Derivadas (Universo Mecánico 3)
Summary
TLDREl guion ofrece una visión profunda del cálculo diferencial, una herramienta matemática esencial para entender el cambio. Se remonta a la armonía pitagórica y avanza hasta la cinemática de Galileo, resaltando la intersección de matemáticas y física. Explica conceptos como la derivada y la pendiente, y cómo estas ideas abstractas se aplican en contextos físicos. Aborda también el desarrollo del cálculo diferencial y su importancia en la física, con referencias a figuras como Fermat, Descartes, Leibniz y Newton. El guion enfatiza la belleza y complejidad del lenguaje matemático y su relevancia en la comprensión del universo.
Takeaways
- 📚 El cálculo diferencial es una herramienta matemática fundamental para analizar el cambio en diferentes fenómenos.
- 🎵 La armonía pitagórica, relacionada con la proporción de cuerdas de instrumentos musicales, es un antecedente histórico de la conexión entre matemáticas y el mundo físico.
- 🔍 Galileo Galilei es un pionero en la relación entre matemáticas y física, con su obra 'Il Saggiatore', que enfatiza la importancia del lenguaje matemático para entender el universo.
- 👨🎓 Galileo heredó el espíritu de desafío a las normas tradicionales de su padre, Vincenzo, un músico que cuestionó las armonías pitagóricas en la música de su tiempo.
- 🌱 La cinemática de Galileo, que estudia el movimiento en abstracto, representa un avance en la expresión de ideas abstractas y la necesidad de un lenguaje matemático adecuado.
- ⚙️ El desarrollo del cálculo diferencial, aproximadamente 25 años después de la muerte de Galileo, proporcionó un lenguaje más avanzado para la física.
- 📉 La derivada es esencial en el análisis de cambios, como la velocidad en la cinemática, y puede representar el ritmo de cambio de diversas magnitudes.
- 📈 La pendiente, como concepto de derivada, es una relación entre el cambio en una variable y otra, y es fundamental para entender la recta tangente en un punto de una curva.
- 🤔 Fermat y Descartes contribuyeron con sus métodos para encontrar tangentes a curvas algebraicas, lo que más tarde sería parte del desarrollo del cálculo diferencial.
- 🔄 Las reglas del cálculo diferencial, como la regla de la suma, el producto y la cadena, son esenciales para la manipulación de funciones y su análisis.
- 🚀 Las aplicaciones del cálculo diferencial son vastas, desde la física de movimientos de cuerpos hasta la optimización en ingeniería y la economía.
Q & A
¿Qué es el cálculo diferencial y cómo se relaciona con el cambio en las cosas?
-El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa para analizar el cambio en variables como el movimiento, la temperatura, la densidad de población, etc. Se basa en calcular derivadas, que son el ritmo de cambio de una función en un punto específico.
¿Cuál es la conexión entre la armonía pitagórica y el descubrimiento de las matemáticas?
-La armonía pitagórica se descubrió hace aproximadamente 600 años antes de Cristo y se relaciona con la relación matemática simple entre los números, como 1:2, 2:3, etc., que determinaba la armonía en los instrumentos de cuerda. Este fue el primer paso en relacionar las matemáticas con el mundo físico.
¿Qué libro escribió Galileo Galilei y cómo se relaciona con el lenguaje de las matemáticas?
-Galileo escribió 'Il Saggiatore', que se traduce comúnmente como 'El Ensayador', pero que podría traducirse más apropiadamente como 'El Experimentador'. En este libro, Galileo sugiere que el verdadero conocimiento está en el universo y para entenderlo, es necesario aprender el lenguaje de las matemáticas.
¿Cómo describió Galileo la relación entre la música y las matemáticas?
-Galileo menciona que los músicos, desde hace aproximadamente 600 años antes de Cristo, han utilizado las matemáticas en la música, al igual que los físicos lo hacen desde hace muchos años. Ambos campos utilizan el lenguaje de las matemáticas por su precisión y elegancia.
¿Qué es la cinemática y cómo se relaciona con el desarrollo del lenguaje matemático?
-La cinemática es una rama de la mecánica que trata el movimiento en abstracto. Galileo creó la cinemática para expresar sus ideas, lo que requirió un lenguaje matemático más avanzado y adecuado para la expresión de conceptos abstractos.
¿Qué es la pendiente y cómo se relaciona con la derivada en el contexto de la cinemática?
-La pendiente es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal, y se llama pendiente. En el contexto de la cinemática, la derivada es similar a la pendiente, ya que representa el ritmo de cambio de una cantidad con respecto a otra, como la velocidad que es la derivada de la distancia con respecto al tiempo.
¿Qué es la recta tangente y cómo se relaciona con la derivada?
-La recta tangente es la línea que toca una curva en un punto específico sin cruzarla. La derivada en ese punto es la pendiente de la recta tangente, lo que indica el ritmo de cambio instantáneo de la función en ese punto.
¿Qué es el cálculo diferencial y cómo se utiliza en el análisis de la velocidad y la aceleración?
-El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que se utiliza para calcular la tasa de cambio de una variable con respecto a otra. En el análisis de movimiento, la derivada de la posición con respecto al tiempo da la velocidad, y la derivada de la velocidad da la aceleración.
¿Qué es la regla de la suma en el cálculo diferencial y cómo funciona?
-La regla de la suma es una de las reglas básicas del cálculo diferencial que establece que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada función individualmente.
¿Cómo se relaciona el concepto de derivada con la práctica moderna y los dispositivos como el velocímetro?
-La derivada se relaciona con la práctica moderna en dispositivos como el velocímetro, que mide la derivada de la distancia recorrida en cada instante, proporcionando la velocidad instantánea del vehículo.
¿Qué enseña la historia de Albert Einstein con respecto a su percepción de las matemáticas y su trabajo en la teoría de la relatividad?
-La historia de Einstein muestra que inicialmente subestimó la complejidad de las matemáticas, pero después de trabajar en la teoría de la relatividad, desarrolló un gran respeto por su precisión y claridad, reconociendo que las matemáticas son fundamentales en la física.
Outlines
📚 La importancia del cálculo diferencial en la física y la música
El primer párrafo introduce el cálculo diferencial como una herramienta matemática esencial para entender los cambios en el mundo. Se menciona su origen en la armonía pitagórica y cómo esta relación entre matemáticas y física se descubrió y perdió con el tiempo. Se destaca el papel de Galileo Galilei en la redescubrimiento de esta relación y su obra 'Il Saggiatore', que enfatiza la importancia del lenguaje matemático para entender el universo. Además, se explora la conexión entre la música y las matemáticas, y cómo ambas disciplinas han utilizado el cálculo diferencial a lo largo de la historia.
🛣️ La derivada y su rol en el análisis de movimientos
El segundo párrafo se enfoca en la derivada como el concepto fundamental del cálculo diferencial, comparándola con las ruedas en un viaje. La derivada se describe como el ritmo de cambio de cualquier función en un punto específico, ejemplificado con la velocidad como la derivada de la distancia en la ley de caída de los cuerpos de Galileo. Se discuten las aplicaciones de la derivada en diversos contextos, como la densidad de población de los delfines, el volumen de un globo en relación con su superficie y la economía de la oferta y demanda. Además, se introducen las definiciones y conceptos básicos del cálculo diferencial, como la pendiente y la recta tangente, y se mencionan a Fermat y René Descartes como precursores en el desarrollo de este campo.
📉 La derivada como cambio instantáneo y su proceso de cálculo
El tercer párrafo profundiza en el concepto de derivada como cambio instantáneo, ilustrado con el ejemplo de la velocidad y la pendiente de una cuesta. Se explica el proceso de aproximación de la derivada mediante la secuencia de 'cuerdas' que se ajustan a un gráfico, y cómo el límite de estas 'cuerdas' cuando los puntos se acercan define la pendiente en un punto específico. Se discute la analogía entre la derivada de la distancia con respecto al tiempo y la velocidad instantánea, y cómo se puede aplicar este concepto en el cálculo de la aceleración. Se introducen los símbolos del cálculo diferencial, como el delta, y se enfatiza la importancia de la práctica para dominar el cálculo de derivadas.
🔧 Las reglas del cálculo diferencial y su aplicación en la física
El cuarto párrafo explora las reglas del cálculo diferencial, como la regla de la suma y la del producto, y cómo se aplican en contextos físicos y matemáticos. Se ejemplifica con la pintura de paredes y el cálculo del área de un tablero, y se discute cómo estas reglas permiten descomponer funciones complejas en partes más sencillas. Se menciona la regla de la cadena, que se utiliza cuando una variable depende de otra, y se ilustra con el consumo de combustible de un vehículo y cómo esto se relaciona con la distancia recorrida y la velocidad.
🚀 Las aplicaciones del cálculo diferencial en la física moderna
El quinto párrafo destaca las aplicaciones del cálculo diferencial en la física moderna, especialmente en el movimiento de cohetes y la teoría de la relatividad de Einstein. Se describe cómo las derivadas se relacionan con conceptos físicos fundamentales como la velocidad, la aceleración y el consumo de combustible. Se menciona la carta de Einstein, donde expresa su respeto por las matemáticas y su importancia en la resolución de problemas de la gravitación. Se enfatiza la intersección entre arte y ciencia en las matemáticas y cómo el cálculo diferencial es una herramienta esencial en la física.
🔍 La precisión matemática y su importancia en la teoría de la relatividad
El sexto y último párrafo reflexiona sobre la precisión y claridad que las matemáticas aportan a la física, utilizando la experiencia de Einstein con la teoría de la relatividad como ejemplo. Se discute cómo los físicos pueden subestimar la complejidad de las matemáticas y cómo un matemático busca la exactitud en todas las afirmaciones, incluso en casos excepcionales como la punta de una pirámide. Se concluye con la importancia de la matemática en la formulación precisa de las ideas científicas y su papel como guardián de la claridad en el pensamiento científico.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo diferencial
💡Derivada
💡Armonía pitagórica
💡Galileo Galilei
💡Recta tangente
💡Pendiente
💡Cinemática
💡Regla de la cadena
💡Regla del producto
💡Albert Einstein
Highlights
El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa para analizar el cambio en las cosas.
Las matemáticas se relacionaron con el mundo físico por primera vez a través de la armonía pitagórica hace aproximadamente 600 años antes de Cristo.
Galileo Galilei redescubrió la relación entre matemáticas y el mundo físico y utilizó el lenguaje matemático en su libro 'Il Saggiatore'.
Galileo creó la cinemática, una rama de la mecánica que trata el movimiento en abstracto.
El lenguaje de las matemáticas es esencial para entender el 'libro del universo', según Galileo.
Vincente Galilei, padre de Galileo, influenció a su hijo con su desafío a las formas tradicionales en la música.
La física necesitaba un lenguaje más avanzado después de Galileo, lo que eventualmente llevó al desarrollo del cálculo diferencial.
El cálculo diferencial es esencial para entender conceptos como la velocidad instantánea y la aceleración.
La derivada es el concepto fundamental del cálculo diferencial, representando el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.
La pendiente de una cuesta es un ejemplo de cómo se calcula la derivada en el lenguaje de la geometría.
Pierre de Fermat fue uno de los primeros en plantear la idea de encontrar la recta tangente en un punto arbitrario de una curva.
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial como un método general y sistemático.
La derivada no solo se aplica a movimientos horizontales o verticales, sino que es el ritmo de cambio de cualquier cosa.
La regla de la suma, el producto y la cadena son las reglas básicas del cálculo diferencial que permiten descomponer funciones complejas.
El cálculo diferencial es fundamental en la física moderna, como en el caso de la teoría de la relatividad general de Einstein.
Einstein expresó su respeto por las matemáticas y reconoció su importancia en su trabajo sobre la gravitación.
Las matemáticas son una herramienta esencial para los físicos, pero también requieren la precisión y claridad que solo un matemático puede proporcionar.
La teoría de la relatividad general de Einstein es considerada una de las teorías matemáticas más difíciles de la física.
Existen casos en los que una función no tiene derivada en un punto específico, como la punta de una pirámide.
Transcripts
00:02el cálculo diferencial es una poderosa
00:05herramienta matemática para analizar el
00:08cambio en las cosas las asas de esa
00:11herramienta son algunas reglas sencillas
00:13para calcular
00:18derivadas alrededor de 600 años antes de
00:22Cristo alguien descubrió que para
00:24obtener agradables acordes en un
00:26instrumento de Cuerda el largo de esas
00:28cuerdas Tenía que estar en relación de
00:30números sencillos Como por ejemplo de
00:31uno a dos dos a tres
00:33etcétera eso se llama armonía
00:37pitagórica y fue un descubrimiento
00:39importante porque esta era la primera
00:41vez que se relacionaban entre sí las
00:44matemáticas y el mundo
00:46físico
00:48desgraciadamente esa relación se olvidó
00:51y hubo que descubrirla de nuevo muy
00:53lentamente Y con grandes
00:56dificultades unos 1 años después fue
00:59galo le Galilei qui lo
01:02comprendió deseo leerles algo que
01:04Galileo
01:07escribió este
01:09libro publicado en Roma el año
01:131623 se llama ilay tore traducido
01:17Generalmente por el ensayador pero yo
01:19prefiero traducirlo más bien por el
01:22experimentador porque me parece que es
01:24lo que más se aproxima a lo que Galileo
01:26tenía en
01:28mente tenía la fea costumbre de escribir
01:31sus famosas notas en
01:33italiano yo se las iré traduciendo no se
01:36preocupen dijo el verdadero conocimiento
01:40está escrito en un enorme Libro abierto
01:42continuamente ante nuestros ojos me
01:45refiero al universo pero uno no puede
01:48entenderlo uno debe aprender la lengua y
01:51a reconocer los caracteres para poder
01:53entender el lenguaje en el que está
01:55escrito está escrito en el lenguaje de
01:58las matemáticas
02:03luego nosotros ahora para poder leer el
02:05libro del universo tenemos primero que
02:08aprender los símbolos y el vocabulario
02:11del lenguaje
02:12matemático es un lenguaje de la
02:15precisión de la poesía e incluso de la
02:21música desde hace ya muchos años los
02:24físicos utilizan el lenguaje de las
02:27Matemáticas y los músicos
02:30aproximadamente desde 600 años antes de
02:33Cristo también se sirven de
02:36él como en casi todas las lenguas
02:39incluida la música las matemáticas
02:41tienen Su vocabulario propio sus propias
02:44reglas y símbolos su precisión y
02:46elegancia su poesía y su
02:51historia y una parte de esa historia fue
02:55Galileo Galilei que tuvo algo de
02:57inconformista un rasgo que heredó de de
02:59su padre vincenso que fue un gran
03:03músico musicalmente vincenso se había
03:06negado a sujetarse a las formas
03:09tradicionales postura esta que llegaría
03:11a ser la marca de la familia
03:13vincenso escribió un libro en el que se
03:15oponía la utilización de la armonía
03:17pitagórica como acostumbraban a hacer
03:19sus contemporáneos en
03:21música él consideraba los antiguos
03:25acordes griegos demasiado simples para
03:27las complejas estructuras musicales de
03:29del renacimiento
03:31italiano más tarde De tal palo tal
03:34astilla Galileo Consideró que las
03:36matemáticas griegas eran demasiado
03:38sencillas para poder expresar sus
03:41[Música]
03:42ideas y creó la cinemática una rama de
03:46la mecánica que trata del movimiento en
03:49abstracto y la correcta expresión de
03:52cualquier idea abstracta requiere un
03:54lenguaje adecuado conceptos y símbolos
03:57que den a una idea su significado y
04:01a pesar de ser muy avanzada la nueva
04:03ciencia del movimiento de Galileo sus
04:05raíces estaban todavía en el terreno
04:07donde acostumbraba a moverse el Antiguo
04:09intelecto griego y era algo enteramente
04:12nuevo lo que tenía que florecer en el
04:14campo de la matemática y de la
04:20[Música]
04:23ciencia los eruditos necesitaban un
04:26lenguaje más sofisticado que el que se
04:28hablaba desde ím medes y
04:31euclides en otras palabras después de
04:33Galileo la física necesitaba un lenguaje
04:36más avanzado aproximadamente 25 años
04:39después de su muerte se descubriría por
04:42fin ese famoso lenguaje y comenzaría a
04:45utilizarse a partir de
04:48Entonces se llamaría cálculo
04:52diferencial el cálculo diferencial es
04:56muy
04:57potente y como en cualquier lenguaje su
05:00poder deriva de la idea que le sustenta
05:03la
05:04derivada la derivada es para la
05:07cinemática lo que las ruedas son para un
05:12viaje un medio sencillo pero muy eficaz
05:16para poder obtener una perspectiva
05:19completa de lo que es una
05:22derivada Nada mejor que un poco de
05:28ejercicio la derivada no solo se aplica
05:31a un cuerpo moviéndose horizontalmente
05:33ni por eso ni solo a un cuerpo
05:36moviéndose verticalmente hacia arriba o
05:39hacia abajo o como
05:41sea la derivada es el ritmo de cambio de
05:44cualquier función en un determinado
05:46punto
05:49instante como ya se explicó al hablar de
05:52la ley de caída de los cuerpos de
05:55Galileo la velocidad es la derivada de
05:59la la distancia pero es también algo
06:02más una derivada puede representar el
06:05ritmo de cambio de cualquier cosa por
06:09ejemplo la densidad de población de los
06:12delfines en relación con el aumento
06:14disminución de temperatura del agua o el
06:17ritmo de cambio de volumen de un globo
06:19respecto al área de su superficie o el
06:23ritmo de cambio del precio de una pizza
06:26con respecto a su
06:27tamaño como
06:30el concepto de derivada está por todas
06:32partes pero el proceso mecánico de la
06:35derivada el cálculo diferencial necesita
06:38un enfoque práctico para que el concepto
06:40se
06:46imponga En definitiva sin las reglas de
06:49diferenciación el concepto de derivada
06:52se nos puede hacer una montaña a la
06:55larga es una ayuda a incluir algunas
06:57definiciones recogidas por el camino por
07:00eso antes de que sea demasiado tarde
07:03para Volver atrás considérenlo
07:08empinado en un plano inclinado lo
07:10empinado es la relación entre el cambio
07:13en la altura y el cambio en la distancia
07:15horizontal esta relación un número
07:18recibe el nombre de
07:20pendiente por ejemplo supongamos que la
07:24altura de una cuesta aumenta 15 m cada
07:27100
07:28m
07:30el ciclista se mueve 15 Met hacia arriba
07:33y 100 Met en horizontal la pendiente es
07:37de
07:39015 cuanto mayor es la pendiente llegar
07:43hasta arriba es todo una
07:51[Música]
07:58proeza
08:01si es casi cero es un
08:05paseo Y cuando la pendiente es negativa
08:08es cuesta abajo aunque se pueda caminar
08:12fácilmente por ellas las matemáticas
08:14tienen sus picos y Valles y nadie sabe
08:17quién fue el primero que preguntó Cuál
08:19era la mejor manera para ir de acá para
08:23allá la respuesta en términos
08:26algebraicos fue dada por un matemático
08:28francés llamado
08:30fermat en
08:321629 se le ocurrió la idea de hallar la
08:35recta tangente en un punto arbitrario de
08:38una
08:42curva en
08:441638
08:46fermat compartió su descubrimiento con
08:49su compatriota René desart que tenía su
08:51propio método para hallar tangentes a
08:53curvas
08:55[Música]
08:58algebraicas
09:01muchas de Estas ideas matemáticas sobre
09:03todo las de fermat fueron desarrolladas
09:06posteriormente por wilhem leinich e
09:09Isaac
09:10Newton según un método general y
09:13sistemático de análisis
09:15matemático el cálculo
09:20diferencial dejando la historia de lado
09:23al menos por el momento quedan algunas
09:25preguntas
09:27oportunas por ejemplo
09:29en una curva que cambie suavemente hay
09:32una pendiente que cambia
09:34constantemente Cómo se puede calcular en
09:36el lenguaje de hoy la pendiente en un
09:39punto
09:48dado para determinar la pendiente en un
09:51punto particular por ejemplo aquí
09:54simplemente se toma otro punto de la
09:56cuesta no importa dónde
10:00después se traza una línea recta que se
10:02llama cuerda que una esos dos
10:06puntos y la pendiente depende de la
10:09posición del segundo
10:12punto si el primer punto y el segundo
10:14están próximos la cuerda es una
10:16aproximación bastante acertada del
10:19recorrido de la
10:22bici movamos el segundo punto hacia el
10:27primero la pendiente es un número al
10:31tender un punto hacia el otro esos
10:34números tienden hacia un cierto valor
10:36que se denomina pendiente de la cuesta
10:38en ese
10:40punto la recta que pasa por ese punto
10:42con esa pendiente se llama recta
10:44tangente y es la recta hacia la que
10:47tienden las cuerdas al tender un punto
10:50hacia el otro la pendiente de la cuesta
10:53es la pendiente de la recta tangente en
10:56ese
10:58punto
11:01se puede calcular la velocidad
11:03instantánea de manera
11:07análoga la ley de caída de los cuerpos
11:10de Galileo aquí aplicada a una persona
11:12que más bien no
11:14quiere más que un terrorífico
11:17experimento es el diferencial que viene
11:20en auxilio la variación de la distancia
11:23seide por la variación del
11:27tiempo media durante un intervalo de
11:31tiempo
11:32dado cuando ese tiempo disminuye hacia
11:34cero el valor límite de la velocidad
11:37media es la velocidad
11:41instantánea el incremento en la altura
11:43se divide por el incremento en la
11:45distancia
11:47horizontal el resultado es la pendiente
11:50de la cuerda que une los dos puntos si
11:53la distancia horizontal se reduce a
11:57cero el valor límite de la pendiente de
12:00la cuerda es la pendiente en ese
12:03punto la diferenciación los objetivos y
12:07los cálculos difieren pero no el
12:09concepto esencial ni el
12:14procedimiento la velocidad es la
12:17derivada de la distancia con respecto al
12:20tiempo la pendiente es la derivada de la
12:23altura con respecto a la distancia
12:27horizontal en cualquier caso una
12:30derivada es lo que le ocurre a un
12:32cociente una razón entre dos números
12:35cuando el dividendo y el divisor
12:37disminuyen hacia
12:40cero antes de alcanzar el cero sus
12:43pequeños valores se expresan con la
12:45letra griega
12:47Delta Delta I es un pequeño incremento
12:50de
12:51I Delta x es un pequeño incremento de X
12:57Así que Delta y dividido por Delta x es
13:00simplemente un cociente de dos números
13:03pequeños cuando esos números se hacen
13:06cero el cociente se convierte en una
13:08derivada y los deltas en un nuevo
13:10símbolo diferencial de y dividido por
13:13diferencial de
13:15X el símbolo de la derivada que
13:17significa derivada de la cantidad y con
13:20respecto a x cuando ya se domina la
13:23mecánica sencilla encontrar la derivada
13:26de cualquier cosa es tan fácil accionar
13:29un
13:33[Música]
13:34interruptor la derivada de una función
13:37es la pendiente de su tangente en cada
13:42punto la derivada de una función es
13:46también una
13:48[Música]
13:50función si la función es una recta la
13:53pendiente es constante y la derivada es
13:56precisamente esa constante
14:04[Música]
14:10si I es igual a seno de X entonces
14:13derivada de I respecto a x es igual a
14:16coseno de
14:20[Música]
14:24X si I es igual a coseno de X entonces
14:29derivada de I respecto a x es igual a
14:31menos seno de
14:36X hallar derivadas requiere un poco de
14:40práctica pero el esfuerzo vale la pena y
14:44si consideramos el gran número de
14:46máquinas contemporáneas que hayan
14:48derivadas esto se ha convertido en una
14:51práctica
14:55moderna un velocímetro o cuenta km es
14:59una máquina que deriva mide la derivada
15:01de la distancia recorrida en cada
15:03instante a lo largo del
15:06camino el ritmo de cambio de posición es
15:09la velocidad instantánea expresada en
15:11kilómetros por
15:12h por supuesto cuando el vehículo no se
15:16mueve no recorre ninguna distancia aquí
15:19la posición es constante y la derivada
15:21de una constante es
15:27cero la matemática es un lenguaje con
15:31estructura gramatical un conjunto de
15:33reglas que componen y descomponen la
15:35tarea que se tiene entre
15:38manos en cualquier cosa que se trabaje
15:41desde construir una
15:43casa a componer una sinfonía la tarea
15:47más complicada puede descomponerse de la
15:49misma
15:50manera Newton y lich desarrollaron las
15:54herramientas del cálculo que permiten
15:56diferenciar la función más complicada
15:58descomponiéndola en partes sencillas una
16:01de las reglas básicas de la
16:02diferenciación es la regla de la
16:09suma supongamos que un pintor pinta 90 m
16:14cu de pared por
16:15hora y otro pintor 100
16:20m Esos son los ritmos a los que las
16:23superficies de pared cambian de color En
16:26otras palabras son las derivadas
16:29Por consiguiente cada hora se han
16:31pintado 190 Met cuad de
16:34pared así es cómo funciona la regla de
16:39la suma la derivada de una suma es la
16:42suma de las
16:49[Música]
16:52derivadas otra buena herramienta es la
16:55regla del producto que se utiliza para
16:57obtener laiv del producto de dos
17:00funciones por ejemplo el área de un
17:03tablero es el producto de su largo por
17:05su
17:10ancho si se acorta el
17:14largo la variación en el área es el
17:17producto del ancho multiplicado por la
17:19variación en el
17:27largo
17:29si el ancho se reduce la variación en el
17:32área es el producto del largo
17:34multiplicado por la variación en el
17:37ancho la variación total en el área es
17:40la suma de estos y es exactamente así en
17:43el caso del Carpintero como en el
17:45lenguaje del cálculo
17:57diferencial
17:59la derivada del producto de I por Z es I
18:04por la derivada de Z + Z por la derivada
18:08de
18:09[Música]
18:14I usando esta regla es posible encontrar
18:18la derivada de X
18:24[Música]
18:27cuadr
18:32[Música]
18:39[Música]
19:19o de X elevado al
19:23cubo o de cualquier Potencia de
19:27X
19:29[Música]
19:34la derivada de X a la enésima potencia
19:37es n por x a la potencia n -
19:44[Música]
19:471 frecuentemente una operación depende
19:51de otra por ejemplo supongamos que un
19:53vehículo tiene un consumo específico de
19:5617 millas por galón de fuel
19:59eso es una
20:01derivada si es la distancia recorrida y
20:05x la cantidad de fuel consumida entonces
20:0917 millas por galón es la derivada de I
20:12respecto a x = Adi paro por dx
20:16supongamos que consume 2 galones por
20:18hora 2 galones por hora igual a dx paro
20:23por
20:24dt la velocidad de un vehículo en millas
20:27por hora es igual a las millas
20:29recorridas por galón multiplicado por
20:31los galones que consume por hora es la
20:34regla de la cadena se utiliza cuando I
20:37depende de x y x depende de
20:43[Música]
20:46T la regla de la
20:51suma la regla del
20:56producto y la la regla de
21:01cadena estas tres reglas representan la
21:04gramática del cálculo
21:06diferencial y el valor del cálculo
21:09diferencial se puede ver en la variedad
21:10de sus
21:14aplicaciones por ejemplo cuando un
21:16cohete se mueve un desplazamiento s en
21:20un tiempo
21:22t la derivada del desplazamiento es la
21:27velocidad
21:29positiva para movimiento hacia
21:33arriba y negativa para movimiento hacia
21:39abajo la derivada de la velocidad Es la
21:42aceleración que es lo mismo que hallar
21:45la derivada de una
21:47derivada O sea la segunda derivada de
21:57s
22:06la aceleración producida por el
22:08encendido del
22:11cohete las reglas de cálculo diferencial
22:15y sus aplicaciones a la
22:20[Música]
22:22física cada una actúa como un solo
22:25instrumento que toca el arte y la
22:27ciencia de las
22:29matemáticas trabajando juntas
22:33armonizando pueden combinar notas
22:36individuales o números en una melodía
22:40[Música]
22:49[Música]
22:56exquisita
23:00[Música]
23:30He recibido una carta de un músico
23:32llamado Albert
23:34Einstein la envió en 1912 ha tardado en
23:38llegar el servicio de correos trabaja a
23:40veces con mucha lentitud pero realmente
23:43no me la escribió a mí sino a un amigo
23:44suyo Yo la he obtenido en la biblioteca
23:48de cualquier forma voy a leerla y
23:50veremos qué escribió dice estoy
23:52ocupándome exclusivamente del problema
23:54de la gravitación y creo que ahora
23:56superaré todas las dificultades pero yo
23:59estoy seguro de una cosa he llegado a
24:01tener un gran respeto por las
24:02matemáticas cuyas sutiles partes yo en
24:05mi ignorancia hasta este instante había
24:08creído que eran un mero
24:10lujo Einstein trabajó 4 años más en la
24:14gravitación y el resultado fue la teoría
24:17general de la relatividad de la cual
24:19podemos decir que es la teoría
24:21matemática más difícil de toda la
24:24física Qué quiso decir Einstein al
24:26expresar que las sutiles de las
24:28Matemáticas le parecieron un lujo pensó
24:31realmente que podría tener éxito sin
24:33hacer
24:34cálculos Por supuesto que no el asunto
24:38es que los físicos tienen cierta
24:40arrogancia ante las
24:42matemáticas por ejemplo se puede tener
24:44la impresión de que siguiendo unas
24:46reglas sencillas se puede obtener la
24:48derivada de cualquier
24:51función y no es del todo
24:53cierto supongamos una función con forma
24:56piramidal como una pirámide de
24:59Egipto bien es muy fácil obtenerla
25:02pendiente aquí y también es fácil
25:04obtenerla aquí sin embargo en la punta
25:07tenemos problemas porque en ese punto No
25:10hay ninguna pendiente la función no
25:12tiene derivada en ese
25:15punto yo nunca dije nada que les hiciese
25:18creer a ustedes que eso podía
25:20ocurrir para los físicos las matemáticas
25:23son solo una herramienta que usan para
25:26llevar a cabo todo lo
25:29pero un verdadero matemático es el
25:32guardián de la precisión y Claridad de
25:34las
25:34ideas lo que interesa a los matemáticos
25:37es la propia matemática si un matemático
25:40hace una proposición sobre las derivadas
25:42la afirmación tendrá en cuenta toda
25:44posible excepción por extraña inusual
25:46que parezca como el pico de la pirámide
25:50Esa es la clase de sutileza que
25:52preocupaba a
25:54einste hasta el próximo
25:56día
26:26ah
5.0 / 5 (0 votes)
