Movimiento armónico simple | El péndulo simple

WissenSync

19 Mar 202105:19

Summary

TLDREn este video se explica cómo modelar el movimiento de un péndulo simple considerándolo como un movimiento armónico simple. Se analiza el péndulo compuesto por una cuerda con masa en su extremo y se identifican las fuerzas que actúan sobre él: la tensión radial de la cuerda, el peso del objeto y su componente tangencial. Se establece que la fuerza responsable del movimiento es la componente tangencial, que se mantiene en equilibrio con la tensión radial. A través de la segunda ley de Newton y la aproximación de la distancia curva 's' como 'l * seno(theta)', se llega a la ecuación diferencial que describe el movimiento del péndulo. Al considerar ángulos pequeños, se simplifica la ecuación para modelar el movimiento del péndulo como armónico simple, donde el ángulo es proporcional al coseno del ángulo de frecuencia 'omega', que se relaciona con la longitud del péndulo y la gravedad.

Takeaways

📚 El video trata sobre cómo modelar el movimiento de un péndulo simple como un movimiento armónico simple.
🌟 Se considera un péndulo compuesto por una cuerda con masa en un extremo y una longitud \( l \), donde la masa de la cuerda es despreciable.
📐 El ángulo que forma la cuerda con la vertical se denota como \( \theta \).
🧲 Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son la tensión radial, el peso de la masa y su componente tangencial.
⚖️ La fuerza de tensión radial y la componente radial del peso están en equilibrio, dejando la componente tangencial como la responsable del movimiento.
📉 Según la segunda ley de Newton, la aceleración es igual a la fuerza dividida por la masa, y la fuerza es la masa por la gravedad por el seno de \( \theta \).
🔄 La posición del péndulo se describe como una distancia curva \( s \), y la aceleración es la segunda derivada de \( s \) con respecto al tiempo.
📐 Para ángulos pequeños, se puede aproximar \( \sin(\theta) \approx \theta \), lo que simplifica las ecuaciones del movimiento.
🔗 La segunda derivada de la posición angular con respecto al tiempo es proporcional a \( -\theta \), lo que es similar a la ecuación de un sistema masa-resorte.
🌀 El ángulo del péndulo se puede modelar como un movimiento armónico simple, donde el ángulo es igual al ángulo máximo por el coseno de la frecuencia angular \( \omega \).
📉 La frecuencia angular \( \omega \) para un péndulo simple se puede calcular como \( \sqrt{\frac{g}{L}} \), donde \( g \) es la gravedad y \( L \) es la longitud del péndulo.

Q & A

¿Qué es un péndulo simple y cómo se modela su movimiento en el video?
-Un péndulo simple es un sistema físico compuesto por una masa conectada a un extremo de una cuerda de masa despreciable y longitud fija 'l'. Su movimiento se modela como un movimiento armónico simple, lo cual se aproxima cuando el ángulo de desplazamiento 'theta' es pequeño.
¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple durante su movimiento?
-Las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple son la fuerza de tensión de la cuerda, que es radial y apuntando hacia el centro, y el peso de la masa, que se descompone en dos componentes: una tangencial y otra radial.
¿Cómo se relaciona la tensión de la cuerda con el movimiento del péndulo?
-La tensión de la cuerda es radial y apuntando hacia el centro del movimiento circular que tendría la masa si no tuviera en cuenta la gravedad. Esta tensión no es la fuerza responsable del movimiento del péndulo, sino que se equilibra con la componente radial del peso de la masa.
¿Cuál es la componente de la fuerza de gravedad que causa el movimiento del péndulo?
-La componente de la fuerza de gravedad que causa el movimiento del péndulo es la componente tangencial, que es perpendicular a la tensión de la cuerda y tiene un valor de 'masa por gravedad por seno de theta'.
¿Cómo se define la posición inicial del péndulo en el video?
-La posición inicial del péndulo se define como ligeramente desplazado hacia la izquierda de su estado de reposo, lo cual se llama 'a' y es la distancia curva que recorre la masa en ese punto inicial.
Según la segunda ley de Newton, ¿qué relación existe entre la fuerza y la aceleración del péndulo?
-Según la segunda ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. En el caso del péndulo, la fuerza es la componente tangencial de la gravedad, y la aceleración es proporcional a esta fuerza con signo negativo.
¿Cómo se relaciona la aceleración del péndulo con su posición?
-La aceleración del péndulo está relacionada con su posición a través de la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, que es igual a menos g (la aceleración debido a la gravedad) por el seno de theta.
¿Cómo se aproxima el seno de theta en el caso de ángulos pequeños en el video?
-Cuando el ángulo theta es pequeño, se puede aproximar el seno de theta por el ángulo theta mismo. Esta aproximación se utiliza para simplificar las ecuaciones y modelar el movimiento del péndulo como armónico simple.
¿Cuál es la relación entre la longitud del péndulo 'l' y el ángulo 'theta' en el contexto de la aproximación del seno?
-La relación entre la longitud del péndulo 'l' y el ángulo 'theta' es que la distancia efe (la distancia que recorre la masa) es igual a 'l' multiplicado por el seno de theta, y para ángulos pequeños, esto se aproxima a 'l' multiplicado por theta.
¿Cómo se relaciona el movimiento del péndulo simple con el movimiento armónico simple en el video?
-El movimiento del péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple porque, en la aproximación donde los ángulos son pequeños y sene de theta se reemplaza por theta, la segunda derivada de la posición angular con respecto al tiempo es proporcional al ángulo con signo negativo, lo cual es una característica del movimiento armónico simple.
¿Cómo se define la frecuencia angular 'omega' del péndulo simple en el video?
-La frecuencia angular 'omega' del péndulo simple se define como la raíz cuadrada de la aceleración debido a la gravedad 'g' dividida por la longitud del péndulo 'l', es decir, 'omega' igual a sqrt(g/l).
¿Cómo se describe el ángulo del péndulo en términos del movimiento armónico simple en el video?
-El ángulo del péndulo se describe como el valor máximo de ángulo (amplitud) multiplicado por el coseno de la frecuencia angular 'omega' t, donde 't' es el tiempo y 'omega' es la frecuencia angular del péndulo.

Outlines

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📚 Introducción al movimiento del péndulo

El primer párrafo introduce el tema del video, que es el modelado del movimiento de un péndulo como un movimiento armónico simple. Se describe que el péndulo consiste en una cuerda con una masa en su extremo y que la masa de la cuerda es despreciable. Se menciona que el ángulo formado con la vertical se denotará por theta (teta) y se analizarán las fuerzas que actúan sobre el péndulo: la tensión radial de la cuerda, el peso de la masa y su descomposición en componentes paralela y perpendicular a la tensión. La fuerza tangencial es la responsable del movimiento y se establece que esta es igual a la masa por la gravedad por el seno de teta. El video comienza con el péndulo en una posición ligeramente desplazada de su estado de reposo y se observa cómo se comporta la fuerza a lo largo del movimiento.

🔍 Análisis de la fuerza y la aceleración del péndulo

Este párrafo se enfoca en el análisis de la fuerza y la aceleración que rigen el movimiento del péndulo. Se describe que la fuerza que impulsa el movimiento es la componente tangencial de la gravedad, que es igual a la masa por la gravedad por el seno de teta. Se establece que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, y se relaciona con la fuerza a través de la segunda ley de Newton. Se simplifica la ecuación utilizando la aproximación de que la distancia desplazada (s) es igual a la longitud del péndulo (l) multiplicada por el seno de teta, lo que lleva a una ecuación donde la segunda derivada de s es igual a menos g por el seno de teta.

📐 Aproximación del movimiento del péndulo

En este segmento, se discute cómo se puede aproximar el movimiento del péndulo cuando los ángulos son pequeños, permitiendo así modelar el péndulo como un movimiento armónico simple. Se utiliza la aproximación de que el seno de un ángulo pequeño es igual al ángulo en radianes, lo que simplifica la ecuación a una forma donde la segunda derivada del ángulo con respecto al tiempo es proporcional al ángulo mismo, pero con signo negativo. Se compara este resultado con el movimiento armónico simple de una masa y un resorte, donde la posición es proporcional a la amplitud y al coseno del ángulo de frecuencia angular (omega). Se concluye que si el ángulo de movimiento es pequeño, el movimiento del péndulo puede ser considerado como armónico simple, con la frecuencia angular omega igual a la raíz cuadrada de la relación entre la gravedad y la longitud del péndulo.

Mindmap

Keywords

💡Péndulo

Un péndulo es un sistema físico compuesto por un objeto (con masa) colgado de un soporte mediante una cuerda o una barra. En el video, se estudia el movimiento de un péndulo simple, que es un sistema fundamental en la física para entender el movimiento armónico.

💡Movimiento armónico simple

Es un tipo de movimiento periódico que ocurre en un sistema donde las fuerzas restauradoras son proporcionales a la desviación de la posición de equilibrio y actúan en la dirección opuesta a la desviación. En el video, se compara el movimiento de un péndulo con este tipo de movimiento.

💡Cuerda de masa despreciable

Se refiere a una cuerda que se utiliza para suspender el péndulo y que, para efectos de los cálculos, se considera con masa insignificante en comparación con la masa del objeto que tiene al final. Esto simplifica los cálculos al no tener que considerar la masa de la cuerda.

💡Longitud l

Es la medida de la cuerda del péndulo desde su punto de sujeción hasta el centro de masas del objeto que tiene al final. La longitud l es crucial para determinar la frecuencia natural del péndulo y su movimiento.

💡Ángulo teta (θ)

El ángulo que forma la cuerda del péndulo con la vertical cuando el péndulo está desplazado de su posición de equilibrio. En el video, theta se utiliza para describir la posición del péndulo en cualquier momento durante su movimiento.

💡Fuerza de tensión

Es la fuerza que actúa en la cuerda del péndulo en dirección radial, es decir, apuntando hacia el centro del arco que forma la cuerda. Esta fuerza es clave para el equilibrio radial del péndulo.

💡Peso del objeto

Es la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto colgado en el péndulo. Se descompone en dos componentes en el video: una radial y una tangencial, siendo la segunda la responsable del movimiento del péndulo.

💡Segunda ley de Newton

La ley de Newton que establece que la suma de las fuerzas actuando sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. En el video, se utiliza para relacionar las fuerzas que actúan sobre el péndulo con su movimiento.

💡Aceleración

Es la cantidad que describe la tasa de cambio de la velocidad de un objeto. En el contexto del video, la aceleración es resultado de las fuerzas actuando sobre el péndulo y se relaciona con su movimiento.

💡Posición

Referencia a la distancia que recorre la masa del péndulo desde su posición de equilibrio. En el video, la posición se describe como una distancia curva 's', que es función del ángulo theta.

💡Frecuencia angular (ω)

Es la frecuencia con la que un objeto oscila o vibra en un movimiento circular o en un movimiento armónico simple. En el video, omega se relaciona con la longitud del péndulo y la gravedad para determinar el movimiento armónico del péndulo.

💡Aproximación del seno

Se utiliza cuando el ángulo theta es pequeño para simplificar los cálculos, a partir de la idea de que el seno del ángulo es aproximadamente igual al ángulo en radianes. En el video, esta aproximación permite modelar el movimiento del péndulo como armónico simple.

Highlights

El video explica cómo modelar el movimiento de un péndulo simple.

Se considera un péndulo compuesto por una cuerda con masa en un extremo y una longitud l.

La cuerda tiene masa despreciable y forma un ángulo teta con la vertical durante el movimiento.

Las fuerzas en el sistema incluyen tensión radial, peso y componentes tangenciales del peso.

La fuerza tensión radial está en equilibrio con la fuerza radial del peso.

La fuerza tangencial del peso es responsable del movimiento del péndulo.

La aceleración del objeto es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza aplicada.

La segunda ley de Newton se aplica para describir la relación entre fuerza y aceleración.

La posición del péndulo se describe como una distancia curva s.

La aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo.

La ecuación de movimiento del péndulo es la segunda derivada de s igual a menos g por seno de teta.

Se utiliza la aproximación de que el seno de un ángulo pequeño es igual al ángulo en radianes.

El movimiento del péndulo se modela como armónico simple para ángulos pequeños.

La ecuación diferencial del movimiento es similar a la del sistema masa-resorte.

El ángulo del péndulo se expresa como el valor máximo del ángulo por el coseno de la frecuencia angular.

La frecuencia angular omega se relaciona con la gravedad y la longitud del péndulo.

El movimiento del péndulo simple se puede modelar como armónico simple bajo ciertas condiciones.