Simpson 1/3 Deducción de la fórmula 02

MATHei

12 Dec 202014:20

Summary

TLDREl método de Simpson un tercio es una técnica para aproximar integrales definidas, basada en la interpolación de un polinomio de segundo grado. Este método, también conocido como tres octavos, es una derivación de los métodos de Newton-Cotes para aproximación de integrales numéricas. La aproximación se realiza utilizando tres puntos: dos límites (a y b) y un punto medio (a + b)/2. La expresión resultante es una función que aproxima la integral de la función original en el intervalo de interés. El ejemplo práctico mostrado en el script utiliza la función seno al cuadrado y demuestra cómo, mediante esta sencilla fórmula, se puede aproximar una integral numérica con precisión.

Takeaways

📚 El Método de Simpson un Tercio es una variante de los métodos de aproximación de integrales numéricas, derivados de los métodos de Newton-Cotes.
🔢 Este método utiliza un polinomio de segundo grado para interpolar y aproximar la integral definida de una función en un intervalo.
📌 Se requieren tres puntos para el Método de Simpson un Tercio: dos límites (a y b) y el punto medio (m = (a + b) / 2).
📈 La interpolación se realiza mediante un polinomio que puede ser obtenido utilizando técnicas como el polinomio de Newton o el método de Lagrange.
🔍 El polinomio interpolador se representa g(x) = f(a) * (x - m)^2 * (x - a) + f(b) * (x - m) * (x - b) + f(m) * (x - a) * (x - b).
🧩 La integral aproximada por el Método de Simpson un Tercio es la integral de este polinomio interpolador en el intervalo [a, b].
📊 La fórmula para la integral aproximada es: ∫(a a f(x)dx) ≈ (f(a) + 4 * f(m) + f(b)) * (b - a) / 6.
🌐 El Método de Simpson un Tercio es especialmente útil para funciones que son más fáciles de integrar cuando se elevan al cuadrado.
🔑 La precisión del Método de Simpson un Tercio depende en gran medida del grado del polinomio interpolador y la selección de los puntos de interpolación.
📝 Es importante tener en cuenta que el Método de Simpson un Tercio es una aproximación y no una valor exacto de la integral definida.
🔄 Este método puede ser utilizado para aproximar integrales numéricas de funciones polinomiales de grado superior, incrementando el grado del polinomio interpolador.

Q & A

¿Qué es el método de Simpson un tercio?
-El método de Simpson un tercio es una técnica de integración numérica que utiliza un polinomio de segundo grado para aproximar el área bajo una curva. Es parte de los métodos de Newton-Cotes para la aproximación de integrales.
¿Cómo se relaciona el método de Simpson un tercio con otros métodos numéricos?
-El método de Simpson un tercio está relacionado con otros métodos de Newton-Cotes como el método de los trapecios y el método de Simpson tres octavos, los cuales son variaciones que también utilizan polinomios para aproximar integrales.
¿Por qué se utiliza un polinomio para aproximar integrales en el método de Simpson un tercio?
-Se utiliza un polinomio porque puede ser más sencillo de integrar comparado con la función original, que puede ser complicada o incluso imposible de integrar analíticamente.
¿Qué puntos se utilizan en el método de Simpson un tercio para realizar la interpolación?
-En el método de Simpson un tercio, se utilizan tres puntos: los puntos en los límites inferior y superior de la integral y un punto medio. Estos corresponden a las coordenadas a, b y (a+b)/2 respectivamente.
¿Cuál es la fórmula general del método de Simpson un tercio?
-La fórmula general es (b-a)/6 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)], donde 'a' y 'b' son los límites de integración y 'f' es la función a integrar.
¿Cómo se calcula el punto medio en el método de Simpson un tercio y por qué es importante?
-El punto medio se calcula como (a+b)/2. Es crucial porque este punto es necesario para el cálculo de la interpolación de segundo grado, proporcionando un valor adicional de la función que mejora la precisión de la aproximación.
¿Qué representan las variables 'a' y 'b' en el contexto del método de Simpson un tercio?
-En el contexto del método de Simpson un tercio, 'a' y 'b' representan los límites inferior y superior de la integral definida, respectivamente.
¿Por qué se puede considerar que el método de Simpson es más preciso que otros métodos numéricos para integración?
-El método de Simpson un tercio puede ser más preciso que otros métodos, como el de los trapecios, debido a que usa una interpolación de segundo grado que se ajusta mejor a muchas funciones que los polinomios de grado inferior.
¿Cuál es la importancia de evaluar la función en el punto medio en el método de Simpson un tercio?
-Evaluar la función en el punto medio es crucial para aumentar la precisión de la interpolación del polinomio, permitiendo una mejor aproximación del área bajo la curva entre los límites de integración.
¿Cómo se interpreta la constante '1/3' en el nombre del método de Simpson un tercio?
-La constante '1/3' en el nombre del método no se refiere directamente a la fórmula utilizada, sino más bien a una característica histórica y convencional de la nomenclatura de los métodos de integración numérica basados en la interpolación polinomial.

Outlines

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📚 Introducción al Método de Simpson Un Tercio

Este párrafo introduce el Método de Simpson Un Tercio, una técnica matemática para aproximar integrales definidas. Se menciona que es una variante del método de Simpson y se relaciona con el método de trapecios, ambos derivados de los métodos de Newton-Cotes. El texto explica que en vez de intentar integrar un polinomio complicado, se interpola un polinomio más simple y se aproxima la integral de esa forma. Se describe el proceso de interpolación utilizando un polinomio de segundo grado y se definen los límites inferior (a) y superior (b) de la integral, así como el punto medio (m) que se utiliza para la interpolación.

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📈 Desarrollo y Aproximación del Polinomio de Segundo Grado

En este párrafo se detalla el proceso de desarrollo del polinomio de segundo grado necesario para el Método de Simpson Un Tercio. Se discute cómo se puede expandir el polinomio y por qué, aunque puede parecer complicado, sigue siendo fácil de integrar. El texto también describe cómo se aproxima la integral utilizando el polinomio desarrollado, y se menciona que aunque el proceso de integración puede ser extenso, la evaluación final resulta en una expresión mucho más simple. Además, se anticipa que la integral se aproxima mediante una fórmula específica que involucra la evaluación de la función en los puntos de los límites y el punto medio.

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📊 Aplicación del Método de Simpson Un Tercio al Seno Cuadrado

Este párrafo presenta un ejemplo práctico de cómo aplicar el Método de Simpson Un Tercio para aproximar la integral de una función específica: el seno de x al cuadrado, en el intervalo de 1.2 a 1.6. Se describe el proceso de almacenar los valores de los límites en la calculadora, la utilización de la memoria de la calculadora para simplificar los cálculos y cómo se aplica la fórmula del Método de Simpson Un Tercio para obtener un resultado aproximado. El resultado del ejemplo es 0.3494, que se menciona como el valor aproximado de la integral.

Mindmap

Keywords

💡Método de Simpson un tercio

El Método de Simpson un tercio es una técnica numérica para aproximar integrales definidas. Consiste en utilizar un polinomio de segundo grado para interpolar y aproximar la función en un intervalo. En el video, se utiliza este método para aproximar la integral de una función dada entre dos límites. La formula resultante se muestra y se explica cómo se utiliza en el contexto de la aproximación de integrales, siendo un tema central del video.

💡Interpolación

La interpolación es el proceso matemático de estimar los valores de una función en puntos específicos basándose en los valores conocidos de la función. En el video, se menciona que el Método de Simpson un tercio se basa en una polinomio de segundo grado para hacer una interpolación, permitiendo así aproximar áreas bajo la curva de la función, es decir, las integrales.

💡Polinomio de segundo grado

Un polinomio de segundo grado es una expresión matemática que involucra términos con exponentes no mayores a dos. En el contexto del Método de Simpson un tercio, se utiliza un polinomio de segundo grado para interpolar los valores de una función en tres puntos, lo que permite aproximar la integral definida de la función.

💡Límites inferior y superior

Los límites inferior e inferior y superior son los valores que definen el intervalo sobre el cual se calcula una integral. En el video, se menciona la importancia de los límites inferior (a) y superior (b) para aproximar la integral de una función usando el Método de Simpson un tercio.

💡Valores de la función evaluados

En el proceso de aproximación de integrales, se evalúa la función en los puntos específicos que definen los límites y en otros puntos clave. En el video, se habla de evaluar la función en a, b y el punto medio (a + b)/2, que son necesarios para construir el polinomio de segundo grado y aproximar la integral.

💡Método de Newton y Cotes

El Método de Newton y Cotes es una familia de técnicas numéricas para aproximar integrales definidas. Estas técnicas utilizan polinomios para estimar el área bajo la curva de una función. En el video, se menciona que el Método de Simpson un tercio es una variante de los Métodos de Newton y Cotes.

💡Método del trapecio

El Método del trapecio es una técnica numérica para aproximar integrales definidas, basada en la idea de dividir el área debajo de la curva en trazos y aproximarlos como trapecios. En el video, se menciona el Método del trapecio como una técnica relacionada con el Método de Simpson un tercio.

💡Aproximación numérica

La aproximación numérica es el proceso de calcular valores aproximados de una cantidad matemática que no se puede calcular exactamente. En el video, la aproximación numérica es el objetivo principal, ya que se busca estimar el valor de una integral definida usando el Método de Simpson un tercio.

💡Área bajo la curva

El área bajo la curva de una función es el valor que representa la integral definida de la función. En el video, se busca aproximar esta área para una función dada利用 el Método de Simpson un tercio.

💡Simplificación algebraica

La simplificación algebraica es el proceso de reducir una expresión matemática a su forma más simple. En el video, se hace referencia a la simplificación del polinomio de segundo grado resultante del Método de Simpson un tercio para facilitar su integración y aproximación de la integral.

💡Ejemplo práctico

Un ejemplo práctico es una ilustración o aplicación específica de un concepto teórico. En el video, se proporciona un ejemplo práctico donde se utiliza el Método de Simpson un tercio para aproximar la integral de seno(x)^2 en un intervalo específico, lo que ayuda a entender cómo se aplica el método en situaciones concretas.

Highlights

Método de Simpson un tercio para aproximar integrales definidas.

Variante de Simpson un tercio también conocido como tres octavos, derivado de los métodos de Newton y Cotes.

Interpolación de un polinomio de segundo grado en lugar de integrar un polinomio complicado.

El intervalo de integración se representa mediante las variables a (límite inferior) y b (límite superior).

Ubicación de la tercera coordenada en el valor medio, m, de los límites a y b.

Desarrollo del polinomio interpolador de segundo grado utilizando el método de Lagrange.

Aproximación de la integral definida a través de la integral del polinomio interpolador.

Simplificación de la expresión del polinomio de segundo grado para facilitar la integración.

El resultado de la integral evaluada es menor que la complejidad de la expresión aparente.

Explicación detallada de la fórmula de Simpson un tercio y su aplicación.

Ejemplo práctico del método de Simpson un tercio aplicado a la función seno de x al cuadrado.

Uso de la calculadora para simplificar los cálculos en el ejemplo del seno de x al cuadrado.

El resultado aproximado de la integral de 1.2 a 1.6 de seno de x al cuadrado es 0.3494.

La interpolación cuadrática es fundamental para comprender el método de Simpson un tercio.

Consideraciones importantes a tener en cuenta al aplicar la técnica de Simpson un tercio.