Simpson 1/3 Deducción de la fórmula 02

Summary

El método de Simpson un tercio es una técnica para aproximar integrales definidas, basada en la interpolación de un polinomio de segundo grado. Este método, también conocido como tres octavos, es una derivación de los métodos de Newton-Cotes para aproximación de integrales numéricas. La aproximación se realiza utilizando tres puntos: dos límites (a y b) y un punto medio (a + b)/2. La expresión resultante es una función que aproxima la integral de la función original en el intervalo de interés. El ejemplo práctico mostrado en el script utiliza la función seno al cuadrado y demuestra cómo, mediante esta sencilla fórmula, se puede aproximar una integral numérica con precisión.

Takeaways

• 📚 El Método de Simpson un Tercio es una variante de los métodos de aproximación de integrales numéricas, derivados de los métodos de Newton-Cotes.
• 🔢 Este método utiliza un polinomio de segundo grado para interpolar y aproximar la integral definida de una función en un intervalo.
• 📌 Se requieren tres puntos para el Método de Simpson un Tercio: dos límites (a y b) y el punto medio (m = (a + b) / 2).
• 📈 La interpolación se realiza mediante un polinomio que puede ser obtenido utilizando técnicas como el polinomio de Newton o el método de Lagrange.
• 🔍 El polinomio interpolador se representa g(x) = f(a) * (x - m)^2 * (x - a) + f(b) * (x - m) * (x - b) + f(m) * (x - a) * (x - b).
• 🧩 La integral aproximada por el Método de Simpson un Tercio es la integral de este polinomio interpolador en el intervalo [a, b].
• 📊 La fórmula para la integral aproximada es: ∫(a a f(x)dx) ≈ (f(a) + 4 * f(m) + f(b)) * (b - a) / 6.
• 🌐 El Método de Simpson un Tercio es especialmente útil para funciones que son más fáciles de integrar cuando se elevan al cuadrado.
• 🔑 La precisión del Método de Simpson un Tercio depende en gran medida del grado del polinomio interpolador y la selección de los puntos de interpolación.
• 📝 Es importante tener en cuenta que el Método de Simpson un Tercio es una aproximación y no una valor exacto de la integral definida.
• 🔄 Este método puede ser utilizado para aproximar integrales numéricas de funciones polinomiales de grado superior, incrementando el grado del polinomio interpolador.

Q & A

¿Qué es el método de Simpson un tercio?

El método de Simpson un tercio es una técnica de integración numérica que utiliza un polinomio de segundo grado para aproximar el área bajo una curva. Es parte de los métodos de Newton-Cotes para la aproximación de integrales.

¿Cómo se relaciona el método de Simpson un tercio con otros métodos numéricos?

El método de Simpson un tercio está relacionado con otros métodos de Newton-Cotes como el método de los trapecios y el método de Simpson tres octavos, los cuales son variaciones que también utilizan polinomios para aproximar integrales.

¿Por qué se utiliza un polinomio para aproximar integrales en el método de Simpson un tercio?

Se utiliza un polinomio porque puede ser más sencillo de integrar comparado con la función original, que puede ser complicada o incluso imposible de integrar analíticamente.

¿Qué puntos se utilizan en el método de Simpson un tercio para realizar la interpolación?

En el método de Simpson un tercio, se utilizan tres puntos: los puntos en los límites inferior y superior de la integral y un punto medio. Estos corresponden a las coordenadas a, b y (a+b)/2 respectivamente.

¿Cuál es la fórmula general del método de Simpson un tercio?

La fórmula general es (b-a)/6 * [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)], donde 'a' y 'b' son los límites de integración y 'f' es la función a integrar.

¿Cómo se calcula el punto medio en el método de Simpson un tercio y por qué es importante?

El punto medio se calcula como (a+b)/2. Es crucial porque este punto es necesario para el cálculo de la interpolación de segundo grado, proporcionando un valor adicional de la función que mejora la precisión de la aproximación.

¿Qué representan las variables 'a' y 'b' en el contexto del método de Simpson un tercio?

En el contexto del método de Simpson un tercio, 'a' y 'b' representan los límites inferior y superior de la integral definida, respectivamente.

¿Por qué se puede considerar que el método de Simpson es más preciso que otros métodos numéricos para integración?

El método de Simpson un tercio puede ser más preciso que otros métodos, como el de los trapecios, debido a que usa una interpolación de segundo grado que se ajusta mejor a muchas funciones que los polinomios de grado inferior.

¿Cuál es la importancia de evaluar la función en el punto medio en el método de Simpson un tercio?

Evaluar la función en el punto medio es crucial para aumentar la precisión de la interpolación del polinomio, permitiendo una mejor aproximación del área bajo la curva entre los límites de integración.

¿Cómo se interpreta la constante '1/3' en el nombre del método de Simpson un tercio?

La constante '1/3' en el nombre del método no se refiere directamente a la fórmula utilizada, sino más bien a una característica histórica y convencional de la nomenclatura de los métodos de integración numérica basados en la interpolación polinomial.