Concepto intuitivo de límite
Summary
TLDREl guión explica el concepto intuitivo de Límite en matemáticas, que describe el comportamiento de una función cuando la variable independiente 'x' se acerca a un valor dado sin llegar a serlo. Se menciona que una función se compone de una variable independiente y su resultado, y se puede graficar en un plano bidimensional. Se introduce la notación del límite y se explica cómo se comporta la función cuando 'x' se acerca a un valor específico 'c'. Se discuten los conceptos de 'delta' y 'epsilon', y se enfatiza la importancia de entender que los límites no siempre tienen una solución clara, como se demuestra con ejemplos gráficos y numéricos.
Takeaways
- 😀 Un límite es un concepto intuitivo que describe el comportamiento de una función cuando se acerca a un valor dado en x, pero nunca llega a ser ese valor.
- 📚 Una función se define por una variable independiente (x) y una dependiente (f(x)), donde la variable independiente se asigna valores y la función produce un resultado.
- 📈 Para entender una función, se pueden crear tablas de valores y graficar los pares ordenados en un plano de dos dimensiones.
- 🔍 La notación de un límite se escribe como 'lim' seguido de la variable independiente x que 'tiende' a un valor específico (c), y el resultado (l) al que se acerca.
- 📍 Al aplicar límites, se considera cómo se comporta la función cuando x se acerca a un número de referencia (c), sin llegar a ser ese número.
- 🔢 Se pueden acercar al valor de referencia (c) tomando valores cercanos por la izquierda o por la derecha, lo que se refleja gráficamente en la aproximación vertical al valor l.
- 📏 La diferencia entre el valor de x elegido y el límite (c) se mide en valores absolutos y es crucial para entender la aproximación al límite.
- 🔄 Los límites pueden no existir en puntos específicos, como se muestra en el ejemplo donde, al acercarse a un punto, la función no tiene un valor definido en ese punto.
- 📉 A veces, los límites no tienen solución o el comportamiento de la función no es el esperado, lo que se puede indicar con un signo de pregunta en la gráfica.
- 🔍 Para calcular límites, se pueden tomar valores de x que se acerquen a un número dado y observar a qué valor tiende la función, lo que se demuestra con ejemplos numéricos en la transcripción.
Q & A
¿Qué es un límite en matemáticas y cómo se relaciona con una función?
-Un límite es el comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor dado, pero nunca llega a ser ese valor. Se relaciona con una función porque describe cómo la función se comporta cerca de un punto específico, sin necesariamente evaluar la función en ese punto.
¿Qué son los elementos importantes en una función?
-Los elementos importantes en una función son la variable independiente (generalmente x), la variable dependiente (a menudo denotada como f(x) o y), y la relación que se establece entre ellas a través de una ecuación.
¿Cómo se representa gráficamente una función y sus parejas ordenadas?
-Una función se representa gráficamente en un plano de dos dimensiones donde el eje vertical representa la variable dependiente (f(x) o y) y el eje horizontal representa la variable independiente (x). Las parejas ordenadas se grafican como puntos en este plano.
¿Qué significa 'x tiende a un valor c' en el contexto de los límites?
-Cuando decimos que 'x tiende a un valor c', nos referimos a que la variable independiente x se acerca arbitrariamente cercano al valor c, pero nunca llega a ser igual a c.
¿Cuáles son los tres elementos importantes en la notación de un límite?
-Los tres elementos importantes en la notación de un límite son la función, la variable independiente que se acerca a un valor específico (c), y el valor hacia donde tiende el resultado de la función (l).
¿Qué es la diferencia entre acercarse a un valor por la izquierda y por la derecha en el contexto de los límites?
-Al acercarse a un valor por la izquierda se toma valores de x menores que el valor de referencia c, mientras que al acercarse por la derecha se toman valores mayores. Esto afecta cómo se comporta la función en los límites.
¿Qué es la diferencia 'δ' y 'ε' en el contexto de los límites?
-La diferencia 'δ' (delta) se refiere a la diferencia entre el valor de x y el valor de referencia c, mientras que 'ε' (epsilon) se refiere a la diferencia entre el valor de la función y el límite l. Estos conceptos ayudan a definir la precisión con la que se acerca x a c y el resultado de la función a l.
¿Qué significa que un límite no tenga solución en un punto específico?
-Significa que, a pesar de que la variable independiente se acerca al valor de referencia, el comportamiento de la función en ese punto no se puede predecir de manera consistente, o el límite no existe porque la función no converge a un único valor.
¿Cómo se determina el límite de una función cuando x se acerca a un valor específico?
-Para determinar el límite de una función cuando x se acerca a un valor específico, se evalúa cómo se comporta la función para valores de x que se acerquen a ese valor, tanto por la izquierda como por la derecha, y se busca un valor l al que converge el resultado de la función.
¿Por qué es importante entender los límites en matemáticas?
-Los límites son fundamentales en matemáticas porque permiten describir el comportamiento de funciones en puntos donde no se puede evaluar directamente, como en puntos de discontinuidad o en los extremos de un dominio. También son esenciales en áreas como el cálculo y el análisis matemático.
Outlines
📚 Concepto Intuitivo de Límite
Este párrafo introduce el concepto de límite en matemáticas, explicando cómo se comporta una función cuando la variable independiente 'x' se acerca a un valor dado, pero nunca llega a ser exactamente ese valor. Se menciona que una función se escribe generalmente como 'f(x)' y se compone de una variable independiente 'x' y un resultado 'f(x)'. Se describe el proceso de crear una tabla de valores y cómo estos pueden ser graficados en un plano bidimensional. Además, se introduce la notación del límite y se explica que el objetivo es determinar el comportamiento de la función a medida que 'x' se acerca a un valor específico, representado como 'c'.
🔍 Análisis del Comportamiento de la Función
En este párrafo se profundiza en el análisis del comportamiento de una función cuando 'x' se acerca a un valor 'c'. Se discute cómo se toman valores cercanos a 'c', tanto por la izquierda como por la derecha, y cómo estos valores afectan el resultado vertical 'l'. Se introduce la noción de diferencia entre el valor elegido y el límite, representada como 'x - c', y cómo esta diferencia se mide en términos de magnitud sin considerar el signo. Se menciona el concepto de 'delta' y 'epsilon', que son las diferencias horizontales y verticales respectivamente, y se enfatiza la importancia de entender que los límites no siempre tienen una solución clara, como en el caso de un vacío en el gráfico.
📈 Determinación del Límite de una Función
Este párrafo explica el proceso de determinar el límite de una función cuando 'x' tiende a un valor específico. Se utiliza un ejemplo práctico donde se calcula el límite de la función '3x + 5' cuando 'x' se acerca a 2. Se muestra cómo sustituir valores cercanos a 2 en la función y observar cómo el resultado se acerca al límite. Se destaca la consistencia del límite al analizar tanto por la izquierda como por la derecha, y se concluye que el límite de la función es 11, independientemente del enfoque utilizado.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Función
💡Variable Independiente
💡Gráfica
💡Parejas Ordenadas
💡Tiene que Llegar
💡Cercano
💡Diferencia
💡Epsilon y Delta
💡Acercar por la Izquierda/Derecha
Highlights
Explicación del concepto intuitivo de Límite en matemáticas.
Definición de una función y su representación gráfica en un plano de dos dimensiones.
Importancia de la variable independiente 'x' y su relación con el resultado 'f(x)'.
Método de creación de una tabla para representar las parejas ordenadas de una función.
Descripción de cómo se comporta una función cuando se acerca a un valor dado en 'x'.
Introducción a la notación del límite y su significado en el contexto de una función.
Explicación de la diferencia entre acercarse a un valor y alcanzar dicho valor en el límite.
Importancia de la diferencia entre el valor de 'x' y el límite 'c' en el análisis de límites.
Concepto de Delta y Epsilon en el cálculo de límites.
Historia del concepto de límites y su relevancia en matemáticas.
Método práctico para calcular límites a través de la creación de tablas de valores.
Ejemplo de cómo se calcula el límite de una función cuando 'x' tiende a un número específico.
Observación de que los límites pueden no existir en ciertos puntos debido a la naturaleza de la función.
Discusión sobre la consistencia del límite al acercarse por la izquierda y por la derecha.
Importancia de entender que los límites son un concepto teórico y no siempre se pueden resolver algebraicamente.
Recomendación de recursos adicionales para aprender más sobre el cálculo de límites.
Transcripts
concepto intuitivo de Límite el límite
de una función te escribe su
comportamiento cuando se acerca un valor
dado en x pero nunca llega a ser este
valor Así que antes de explicar el
concepto de Límite tenemos que recordar
que es una función y una función Por lo
general la escribimos como f dex o a
veces con alguna letra como y y
elementos importantes en una función es
x que es la variable independiente es
decir que tú le asignas los valores y
dependiendo al valor que le asignas a la
función vas a realizar operaciones y te
va a salir un resultado que va a ser el
F dex ahí está la pareja Por lo general
cuando está en una ecuación que ya es
una función supongamos esta FX = 3x + 5
por ejemplo Okay entonces aquí está la
variable independiente y Dependiendo el
valor que le pongas aquí haces la
operación y te sale un valor FX hasta
podemos hacer una tabla o lo que le
llaman una tabula asignas valores para x
y le corresponde un valor en F dex Okay
son los dos elementos importantes de una
función una vez que ya tenemos los
elementos aquí en la tabla hasta los
podemos graficar como son pares
ordenados podemos graficarlo aquí en un
plano de dos dimensiones Aquí está f dex
en el vertical y en el horizontal x para
este caso ya ustedes pueden proponerle
mínimo dos valores y les va a salir una
gráfica así en pocas palabras dado una
función recordemos que genera pares
ordenados dependiendo a a la variable x
o la independiente le asignas valores y
te debe corresponder uno para su pareja
en fdx Okay ya teniendo parejas
acomodándolos en una tabla hasta
podríamos graficarla vamos a suponer que
me salió este dibujo bueno esta gráfica
perdón y obviamente esta gráfica está
compuesto de puros puntitos que cada uno
se puede representar con una pareja en x
y otra en y por ejemplo este punto tiene
su pareja aquí y otro acá y cada uno
tiene su pareja en x y aquí en fdx o y
una vez es que ya explicamos que una
función está compuesto de una variable
independiente que es x y su resultado
que lo llamamos F dex Ah y bueno también
genera una gráfica ya podemos explicar
que qué le pasa a una función cuando le
aplicas límite para un valor dado en x
así que bueno vamos a utilizar esta
notación que le vas a poner al principio
la función límite cuando x que es la
variable independiente quiere llegar a
ser o tiende Aquí vamos a utilizar esta
palabra
tiende y entendamos tiende
nunca va a ser ese valor te le puedes
acercar pero nunca va a ser ese valor
Okay va a ser supongamos un valor
c y todo este resultado me tiene que la
altura tiene que llegar a un valor l
Recuerden que la vertical o altura como
mencioné son los valores de F dex Así
que hay tres elementos importantes en la
notación de un límite obviamente la
función que es una ecuación en la parte
del límite que aquí nos dice X Hacia
dónde quiere llegar a ser y hacia donde
el resultado tiene que llegar entonces
cuando aplicamos el límite a una función
cuando x tiende a un número c vamos a
suponer que aquí está c entonces
significa que dentro de la recta x
estamos tomando de referencia un número
c que no vamos a poder tomar Así que
para saber cómo se comporta la función
que eso es la intención de aplicar un
límite saber Hacia dónde van los valores
de una función en cuanto x se va
acercando a un número de referencia que
en este caso es c
Así que okay Para como no puedo tomar c
lo único que puedo es tomar valores
cercanos a él Así que por ejemplo puedes
acercarte con valores de x y lo más que
quieras a c pero no puede ser c se dice
que te estás acercando por la izquierda
cuando tomas valores de este lado o te
puedes acercar por la derecha obviamente
aquí gráficamente Yo sé que c está ahí y
le va a corresponder un cierto valor en
la vertical que se le llama cuando
evalúas la función en c o simplemente lo
nombramos como
l
Okay Okay Como se dan cuenta entre más
te acerques aquí eh horizontalmente Te
vas a acercar más verticalmente al valor
este l que no conocemos queremos ver
cuál ese valor Okay otro concepto
importante límite Bueno ya te acercas te
acercas pero siempre esta diferencia se
nombra de una manera y esto lo pueden
ver en algunos libros vamos a suponer
que tú eliges un valor aquí Entonces
como se dan cuenta existe una diferencia
o un espacio entre el valor que elegiste
y el valor de X = a c a esta diferencia
la podemos encontrar haciendo la
diferencia entre el valor de X y el
límite así se escribe se pone en valor
absoluto porque no nos interesa el signo
solamente la magnitud por ejemplo bueno
para saber utilizar esta ecuación que
está ahí vamos a poner que aquí está la
referencia cer0 y vamos a suponer que c
vale 5 Okay entonces aquí en la ecuación
esta de valor absoluto sería x = -5 y
quién es x cualquier valor que tome en
la horizontal puede ser tanto buen es es
el eje en x puedo tomarlo de este lado
de este lado vamos a poner un cu que
esté por aquí no Así que cuál obviamente
yo sé que la diferencia entre el 4at y
el 5 es un uno o sea los está separando
un uno pero aquí hay que sustituir Miren
sustituimos el 4 4 - 5 me da -1 Pero por
eso hay valor absoluto ya que no me
interesa el signo sino la Mag magnitud
es uno Okay entonces con esta ecuación
podemos saber la diferencia dependiendo
del valor de X y el Hacia dónde tiende
x Okay y bueno también se puede hacer
por este lado también y mientras más te
acerques también va a existir una
diferencia en la vertical a esta
diferencia un Dependiendo el valor
chiquito que le pongas va a ser lo
chiquito que te estás acercando va a ser
la diferencia entre la función y hacia
donde tiende el límite que que le
llamamos
l obviamente estos valores no pueden ser
cero porque cero significaría Que
estarías encima del del valor c siempre
te vas a vas a estar alejado aunque sea
una distancia muy pequeña por eso esto
siempre es mayor que cer0 y obviamente
esto también va a ser mayor que cero
Porque si hay una diferencia acá también
la va a ha ver Okay de hecho estos
números o estas diferencias chiquititas
acercadas hacia hacia hacia donde tiende
x y hacia donde hacia donde tiende el
límite les llama en unos libros a esta
le llaman Delta Y a esta le llaman
épsilon okay Bueno ya más formalmente
así los pueden encontrar en los libros
lo mencionó estos conceptos Bueno hay la
historia cauchi por
1821 y bueno ya si ustedes si quieren
eh realizar más ejercicios con límites
Les recomiendo esta forma pero
básicamente el concepto es entre más te
acerques a c más te vas a acercar a un
valor que le estamos llamando el hay que
tener en cuenta que los límites existen
casos que no se pueden resolver así que
por ejemplo aquí tenemos igual la
función que para una x = a c y Queremos
saber su límite cces aquí tenemos la
Gráfica y aquí dice bueno para x que
quiere que tiende a C O sea que aquí
ponemos la Barrera en C igual te le vas
a ir acercando acercando acercando
acercando y cuando Bueno ya saben que
cuando te la acercas le correspondería
esta por ejemplo esta pareja en la
vertical te la acercas por acá le
tocaría otra pareja Pero qué pasa si te
estás acercando a c y resulta que no hay
nada aquí le puse un hueco ent Te estás
dando cuenta que llegas llegas llegas y
Qué pasaría si llegas ahí no hay nada no
hay límite en ese punto en específico y
bueno cuál es la respuesta Bueno aquí
tendríamos que averiguar o por lo menos
decir bueno Quería llegar a esto pero
hay que tener en cuenta que a veces en
ese punto No se puede resolver esa
ecuación o la función puede ser que ibas
tú acercándote acercándote acercándote y
cuando elado Aparentemente tú dirías
aquí tiene que haber algo porque por ahí
va la Así va el efecto o el
comportamiento de la Gráfica resulta que
en este espacio el resultado se puso acá
en un lugar inesperado Aquí está pues a
veces los resultados no no salen lo que
uno espera no crean que si tú dices
sigues un comportamiento Y dices ahí va
a estar bueno entonces hay que tener en
cuenta que a veces los límites no van a
tener solución le vamos a poner un signo
de pregunta que no no vamos a saber qué
ponerle ahí en conclusión a Sí vamos a
utilizar límite donde x tiende un valor
y obviamente entre más cercano sea x a
ese valor te vas a dar cuenta que el
comportamiento va a llegar a un valor
que le nombramos aquí l va pero es el
que andamos buscando Así que entre más
te acerques en x ya vas a poder observar
hacia Qué valor tiende el límite por
ejemplo aquí tenemos una función donde x
tiende a 2 por definición tenemos que
analizar esta función para valores que
se acerquen a dos no puede ser dos así
que bueno uno 1.5 1.9 1.99
1.9999 okay Bueno entonces vamos a
sustituir rápidamente aquí ponemos la
función 3 * x que x pues va va a ir
cambiando + 5 Okay Qué valor toma la
función cuando x vale 1 aquí le ponemos
1 1 * 3 3 + 5 es un 8 o aquí le ponemos
el 8 y luego para 1.5 1.5 * 3 da 3 45 +
5
9.5 y luego 1.9 eh Bueno aquí está más
difícil 1.9 * 3 es 27 llevo 2 3 5.7 + 5
es
10.7 y Lu aquí 99 Pues sería 3 * 3 7
llevo 2 3 7 27 2 29 y dos sería sería
así n más básicamente es la misma nada
más que 97 aquí con tres Bueno no más se
va a recorrer va a salir esto
10.
97 okay Bueno ustedes ya lo hacen con
más calma yo lo hice
rápido Okay entonces observamos aquí que
x se va acercando a dos y el resultado o
F dex está llegando o quiere ser 11 de
hecho si se dan cuenta si sustituyes dos
aquí te da 6 + 5 da 11 Okay entonces esa
es la idea y así obtendríamos el límite
de esta función quiere llegar a ser 11
Okay entonces no es 11 quiere llegar a
ser 11 y básicamente Este es el concepto
de de Límite simplemente ya más adelante
explicaremos otros métodos para no tener
que hacer esta tabla si ustedes en
cualquier función hicieran esta tabla
analizándolo el límite no se tienen que
aprender ningún eh procedimiento
algebraico nada obviamente pues está más
difícil hacer todo esto pero con esto
sale Y obviamente también pueden hacer
el análisis de esta función para una x
que se acerque como aquí me acerqué si
ustedes ven la recta numérica Aquí está
el dos yo tomé valores desde el uno y me
fui acercando por acá Así que fui
tomando valores eh por por la izquierda
del dos pero también puedo tomar valores
por la derecha y hacer la tabla y
también debe tender a 11 el límite puedo
tomar empezar con el 3 y Lu 2.5 y lo 2.1
2.001 y llenar la misma tabla no se que
da lo mismo lo analizan por la izquierda
por la derecha Debe llegar al mismo
Límite
5.0 / 5 (0 votes)