiliza la calculadora para obtener estos valores. Finalmente, se presenta el polinomio resultante y se discute cómo este polinomio permite calcular una integral que es más fácil de evaluar.
🔢 Ventajas del Método de Simpson un Tercio
En el tercer párrafo, se aborda la simplificación que ofrece el Método de Simpson un Tercio al transformar una integral complicada en una integral de un polinomio, lo que facilita el cálculo. Se menciona que, aunque no se requiere calcular el polinomio de interpolación para aplicar este método, se puede elegir cualquier punto para aproximar el resultado deseado. Además, se contrasta este método con otras técnicas numéricas más complejas como la Cuadratura Gauss y se señala que, aunque el Método de Simpson un Tercio no es el utilizado en todas las calculadoras, ofrece una base para entender métodos numéricos más avanzados.
Mindmap
Keywords
💡integrales definidas
💡método numérico
💡Simpson un tercio
💡cuadratura de Gauss
💡polinomio de segundo grado
💡interpolación
💡área
💡límites de integración
💡aproximación numérica
💡puntos de evaluación
💡función seno de x al cuadrado
Highlights
El transcripto discute el uso de una calculadora para aproximar integrales definidas utilizando métodos numéricos.
Se menciona que la calculadora no resuelve la integral de manera analítica, sino que utiliza técnicas numéricas para aproximar el resultado.
El método numérico de Simpson un tercio es introducido como una técnica para aproximar áreas bajo una curva.
Se destaca la importancia de entender cómo funciona el equipo antes de obtener resultados numéricos.
Se utiliza la función seno de x al cuadrado como ejemplo para ilustrar el proceso de aproximación numérica.
Se describe el planteamiento de la integral definida y su relación con el área entre una curva y el eje x.
Se aborda el concepto de interpolación de un polinomio de segundo grado para aproximar la función dada.
Se menciona la obtención de tres puntos para la interpolación, utilizando los límites de integración y su valor medio.
Se calcula el polinomio de segundo grado que se aproxima a la función original en el rango de los límites.
Se verifica el resultado de la integral del polinomio aproximado utilizando una calculadora.
Se discute la diferencia entre el resultado exacto y la aproximación proporcionada por el polinomio.
Se menciona que el método de Simpson un tercio no requiere la interpolación de una parábola, sino que se puede aplicar directamente.
Se habla sobre la flexibilidad del método de Simpson un tercio para escoger diferentes coordenadas según la necesidad.
Se menciona que la calculadora utiliza una técnica de cuadratura Gauss-Legendre para la integración numérica, en lugar del método de Simpson un tercio.
Se sugiere que el método de Simpson un tercio es una herramienta útil para entender y aproximar integrales, aunque no sea el método utilizado en todas las calculadoras.
El transcripto invita a explorar métodos numéricos más complejos como la cuadratura Gauss-Legendre.
Transcripts
posiblemente ubique en su calculadora
una tecla que te permite hacer el
cálculo de integrales definidas ahora lo
que está haciendo de forma interna en
nuestro equipo no es como tal resolver
la integral de manera analítica es decir
no está aplicando el método de
integración por parte es la técnica de
fracciones parciales o sustitución
trigonométricas para luego hacer las
evaluaciones sino que está aproximando
el resultado con un método numérico en
este caso vamos a trabajar dentro de
este vídeo con el método numérico de
simpson un tercio que si bien no es el
que está aplicando en nuestra
calculadora si hace una pequeña
aproximación para que entendamos cómo es
que trabaja el equipo
para ejemplificarlo vamos a trabajar con
la función f x igual a seno de x al
cuadrado recordando que una integral lo
que nos permite conocer es el área que
hay entre una curva y el eje x nosotros
podemos hacer el planteamiento por
ejemplo la siguiente forma
podríamos intentar de resolver de forma
analítica lo que es esta expresión y
podemos intentar los métodos que
nosotros queramos pero lo interesante
aquí es que al final lo que estamos
buscando es un área es decir un número
que representa para este caso
en el área que se va a encerrar dentro
de los límites inferior y superior donde
el área está aquí representada por ese
coloreado azul ahora sí bien del
programa nos está indicando de forma
directa en el resultado de 0.34 92 por
ahora no nos preocupa tanto conocer el
número en concreto lo que nos interesa
es saber cómo es que la calculadora nos
puede dar ese resultado si es que no
realiza la integral de forma analítica
así que empezamos primero vamos a
analizarlo ahora de una de una manera un
poquito más interesante por ahora no te
enfoques en toda la función que está en
naranja
por ahora enfócate en aquellos límites o
aquel contorno que aquella delimitación
de la función que se forma entre estas
dos líneas azules que es decir por ahora
concéntrate
en el pequeño de la pequeña delimitación
entre esta coordenada y esta otra
si nosotros nos concentramos podemos ver
que de aquí hasta acá
se puede asemejar a una parábola
la idea de simpson un tercio es bueno si
yo puedo encontrar una parábola que
tenga más o menos este comportamiento
dentro de este de estos valores yo lo
que puedo hacer es integrar esa parábola
si obtengo el resultado de esa integral
la cual es algo muy sencillo puedo más o
menos aproximar la y decir qué
el resultado un poco semejante al real
que nosotros tendríamos en la función de
resolverla de forma analítica
como vamos a empezar a aplicar el método
de simpson un tercio bueno primero
tenemos aquí la integral que nosotros
queremos resolver la exacta de 1.2 a 1.6
pero ahora vamos a encontrar una
parábola que más o menos se comporte del
mismo modo en que lo hace este pequeño
tramo de la función general para hacerlo
recuerda que una parábola es una función
cuadrática así que vamos a interpolar un
polinomio del segundo grado que se
genere entre estas dos coordenadas para
la interpolación de un polinomio de
segundo grado lo que necesita son tres
puntos en la descripción de este vídeo
te voy a dejar un pequeño repaso de cómo
podemos hacer esa interpolación por
ahora lo que me interesa es necesito
tres puntos solamente por ahora tengo
dos pero vamos a asignar una tercera
coordenada justo en medio que justo
entre 1.2 y 1.6 esa coordenada tendría
el valor de x igual a 1.4 y si nosotros
lo grafica mos estaríamos hablando
de este punto así que ahora lo que
nosotros queremos conocer es la función
de la parábola que pasa a través de
estas tres coordenadas
como lo podemos como la podemos obtener
bueno tenemos aquí nuestra pequeña tabla
x
donde los valores de x son 1.2 y 1.4 y
1.6 1.4 te lo recuerdo es porque lo
tomamos el número que está en medio de
los límites
así que vamos a poner 1.2 1.4 y 1.6
cuáles son los valores de y para poder
completar nuestras coordenadas vamos a
ayudar nos vamos a auxiliarnos un
poquito de la calculadora para hacerlo
de acuerdo
tenemos que la función con la que se
quiere trabajar es el seno
x al cuadrado así que aquí dentro de
nuestra máquina vamos a la opción de
tabla vamos a indicar la función seno de
x al cuadrado
y vamos a indicar bueno no vamos a tener
una segunda función importante debes
tener relaciones e iniciamos en 1.2
terminamos en 1.6 y el paso debe de ser
de 0.2
los valores 0 puntos 99 1492 52 y 54 93
me permitirían completar lo que es mi
pequeña tabla vamos a apuntar los 0
puntos
99 14 61 bueno como eran decimales voy a
volver a revisar la calculadora 92 52
apuntando aquí 0.92 52 no los quiero
equivocar y por último la última
coordenada es 0.54 93
493 con esos tres puntos
yo puedo obtener mi polinomio de segundo
grado
cuál sería el polinomio bueno aplicando
ya sea por ejemplo inter polinomio x
lagrange o por newton o mediante apoyo
mediante la aplicación de un sistema de
ecuaciones el polinomio resultante es yo
aquí te lo voy a escribir lo que sería
el siguiente
fx
igual a menos tres puntos 87 01 x al
cuadrado
+ 9 puntos 73 11
x menos 5.11 29
decimales más decimales menos pero este
polinomio es más o menos el que se
estaría comportando de que estaría
cruzando por estas tres coordenadas
bueno si ese polinomio es la parábola
que se forman aquí por estas tres
coordenadas verdad la parábola que se
forma acá
entonces tiene sentido que pensar que la
integral es decir el área que se genera
a través de esta función debe ser un
poquito semejante a la de la función
original de hecho si nosotros empleamos
la integral del 1.2
a 1.6 de toda esta expresión
suponerle aquí
el resultado sería y vamos a emplear la
calculadora ok
únicamente como verificación para
conocer el resultado
dentro de la calculadora vamos a
utilizar el módulo de una vez que la
integral vamos a poner aquí una integral
definida
para valores de 1.2
hasta 1.6
y la expresión la que te acababa de
escribir a su momento en pantalla - 3.87
0 1
x al cuadrado más 9.73 11 x menos 5.11
29 creo que va a ser resultado 0.34 94
ya no estás te como 0.34 92 es un número
relativamente aproximado aquí obtuvimos
0.34 94 no está como estamos
aproximándonos no de forma muy precisa
no dependiendo de la aplicación que
nosotros queramos obtener pero si
estamos haciendo una aproximación
probablemente aceptable del resultado
que nosotros aquí estábamos buscando de
hecho si nosotros gráfica mos nuestro
polinomio de interpolación quiero que
observes qué es lo que se obtiene
esta última parábola que se está
dibujando es esa interpolación que de
hecho si nosotros no nos enfocamos aquí
un poquito más en acercar nuestra
parábola puedes observar como hay una
pequeña diferencia
una muy pequeña diferencia que
explicaría ese excedente en el resultado
que te mostraba hace algunos segundos
con eso podemos entender que es una
aproximación que si bien la parábola
buena o tal vez no hace precisamente por
todo el contorno que nos interesaba si
hace una buena aproximación al resultado
que queremos obtener ahora el método de
simpson un tercio como tal no se va a
enfocar en hacer interpolación eso sea
que tú tengas que seleccionar los puntos
el punto medio después calcular una
interpolación y después quieras integrar
la interpolación pero si hace algo muy
benéfico primero
una integral que hubiera sido complicada
la forma a la nos permite transformarla
a una integral que aproxima el resultado
pero que solamente es un polinomio la
integral de este polinomio es algo muy
sencillo por ahí vamos a tener un x
cúbico entre 3 una x cuadrada entre 2 y
al final para hacer la evaluación
estaríamos hablando solamente de
potencias y multiplicación es algo
sencillo que podemos hacer lo que hace
el método de simpson un tercio es sabes
que no calculen el polinomio de
interpolación no lo necesitas sino que
lo que vamos a hacer es analizar el
polinomio resultante y delimitar o
encontrar una fórmula que nos permita
ahorrarnos todo este paso el detalle
aquí en simpson
es que observa no tuvimos que tomar
estos valores para delimitar esa
parábola pero si nosotros quisiéramos
cambiar esos puntos por ejemplo de esta
forma ya no sería válida y tendríamos
que encontrar una nueva interpolación
simpson un tercio dice no ocupase
encontrar esta ecuación
es posible encontrar una parábola que se
asemeje dependiendo de cuál sea tu
necesidad por ejemplo observa esta
parábola que yo estoy dibujando aquí en
color verde se está semejando la función
tal vez no se parezca mucho aquí tal vez
no se parezca mucho acá pero si nosotros
nos enfocamos en tratar de trazar cierta
parte de la curva puede que consigamos
el objetivo
simpson un tercio dice puedes escoger
cualquier coordenada que tú quieras yo
como método numérico no te voy a pedir
que hagas la interpolación yo te voy a
dar el resultado de haber hecho la
interpolación eso es lo interesante
dentro de simpson un tercio y lo voy a
dejar para un vídeo posterior para que
entendamos cómo se obtiene la fórmula
ahora al principio del vídeo te
comentaba que la calculadora aplica un
método numérico para encontrar el
resultado de una integral definida en
este caso el modelo con el que yo
trabajo en estos vídeos no está
aplicando el método de xinzo en un
tercio está aplicando una técnica que se
basa en cuadratura gauss jana en este
caso si nosotros entramos al manual de
la calculadora podemos observar aquí que
nos está indicando que se usa el método
de gauss ground de the crow load para la
integración numérica
este método es un caso especial de la
cuadratura gauss jana la cual para
poderlo entender esto es aconsejable
también conocer cómo funciona el método
de simpson un tercio como tal tal vez no
se aplique en su calculadora tal vez no
sea el método que apliquen la mayoría de
programas de cálculo numérico pero si
nos abre la puerta para conocer un
métodos más complejos
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