✅DEFINICIÓN de LIMITE [𝙁á𝙘𝙞𝙡 𝙮 𝙨𝙞𝙢𝙥𝙡𝙚💪🏻💯😎] Cálculo Diferencial

Summary

Este video ofrece una definición intuitiva del límite en cálculo, explicando cómo se aproxima una función a un valor específico cuando su variable se acerca a un número dado. Se ilustra con el ejemplo de la función f(x) = x^2 - 9 / (x - 3), evaluando su límite cuando x se acerca a 3. Se muestra cómo, al calcular el valor de f(x) para x cercano a 3 tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a un límite de 6. Además, se menciona la importancia de comprobar ambos lados para determinar si un límite existe, y se ejemplifica con casos donde el límite no se cumple debido a diferencias en ambos extremos.

Takeaways

• 📚 El video enseña la definición intuitiva del límite, no una definición formal, para entender el concepto antes de profundizar en temas más avanzados del cálculo.
• 🎯 La intuición detrás del límite es imaginar un valor que se acerca a otro, donde la función tiende a un número específico, llamado 'l'.
• 👉 El límite se lee como 'el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número a, es igual a l', y se representa gráficamente por la aproximación de x a a.
• 📉 La técnica para encontrar límites implica aproximar un valor 'a' desde el lado izquierdo ('a-') y desde el lado derecho ('a+'), y comparar ambos.
• 📈 Se utiliza un ejemplo práctico para ilustrar cómo se reduce el límite a partir de una tabla de datos, evaluando la función \( f(x) = x^2 - 9 \) cuando \( x \) se aproxima a 3.
• ❗ Se menciona que hay valores de x que no están en el dominio de la función, como en el caso de \( x = 3 \) para la función mencionada, pero se pueden evaluar límites aproximados.
• 📝 Al construir una tabla de valores, se observa cómo la función se acerca a un valor específico cuando \( x \) se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha.
• 📊 A través de la gráfica, se puede visualizar cómo el límite se aproxima a un valor, a pesar de que la función no esté definida en el punto exacto.
• 🔍 Para encontrar límites, se evalúan tanto la aproximación por la izquierda como por la derecha, y se comparan para determinar si el límite existe y su valor.
• 🚫 Si los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, entonces se dice que el límite no existe para esa aproximación de x.

Q & A

¿Qué es la definición intuitiva del límite en el contexto del cálculo diferencial?

La definición intuitiva del límite es una forma de entender la técnica de límites sin una definición formal. Se trata de imaginar un valor que se acerca a otro valor específico, y observar cómo una función se aproxima a un número determinado cuando su variable se acerca a un valor particular.

¿Cómo se lee la notación del límite cuando x se aproxima a un número?

La notación del límite se lee como 'el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número, f(x) tiende a un solo número', donde ese número es el límite.

¿Qué significa aproximarse a un valor por la izquierda y por la derecha en el contexto de límites?

Aproximarse a un valor por la izquierda significa tomar valores de x menores que el valor de referencia, mientras que aproximarse por la derecha implica tomar valores de x mayores. Esto se utiliza para evaluar si la función se acerca al mismo límite independientemente de si se acerca desde valores más pequeños o más grandes.

¿Qué función se utiliza como ejemplo para ilustrar cómo reducir el límite a partir de una tabla de datos?

Se utiliza la función (x^2 - 9) / (x - 3) para ilustrar cómo se puede reducir el límite a partir de una tabla de datos, evaluando cómo la función se comporta cerca del valor de x = 3.

¿Por qué la función (x^2 - 9) / (x - 3) no está definida cuando x = 3?

La función no está definida cuando x = 3 porque el denominador se anula (x - 3 = 0), lo que hace que la función no tenga un valor numérico para ese punto específico.

¿Cómo se puede evaluar el límite de una función que no está definida en un punto específico?

Aunque la función no está definida en un punto específico, se puede evaluar el límite intuitivo utilizando valores muy cercanos a ese punto, tanto por la izquierda como por la derecha, para ver cómo la función se comporta y se aproxima a un valor.

¿Cómo se interpreta el resultado de la tabla de valores para la función (x^2 - 9) / (x - 3) cuando x se acerca a 3?

Al llenar la tabla de valores con x = 2.9, 2.99, 2.999, etc., y observar que los resultados se acercan a 6, se puede interpretar que el límite de la función cuando x se acerca a 3 es 6.

¿Qué significa el límite no existir para una función en un punto específico?

El límite no existir significa que los límites de la función cuando x se acerca al punto por la izquierda y por la derecha no son iguales, por lo tanto, no se puede definir un único valor al que la función se aproxima en ese punto.

¿Cómo se determina si el límite de una función existe cuando x se aproxima a un número?

Se determina si el límite existe comparando los límites de la función cuando x se acerca al número por la izquierda y por la derecha. Si ambos límites son iguales, entonces el límite existe y es igual a ese valor común.

¿Cómo se utiliza la gráfica de una función para entender el concepto de límites?

La gráfica de una función permite visualizar cómo la función se comporta cerca de un punto específico. Si hay un hueco en la gráfica donde la función no está definida, pero la gráfica se acerca a un valor determinado tanto por encima como por debajo de ese punto, se puede inferir el límite de la función en ese punto.

¿Cómo se expresa matemáticamente que el límite de una función no existe para un punto específico?

Se expresa matemáticamente que el límite no existe indicando que los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, lo que significa que no hay un único valor al que la función se aproxima en ese punto.

Outlines

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📚 Definición Intuitiva del Límite

El primer párrafo introduce la definición intuitiva del límite, explicando que no es una definición formal sino una técnica que permite entender el concepto matemático detrás de un límite. Se describe el proceso de aproximación de una función 'f(x)' a un valor 'a', donde 'x' se acerca tanto por la izquierda como por la derecha a 'a', y cómo esto se traduce en que 'f(x)' tiende a un número específico, denominado 'l'. Se enfatiza la importancia de que ambos límites (por la izquierda y por la derecha) sean iguales para que el límite exista y se ejemplifica con la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3', evaluando su comportamiento cerca del punto 'x=3', donde la función no está definida pero se puede determinar su límite a través de valores cercanos.

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📉 Ejemplo de Límite y Análisis Gráfico

El segundo párrafo continúa con el ejemplo anterior, detallando cómo se puede determinar el límite de la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3' al acercarse a 'x=3'. Se muestran los cálculos realizados con valores cercanos a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, para ilustrar cómo la función se acerca a un límite de 6. Además, se analiza gráficamente la situación, señalando la importancia de observar tanto la aproximación desde el lado izquierdo como desde el lado derecho del punto de interés. Se menciona que si los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden, el límite en sí no existe para esa función en ese punto específico, y se concluye con la importancia de comparar ambos límites para determinar la existencia de un límite.

Keywords

💡Límite

El 'límite' es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que permite entender el comportamiento de una función cuando su variable se acerca a un valor específico. En el video, se utiliza para explicar cómo se aproxima la función 'f(x)' a un valor cuando 'x' se acerca a 'a', y es central para entender la definición intuitiva del límite y su importancia en el análisis de funciones.

💡Aproximación

La 'aproximación' se refiere al proceso de acercamiento de un valor a otro. En el contexto del video, es el proceso mediante el cual 'x' se acerca a 'a', y la función 'f(x)' se aproxima a un valor determinado, denominado 'l'. Esto se ilustra con ejemplos donde se calculan valores de la función para 'x' cercanos a 'a', tanto por la izquierda como por la derecha.

💡Función

Una 'función' es una relación matemática que asigna un único valor de 'y' (también llamada 'f(x)') a cada valor de 'x' dentro de un conjunto determinado. En el video, se discute cómo las funciones se comportan cerca de ciertos puntos y cómo se pueden determinar sus límites, como en el caso de la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3'.

💡Cálculo Diferencial

El 'cálculo diferencial' es una rama de las matemáticas que estudia la variación de las funciones y sus aproximaciones. En el video, el cálculo diferencial se introduce como el campo dentro del cual se sitúa el estudio de los límites, siendo uno de sus temas más importantes.

💡Dominio

El 'dominio' de una función es el conjunto de todos los valores de 'x' para los cuales la función está definida. En el video, se menciona que para 'x = 3', la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3' no está definida, ya que 'x - 3' se anula, lo cual es crucial para entender el concepto de límite en este punto.

💡Valores por la izquierda y por la derecha

Estos términos se refieren a los valores que se toman al aproximarse a 'a' desde los lados opuestos en el eje de 'x'. En el video, se utiliza esta distinción para calcular el límite de una función tanto desde valores menores (por la izquierda) como mayores (por la derecha) a 'a', lo cual es esencial para determinar si el límite existe.

💡Tabla de datos

Una 'tabla de datos' es una herramienta utilizada para organizar y mostrar información en forma de filas y columnas. En el video, se sugiere la creación de una tabla de valores para 'x' y 'f(x)' para ilustrar cómo se aproxima el límite de la función 'x^2 - 9' dividida por 'x - 3' cuando 'x' se acerca a '3'.

💡Gráfica

Una 'gráfica' es una representación visual de los datos en el plano cartesiano. En el video, se hace referencia a la gráfica de la función para entender visualmente cómo se comporta la función cerca de 'x = 3' y para determinar visualmente el límite de la función en ese punto.

💡Noción Intuitiva

La 'noción intuitiva' se refiere a la comprensión básica y general de un concepto sin entrar en detalles técnicos o formales. En el video, se presenta la definición intuitiva del límite para que el espectador pueda visualizar y comprender el concepto antes de abordar definiciones más formales o técnicas.

💡Definición Formal

Una 'definición formal' es una descripción precisa y detallada de un concepto o término, a menudo utilizada en el ámbito académico o técnico. Aunque el video se centra en la definición intuitiva del límite, también se menciona la existencia de una definición formal, que se utiliza en el ámbito matemático para un análisis más riguroso.

Highlights

Definición intuitiva del límite esencial para entender cálculo diferencial

Limite de fx cuando x tiende a un valor, aproximándose por ambos lados

La aproximación de x a un valor 'a' y la función f(x) a un número 'l'

La noción intuitiva del límite permite evaluar valores cercanos a un punto sin definir

Ejemplo práctico de cómo calcular el límite de una función dada

La función x^2 - 9 / (x - 3) y su límite cuando x se acerca a 3

La importancia de observar si la función está definida en el punto de interés

Tabla de valores para aproximar el límite de la función cerca de x = 3

Aproximación de valores por la izquierda y derecha de x = 3

Análisis de la tendencia de f(x) a un valor definido al acercarse a x = 3

La función f(x) se aproxima a 6 cuando x se acerca a 3 por ambos lados

La gráfica de la función muestra un hueco en x = 3 donde no está definida

La interpretación de la gráfica para entender el comportamiento del límite

Ejemplo de cómo obtener el límite cuando x tiende a 1 en la función

Diferencia entre los límites por la izquierda y por la derecha

Condición necesaria para que el límite exista: ser igual por la izquierda y derecha

Caso en el que el límite no existe debido a diferencias en los límites por la izquierda y derecha

Importancia de la visualización gráfica para entender conceptos de límites

Transcripts

en este vídeo vas a aprender la

definición intuitiva del límite

utilizando estas reglas uno de los temas

importantes del cálculo diferencial lo

primero que debes entender antes de

pasar a la parte del gevrey acá y hacer

y encontrar los límites de funciones es

comprender la definición intuitiva del

límite no es una definición formal es

simplemente una definición la cual te

hará ver en qué consiste la técnica o

qué es lo que matemáticamente se está

haciendo cuando hablamos de este límite

de fx cuando x tiende a es igual a l

entonces cuando para aprovechar este en

esta definición tienes que imaginar lo

siguiente imagínate que tienes algo

aproximándose hacia en un valor ese

valor va a ser a 2 y tenemos a x

aproxima en demostración un valor que es

an

mientras más que hacer que es tanto por

el lado izquierdo tanto por el lado de

la derecha te darás cuenta que la

función f x se acerca y se aproxima a un

número ese número es denominado él por

lo tanto normalmente leemos el límite

cuando x se aproxima a un número a fx

tiende a un solo número y el número es

en otras palabras esto indicaría que

imagínate cualquier la aproximación del

valor a para x ok entonces decimos que

yo puedo acercarme por aquí por este

lado significa que x se está acercando

aa de manera vamos a ponerlo de manera

conceptual se indica así aa por la

izquierda y de este lado significaría

que x se acerca a por la derecha ahí

está si me acerco valores donde aquí

están significa que la función fx en

algún punto va a atender también a un

valor si tanto me a 5 por la izquierda

tanto por la derecha y efe de christina

del mismo valor llamado l significa que

existe un límite y es igual a él en

notación matemática esto normalmente se

expresa así se pone de manera formal el

límite cuando x tiende a a por la

izquierda de la función fx

es igual al límite también de la función

ahora cuando tiende a por la derecha

de fx esto es igual a l

si en ambos casos se da que tienen el

mismo número se dice que el límite

existe y es igual aire generalizándolo

de esta manera con esta fórmula que

tenemos justo aquí o esta definición del

límite ahora pasemos a un ejemplo muy

claro de cómo reducir el límite a partir

de tabla de datos vamos a obtener el

límite de manera intuitiva formando una

tabla de esta función x cuadrada menos 9

sobre x menos tres cuando extiende a 3

cabe mencionar de inicio que hay que

observar algo si tú tratas de suscribir

directamente cuando x 103 date cuenta

que en la función

estrés no entran en dominio por lo tanto

hace que la función no esté definida

para ese valor exacto sin embargo

nosotros con la noción intuitiva del

límite podemos evaluar valores muy

cercanos tanto por la izquierda del 3

como por la derecha del 3 entonces esto

nos va a permitir hacer una tabla la

idea es hacer lo siguiente

primero hacer una tabla de valores de x

y ver en cuanto corresponde a efe de x

por ejemplo voy a empezar con 2.9

para x que es muy cercano al 3 y lo

único que hay que hacer es sustituir 2.9

aquí 2.9 al cuadrado menos 9 entre 2.9

menos 3 esto es recomendable hacerlo con

calculadora y el primer valor que me da

el valor completo de la función sería 5

puntos

ahora si tú te quieres acercar todavía

más por el lado de la izquierda digo por

el lado de la izquierda porque son

valores inferiores a 3

podrías poner un 2.99

y entonces si lo hacemos lo que cuenta

que me da a

5.99

todavía otro valor más podría ser más

cercano en dos puntos y poner tres

nueves así y nos damos cuenta que este

tiende al

5.999 date cuenta que mientras más me

acerco fx la función también se acerca y

se aproxima a un valor bien definido

voy a tomar los valores de acercarme a 3

pero por la derecha es decir valores

superiores a 3 y si me ocurre por

ejemplo el

3.0 1

qué es un valor ya casi pegado al 3

acercándome por la parte de los valores

de arriba en los valores más grandes y

esto nos da si yo pongo 3.01 sustituyó

acá y hago las operaciones y finalmente

encuentro el valor de la función nos da

6.0 1

trato de acercarme todavía un poco más

es decir tres puntos por ejemplo

001 todavía más pegado del 3 y encuentro

que el valor es

6.001

dese cuenta ahí sí ya nos podemos dar

cuenta hacia qué valor tiende ambos

límites date cuenta que si tú te acercas

por la izquierda

estoy tendiendo y acercándome

aproximando me hacia el valor de 6 de

igual manera aquí vean mientras más me

acerco más y cada vez más me aproximó a

un valor definido y ese valor es el

valor de félix ahora que nos dice

entonces la definición del límite nos

dice que si tú te acercas a valores de x

tanto por la izquierda valores

inferiores al valor que está aquí tanto

por la derecha y ambos tienen al mismo

límite la función tiene el mismo valor l

entonces este es el límite de la función

de tal manera a quien como pondríamos

pues pondríamos

que tanto el límite voy a ponerlo aquí

de x cuando se acerca a 3 por la

izquierda de nuestra función este de

aquí vamos a ponerla aquí voy a poner la

generalizada de esta manera es igual o

idéntico al límite

y si yo tomo valores acercándome al 30

por la derecha si es exactamente al

mismo valor tienen el mismo y es

equivalente al valor de 6 por lo tanto

de manera correcta el límite cuando x

tiende a 3 aseguró que es idéntico a 6

si nos damos cuenta en la gráfica de la

función también podemos ver esto

precisamente en la noción del límite la

definición cuando te acercas a valores

de x muy cercanos a través tanto por

arriba abajo por arriba de la función

date cuenta que tiene un hueco ese hueco

es porque la función no está definido

exactamente cuando x es igual a 3 pero

si te das cuenta y los relacionados con

la función en el eje de la nfl x está

tendiendo a un límite que es 6 una forma

también en cómo se te presentarán los

ejercicios de límites es sobre todo si

te dan la gráfica o si de alguna manera

puedes obtener la gráfica de la función

y nos piden obtener el límite de otro x

cuando x tiende a 1 y el límite de fx

cuando x tiende a 3 entonces debes de

hacerlo utilizando el tema de los

límites tanto por la izquierda como por

la

esto lo llevarían lo siguiente vamos que

el primero si yo ubico en la gráfica el

límite de la función cuando x tiende a 1

y vamos a ponerlo aquí por la izquierda

me doy cuenta que si yo me acerco a la

gráfica y voy caminando sobre ella por

la izquierda nada más me dijo en fx

cuando x vale 1 aproximadamente y me doy

cuenta que se relaciona con el valor de

fx en el eje de la sie que es igual a 4

ahora busco el otro límite me acerco al

mismo número es decir cuando x tiende a

1 pero ahora voy por la parte de arriba

que es por la derecha

entonces aquí me doy cuenta me acerco

por ahí y visualizo que cuando se acerca

el 1

entonces x tiende a uno se relaciona

también con el fx igual a 4 en este caso

si ambos límites son iguales se dice que

el límite si existen entonces lo ponemos

así el límite de la función si existe

cuando x tiende a uno ya se generaliza

de esta manera que es esto que tratamos

de buscar y lo ponemos idéntico o igual

a 4 ahora sí vamos a deducir el límite

de la función cuando espera x tiende a

tres dividimos cuando x tiene a tres por

la izquierda y por la derecha nos

situamos en la gráfica y nos damos

cuenta que si voy por el lado de la

izquierda y me acerco hay un exactamente

cuándo x vale 3 se relaciona con fx y

nos damos cuenta que es igual a 4 pero

sucede algo interesante aquí cuando nos

acercamos al valor de x cuando tiende a

tres pero por la derecha te montas en la

gráfica y te das cuenta que se relaciona

en fx igual a 3

por lo tanto qué sucede aquí si son

diferentes se dice que el límite como

tal es un límite que estamos buscando no

es idéntico tanto por esquerra como por

la derecha entonces definimos que el

límite no existe

para esta función dadas estas

condiciones

y se pone de esta manera indicando que

el límite simplemente no existe entonces

siempre que sea diferente tanto por la

izquierda cuando tanto en cuanto acercas

por la derecha los resultados si no son

iguales entonces el límite simplemente

no va a existir