Clase 11: Problema de péndulo físico con un disco.

Cesar Antonio Izquierdo Merlo

20 Feb 201312:38

Summary

TLDREl guion trata sobre el cálculo del período de un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a una distancia 'l' desde su centro de masa. Se busca el valor de 'l' para lograr un período de 1.7 segundos y el valor de 'l' que minimiza el período. Se discute la fórmula del período para un péndulo físico, incluyendo el momento de inercia respecto al centro de masa y la distancia 'l'. Se resuelven ecuaciones para encontrar los valores de 'l' que satisfacen las condiciones dadas y se calcula el valor de 'l' para el período mínimo.

Takeaways

📏 Se analiza un problema de un péndulo físico con un disco de madera uniforme de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a una distancia \( l \) desde el centro de masa.
⏲️ El objetivo es encontrar los valores de \( l \) para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos, y además determinar \( l \) para que el período sea mínimo.
📐 La fórmula del período para un péndulo físico es \( T = 2\pi \sqrt{\frac{I + ml^2}{mgl}} \), donde \( I \) es el momento de inercia del disco respecto al centro de masa.
🧮 El momento de inercia de un disco respecto a su centro de masa es \( I = \frac{1}{2} m r^2 \), donde \( r \) es el radio del disco (0.5 metros).
📝 El período \( T \) en función de \( l \) se simplifica a \( T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}r^2 + l^2}{gl}} \).
📊 Se describe que la gráfica del período en función de \( l \) tiene un mínimo, y existen dos valores de \( l \) para los cuales el período es 1.7 segundos.
🔎 Para encontrar los valores de \( l \) cuando \( T = 1.7 \) segundos, se resuelve la ecuación cuadrática resultante, obteniendo \( l_1 = 0.30 \) metros y \( l_2 = 0.42 \) metros.
🧮 Para encontrar el valor de \( l \) que minimiza el período, se utiliza la derivada de la expresión del período respecto a \( l \), estableciendo \( \frac{dT}{dl} = 0 \).
📏 El valor de \( l \) que minimiza el período es \( l = \frac{r}{\sqrt{2}} \), lo que resulta en \( l \approx 0.35 \) metros.
🎯 En resumen, los valores de \( l \) para un período de 1.7 segundos son aproximadamente 0.30 y 0.42 metros, y el valor que minimiza el período es aproximadamente 0.35 metros.

Q & A

¿Cuál es el problema 8 mencionado en el guion?
-El problema 8 trata sobre un péndulo físico en forma de disco de madera uniforme de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a cierta distancia 'l' desde su centro de masa, y se busca encontrar la longitud 'l' para que el período sea de 1.7 segundos.
¿Qué es un péndulo físico?
-Un péndulo físico es un objeto que puede oscilar libremente alrededor de un punto fijo, generalmente en un movimiento armónico simple, y se caracteriza por su período, que es el tiempo que toma para completar un ciclo de oscilación.
¿Cómo se relaciona el período de un péndulo con la distancia 'l' desde el clavo al centro de masa?
-El período de un péndulo físico está dado por la fórmula T = 2π√(I/m*l), donde 'I' es el momento de inercia respecto al eje de rotación, 'm' es la masa y 'l' es la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa.
¿Cuál es el momento de inercia 'I' de un disco de radio 'r' respecto al eje que pasa por su centro?
-El momento de inercia 'I' de un disco respecto al eje que pasa por su centro es I = 1/2 * m * r^2.
¿Cómo se calcula el momento de inercia 'I' del disco dado en el guion?
-El momento de inercia 'I' del disco se calcula como 1/2 * m * (0.5)^2, ya que el diámetro es de 1 metro y por lo tanto el radio 'r' es de 0.5 metros.
¿Cuál es la fórmula para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos?
-La fórmula para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos es T = 2π√(I/m*l) = 1.7, y al sustituir I y reorganizar la ecuación, se obtiene una ecuación que se resuelve para encontrar los valores de 'l'.
¿Cuál es la longitud 'l' que hace que el período sea mínimo?
-La longitud 'l' que hace que el período sea mínimo se encuentra cuando la derivada de la fórmula del período con respecto a 'l' es igual a cero, lo que da como resultado l = sqrt(r^2/2).
¿Cuál es el valor de 'l' que se calcula para que el período sea mínimo?
-El valor de 'l' que se calcula para que el período sea mínimo es aproximadamente 0.35 metros, basado en el radio 'r' de 0.5 metros.
¿Cómo se determina si el período de un péndulo es el mínimo?
-Se determina si el período de un péndulo es el mínimo al analizar la derivada de la fórmula del período con respecto a la longitud 'l'. Si la derivada es cero, se alcanza un punto crítico que indica un mínimo local.
¿Cuál es la importancia de conocer el período mínimo de un péndulo?
-El conocimiento del período mínimo de un péndulo es importante en física para comprender las propiedades del movimiento armónico y en aplicaciones prácticas donde se requiere un movimiento oscilatorio regular y predecible.

Outlines

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🔍 Análisis del Péndulo Físico

El primer párrafo aborda el problema de un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro, colgado de un clavo a una distancia 'l' desde su centro de masa. Se busca encontrar el valor de 'l' para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos y, adicionalmente, el valor de 'l' que minimiza el período. Se recuerda que el período de un péndulo físico se calcula como 2π√(I/m*l), donde I es el momento de inercia respecto al eje de giro y m*l es la masa multiplicada por la distancia desde el centro de masa hasta el punto de giro. Se resalta que el momento de inercia de un disco respecto al eje que pasa por su centro de masa y es perpendicular a su plano es 1/2*m*r², donde r es el radio del disco. Se procede a establecer una ecuación para encontrar los valores de 'l' que satisfacen las condiciones dadas.

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📐 Cálculo de Longitudes para Periodo Deseado

El segundo párrafo se enfoca en el cálculo de las longitudes 'l' que hacen que el período del péndulo sea exactamente de 1.7 segundos. Se establece una ecuación basada en la relación entre el período y la longitud del péndulo y se resuelve para encontrar dos posibles valores de 'l', uno mayor y otro menor, que satisfacen esta condición. Se menciona que el radio del disco es de 0.5 metros y se usa esta información para simplificar la ecuación. Se calculan los valores numéricos aproximados para 'l', obteniendo dos longitudes que corresponden a los puntos donde el período es de 1.7 segundos.

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📉 Minimización del Período del Péndulo

El tercer párrafo trata sobre cómo encontrar la longitud 'l' que minimiza el período del péndulo. Se utiliza el conocimiento de cálculo diferencial para encontrar el punto crítico de la función que representa el período del péndulo en función de 'l'. Se calcula la derivada de la ecuación del período respecto a 'l' y se establece la condición de que esta derivada sea cero para encontrar el mínimo. Se resuelve la ecuación resultante para obtener el valor de 'l' que minimiza el período, que se encuentra ser aproximadamente 0.35 metros, basado en el radio del disco.

Mindmap

Keywords

💡Péndulo

Un péndulo es un objeto que oscila alrededor de un punto fijo, generalmente de un cordel o un eje, debido a la acción de la gravedad. En el video, se discute cómo el período de oscilación de un péndulo físico depende de la longitud del cordón o eje desde el cual está suspendido y de la masa del objeto. El péndulo es el objeto principal de estudio en el video.

💡Período

El período de un péndulo se refiere al tiempo que toma para completar un ciclo de oscilación. En el video, se menciona que el objetivo es encontrar la longitud 'l' que haga que el período del péndulo sea de 1.7 segundos. El período es fundamental para entender la dinámica del péndulo.

💡Momento de inercia

El momento de inercia es una medida de la dificultad de acelerar un objeto debido a la rotación. En el video, se utiliza para calcular el período del péndulo, ya que depende del momento de inercia del disco respecto al eje de rotación. Se menciona que el momento de inercia de un disco es 1/2倍 del radio al cuadrado más la masa por la distancia 'l' al cuadrado.

💡Claudio

El claudio es el punto de soporte del péndulo, equivalente al cual se refiere el guionista cuando habla de 'un clavo'. Es desde este punto que se mide la distancia 'l' y donde el péndulo está suspendido. El claudio es crucial para la medición del período del péndulo.

💡Disco

El disco es el objeto que se utiliza como péndulo en el video. Se describe como de madera uniforme con un diámetro de 1 metro. El disco es el sujeto del experimento物理， y su momento de inercia y la longitud del claudio a su centro de masa son factores clave en el cálculo del período.

💡Radio

El radio es la distancia desde el centro del disco hasta su borde. En el video, se menciona que el radio del disco es de 0.5 metros, y se utiliza en la fórmula del momento de inercia y en las ecuaciones para encontrar la longitud 'l' que minimiza el período.

💡Gravedad

La gravedad es la fuerza que causa la atracción hacia la Tierra y que es la causa de la oscilación del péndulo. En el video, la gravedad se representa por 'g' y es necesaria para calcular el período del péndulo.

💡Minimizar

Minimizar se refiere a encontrar el valor que reduce un resultado a su mínimo posible. En el video, se busca minimizar el período del péndulo, lo cual requiere de un cálculo específico de la longitud 'l'. Se menciona que la longitud 'l' que minimiza el período es igual al radio del disco multiplicado por la raíz de 2.

💡Derivada

Una derivada es un concepto matemático que representa la tasa de cambio de una función. En el video, se menciona la necesidad de calcular la derivada de la fórmula del período con respecto a la longitud 'l' para encontrar el punto crítico que minimiza el período.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el video, el período del péndulo se describe como una función de la longitud 'l', y se analiza cómo este período cambia a medida que 'l' varía.

💡Gráfico

Un gráfico es una representación visual de datos o relaciones matemáticas. En el video, se sugiere que el gráfico del período en función de la longitud 'l' muestra un mínimo, lo cual es crucial para entender cómo se comporta el péndulo y para encontrar la longitud que minimiza el período.

Highlights

Se describe un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro y cómo se suspende de un clavo.

Se busca encontrar la distancia 'l' desde el clavo al centro de masa para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos.

Se plantea la necesidad de que el péndulo oscile libremente sin fricción.

Se menciona que el momento de inercia del disco es clave para calcular el período del péndulo.

Se recuerda la fórmula del período de un péndulo físico y cómo se relaciona con el momento de inercia y la masa.

Se indica que el período del péndulo se puede expresar en función de la masa, el radio y la distancia 'l'.

Se establece que el período del péndulo es igual a 2π multiplicado por la raíz cuadrada de una constante que incluye 'l'.

Se discute cómo encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos.

Se resalta la importancia de entender la gráfica del período en relación con 'l' para encontrar los valores correctos.

Se calcula el valor de 'l' para un período de 1.7 segundos usando la fórmula del péndulo.

Se obtienen dos posibles valores de 'l' que satisfacen la condición del período de 1.7 segundos.

Se explica cómo se llega a los valores de 'l' utilizando la relación entre el período y la distancia 'l'.

Se menciona que el radio del disco es de 0.5 metros y cómo se utiliza en los cálculos.

Se resuelve la ecuación para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos.

Se presentan los valores aproximados de 'l' en metros que satisfacen la condición del período.

Se discute cómo determinar la longitud 'l' para que el período del péndulo sea mínimo.

Se utiliza la derivada del período con respecto a 'l' para encontrar el valor de 'l' que minimiza el período.

Se calcula el valor de 'l' que resulta en el período mínimo del péndulo.

Se presenta el resultado final del cálculo para el valor de 'l' que minimiza el período.