Asinkronus Topik Bentuk Akar W 2

Summary

This educational script introduces the concept of radicals and their relationship with exponents. It explains the conversion between roots and exponents, and how to simplify radical expressions by rationalizing the denominator. The lesson covers basic operations with radicals, such as addition, subtraction, multiplication, and division, emphasizing the importance of having the same index for these operations. It also demonstrates how to simplify complex radical expressions by multiplying by their conjugate to eliminate the radical in the denominator, providing clear examples and encouraging students to practice these concepts.

Takeaways

• 📚 The session focuses on learning about radical expressions, specifically the relationship between exponents and radicals, and how to convert between them.
• 🔢 It's important to understand that for a non-zero real number 'a' and a fraction p/q where q ≠ 0 and q ≥ 2, the equation a^(p/q) = (a^p)^(1/q) holds true, illustrating the conversion between exponents and radicals.
• 👉 The position of the exponent 'p' and the radical 'q' is crucial when converting from one form to another, as it affects the resulting expression.
• 📐 Examples are given to demonstrate the conversion of exponents to radicals and vice versa, such as converting √3 from 7^3 to 7^(1/3).
• ➕ Operations on radicals, such as addition and subtraction, are discussed, emphasizing that only like radicals (same index and radicand) can be combined.
• ➖ Similar to addition, subtraction of radicals requires that the radicands and the indices of the radicals be the same.
• 🤔 The script also covers multiplication and division of radicals, where the indices must be the same for these operations to be performed, regardless of the base of the radicals.
• 📉 Rationalizing radicals in the denominator is necessary to simplify expressions and is achieved by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the radical in the denominator.
• 📝 Practice exercises are suggested for students to work on during asynchronous sessions to reinforce their understanding of the concepts taught.
• 📅 The next synchronous session is mentioned, where the exercises will be reviewed, indicating a structured learning process.
• 🙏 The session concludes with a blessing, emphasizing a positive and supportive learning environment.

Q & A

What is the main topic discussed in the script?

The main topic discussed in the script is the relationship between roots and exponents, including the conversion between them, and the operations that can be performed on roots.

What is the condition for the variable 'a' in the script when discussing the relationship between roots and exponents?

The condition for the variable 'a' is that it must be a real number, not equal to 0, and greater than 0.

How is the relationship between roots and exponents expressed mathematically in the script?

The relationship is expressed as \( a^{p/q} = C \), where 'a' is a real number greater than 0, 'p' and 'q' are integers with 'q' not equal to 0 and greater than or equal to 2, and 'C' is the result of the root or exponent operation.

What is the rule for converting from an exponent to a root as mentioned in the script?

The rule for converting from an exponent to a root is \( C = a^{p/q} \) of \( a^{P} \), which becomes \( C = a^{k^q} \) of \( a^P \), where 'P' and 'q' are the positions that change when converting from an exponent to a root.

What are the conditions for adding or subtracting roots as described in the script?

The conditions for adding or subtracting roots are that the roots must have the same radicand and the same index. Only the coefficients (the numbers in front of the roots) are added or subtracted.

Can you provide an example of adding roots from the script?

An example of adding roots from the script is \( 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \), which simplifies to \( 8\sqrt{3} \) because the coefficients 6 and 2 are added together.

What is the process for multiplying roots as explained in the script?

The process for multiplying roots involves ensuring that the roots have the same index. The bases outside the roots are multiplied together, as well as the numbers inside the roots.

How is division of roots performed according to the script?

Division of roots is performed by ensuring the roots have the same index. The division can be simplified by separating the bases and the numbers inside the roots, and then converting the root to a single base with the same index.

What is the method for rationalizing the denominator of a fraction that contains a root, as described in the script?

The method for rationalizing the denominator involves multiplying the numerator and the denominator by the conjugate of the denominator, which is the same root but with the same base.

Can you give an example of rationalizing the denominator from the script?

An example of rationalizing the denominator from the script is \( \frac{2}{\sqrt{7}} \), which becomes \( \frac{2\sqrt{7}}{7} \) after multiplying both the numerator and the denominator by \( \sqrt{7} \).

What are the signs to watch out for when rationalizing the denominator, especially when dealing with subtraction in the denominator?

When rationalizing the denominator, if there is a subtraction sign in the denominator, the operation changes to addition when multiplying by the conjugate, effectively reversing the operation sign.

Outlines

00:00

📚 Understanding the Relationship Between Exponents and Radicals

This paragraph introduces the concept of converting between exponents and radicals. It explains the basic principle that if a number 'a' raised to a power 'p/q' equals a constant 'C', then converting this to a radical form results in 'C = a^(p/q)'. The paragraph emphasizes the importance of understanding the position of 'p' and 'q' when converting from an exponent to a radical and vice versa. Examples are provided to illustrate the conversion process, such as changing '7^3' to its radical form and simplifying expressions like '3x^2' to '3x^(2/5)'. The paragraph also covers the operations of addition and subtraction of radicals, highlighting the conditions for these operations, which require the radicals to have the same index and the same value under the radical sign.

05:03

🔢 Operations on Radical Expressions and Rationalization

The second paragraph delves into the operations that can be performed on radical expressions, specifically multiplication and division. It begins by explaining the conditions for converting a radical expression back to an exponent form, which is possible when the index of the radical is equal to the exponent. The paragraph then discusses the multiplication of two radical expressions, emphasizing that it can only be done when the radicals have the same index. An example is given to illustrate this, showing how to multiply 'a * √(p/n)' by 'c * √(n/d)'. Division of radical expressions is also covered, with a similar condition that the indices must match. The paragraph concludes with a method for rationalizing the denominator of a fraction that contains a radical, by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the denominator's radical part.

10:04

📘 Rationalizing Radical Expressions and Simplifying

The final paragraph focuses on the process of rationalizing and simplifying radical expressions, especially when the expressions contain radicals in the denominator. It explains the method of rationalization by multiplying the numerator and denominator by the conjugate of the radical in the denominator, which eliminates the radical and simplifies the expression. The paragraph provides examples of how to rationalize expressions like '1/√3 - 5' and '1/√3 + √5', showing the step-by-step process of multiplying by the conjugate and simplifying the result. It also touches on the properties of radicals and how they can be used to simplify expressions to their simplest form. The paragraph ends with an encouragement for students to practice these concepts during asynchronous sessions and to complete exercises in their workbooks for further understanding.

Keywords

💡Roots

Roots, in the context of this video, refer to the mathematical concept of radicals, which are used to represent the nth root of a number. The script discusses the relationship between roots and exponents, explaining how to convert between the two. For example, the script mentions '√3 dari 7 ^ 3', which translates to 'the cube root of 7 to the power of 3', demonstrating the conversion process.

💡Exponents

Exponents are used to denote the power to which a number is raised. The video script explains the relationship between exponents and roots, showing how to move between the two forms. An example from the script is 'a^ p/q', which illustrates a number 'a' raised to the power of 'p/q', and how this can be rewritten as a root.

💡Fractions

Fractions are used in the script to describe the relationship between the exponent and the root, particularly when discussing the conversion between the two. The term 'p/q' is used to denote the fraction that represents the exponent in the context of roots, as seen in 'a^ p/q'.

💡Rationalization

Rationalization in the script refers to the process of simplifying expressions, especially those involving radicals in the denominator. The script explains how to eliminate the radical from the denominator by multiplying by a form of 'conjugate', such as 'a/√b' being rationalized to 'a*√b/(√b*√b)'.

💡Addition and Subtraction of Radicals

The video discusses the rules for adding and subtracting radicals, emphasizing that only like terms with the same radicand and index can be combined. An example given is '6√3 + 2√3', which simplifies to '8√3', illustrating the process of combining like radicals.

💡Multiplication and Division of Radicals

The script explains how to multiply and divide radicals, stating that it's possible when the indices are the same, regardless of the radicands being different. An example provided is 'a * √p/n * c * √n/d', which shows the multiplication of two radicals with different radicands but the same index.

💡Radical Conjugates

Radical conjugates are used in the process of rationalization. The script mentions multiplying by the 'conjugate' form, which is essentially the same radical expression but with a positive sign in front of the radical part, to eliminate the radical from the denominator.

💡Irrational Numbers

Irrational numbers are numbers that cannot be expressed as a simple fraction. While not explicitly defined in the script, the concept is implied when discussing roots of numbers that do not result in a rational value, such as the square root of a non-perfect square.

💡Algebraic Expressions

Algebraic expressions are used throughout the script to demonstrate various mathematical operations involving radicals. The script uses expressions like '3x^2' and '5√3x' to illustrate the manipulation of radicals in different algebraic contexts.

💡Simplification

Simplification in the script refers to the process of making complex expressions simpler, particularly in the context of rationalizing radicals and combining like terms. An example of simplification is given when the script discusses turning '2/√7' into '2√7/7'.

💡Synchronous and Asynchronous Sessions

These terms refer to the modes of instruction mentioned in the script. Synchronous sessions are live, real-time interactions, while asynchronous sessions allow for work to be completed at one's own pace. The script mentions checking the exercises during a synchronous session, indicating a blend of learning methods.

Highlights

Introduction to the relationship between exponentiation and roots.

Understanding the conversion between roots and exponents.

Learning to rationalize the denominator of radical expressions.

The formula a^(p/q) = C, where a ≠ 0 and q ≠ 0, and q > 2.

Conversion of exponents to roots and vice versa, emphasizing the position of p and q.

Example of converting 7^(1/3) to a radical expression.

Explanation of how to change the exponent of a variable within a radical.

Operations on radicals, including addition and subtraction.

Condition for adding or subtracting radicals: the index and radicand must be the same.

Example calculation: 6√3 + 2√3 simplifies to 8√3.

Multiplication and division of radicals with the same index.

Simplification of radicals when the index and radicand are the same.

The property that a^(n/n) simplifies to a, removing the radical.

Rationalization of the denominator in radical expressions.

Method to simplify fractions with radicals in the denominator by multiplying by the conjugate.

Example of rationalizing the denominator: 2/√7 simplified to 2√7/7.

Instructions for students to practice the operations on radicals during asynchronous sessions.

Assignment to complete exercises in the workbook for the next synchronous session.

Transcripts

[Musik]

Oke jadi untuk pertemuan hari ini kita

akan belajar mengenai bentuk akar dengan

tiga subtopik yang akan kita capai hari

ini yaitu yang pertama melihat hubungan

perpangkat dengan akar setelah kita tahu

cara konversi antara akar ke pangkat

ataupun sebaliknya kita akan belajar

operasi hitung bentuk akar baru kita

bisa merasionalkan penyebut btuk akar

Oke jadi pertama kita langsung masuk ke

hubungan antara perpangkatan dengan akar

Nah misalkan kita punya sebuah bilangan

a yang adalah bilangan Ril di mana a ini

tidak boleh sama dengan 0 dan harus

lebih daripada 0 serta ada juga bilangan

lain yaitu p/q yang adalah bilangan

pecahan dengan Q tidak boleh sama dengan

0 serta harus lebih dari sama 2 maka

berlaku sebuah persamaan a^ p/q = C Nah

ini kan bentuk berpangkat ya kalau kita

ubah ke dalam untuk akar dia akan

menjadi C = ak p q dari a dari a^ P ya

Sekali lagi C = ak^ Q dari a^ P jadi

perhatikan posisi P dan q-nya ya P dan Q

mana Yang kalau dari pangkat ketika

dipindahkan jadi akar dia akan jadiadi

nilai pangkat akar pangkatnya gitu ya

Nah terus mana Yang kalau dari bentuk

pangkat dipindahkan jadi ke bentuk akar

dia akan menjadi ee nilai dari pangkat

ee di dalam akarnya

perhatikan posisinya atau a^ p/q = ak p

q dari a^ P nah udah ya ini basicnya

jadi harus e pahami dulu dan sebenarnya

enggak terlalu sulit karena kalian hanya

perlu memahami posisinya aja posisi

perpindahannya aja dari pangkat ke akar

maupun sebaliknya biar lebih paham kita

coba lihat contoh beberapa ini Nah kita

punya beberapa bilangan bentuk

berpangkat Nah kita akan ubah ke dalam

bentuk sor kita punya berapa bentuk e

bilangan akar kita akan ubah ke dalam

bentuk berpangkat contoh √3 dari 7 ^ 3

dari 7 berarti = 7^ 1/3 karena di sini

7nya pangkat 1 ya kalau enggak ditulis e

pangkat berapa Berarti dia tuh pangkat 1

Oke atau misalnya ini ak^ 5 dari 3x^ 2

Nah berarti

3x^ ya kita ubah dulu

3x^ 2 dikalikan dengan eh

1/5 ya karena nilai di dalam akar ini

3x^ 2 ini pangkatnya 1 kalau kita buat

kurung lagi ya makanya waktu dikeluarin

1/5

udah tinggal dikaliin nanti dapatnya 3x^

2/5 atau langsung atau kalau mau

langsung juga enggak apa-apa Jadi 3x^

2/5 langsung tanpa harus kalian buat e

1/5nya dulu itu juga enggak

masalah oke Sekarang kita akan lanjut ke

operasi bentuk ak operasi hitung bentuk

akar ya Jadi kita lihat beberapa operasi

ya Mulai dari operasi penjumlahan dan

pengurangan dulu

ya Jadi untuk setiap PQ dan R yang

adalah bilangan RI berlaku R harus lebih

dari sama 0 ya Nah untuk penjumlahan

bentuk akar contoh e bentuk persamaannya

P ak p n Dar R + Q * ak p n Dar r = p +

q * pangkat n dari R Nah lihat kalau

untuk e penjumlahan bentuk akar ini

sebenarnya yang dijumlahkan cuma bagian

depannya aja nih yang nilai bagian depan

akarnya aja yau P dan Q ya Oke jadi

contoh 6√3 + 2√3 berarti yang kita

jumlahkan cuma 6 dan 2 ditambahin

berarti dapat

8√3 Tapi ada syaratnya ya syarat untuk

bisa menjumlahkan angka depannya itu

adalah akar pangkatnya harus sama serta

nilai dalam aknya harus sama ini kan

sama-sama akar p n kan eh kemudian juga

nilai dalam akarnya juga sama sama-sama

e r bernilai R artinya suatu bilangan

yang sama Nah baru bisa kita jumlahkan

dan itu juga berlaku untuk pengurangan

ya p* ak p n Dar R di- Q * p n Dar r = p

- q ak p n Dar R jadi sama ya kita bisa

mengoperasikan penjumlahan pengurangan

kalau nilai dari akar pangkat suku-suku

yang kita operasi itu sama ya artinya

nilainya sama satu bilangan yang sama

maupun nilai di dalam akarnya juga Sama

ya sama-sama R artinya satu bilangan

yang sama lalu yang kita operasiin yang

e tambah maupun yang kurang itu hanya

nilai bagian depan akarnya aja yaitu p -

q contoh 5 E √^ 3 dari x - 7 √^ 3 dari X

Nah ini kan sama ya sama-sama ak p 3 dan

sama-sama nilai dalam makarnya X berarti

kita bisa melakukan operasi pengurangan

5 - 7 berapa apa - 2√ p 3 dari X udah

selesai selesai jadi enggak susah kan so

eh Kesimpulannya adalah operasi

penjumlahan dan pengurangan pada bentuk

akar bisa kita lakukan apabila bentuk

akarnya senama ya dengan kata lain nilai

akar pangkatnya

sama maupun nilai dalam akarnya sama

Jadi kalau yang kalau beda harus Sain

dulu ya baru bisa dioperasiin operasi

tambah maupun

kurang lanjut perkalian dan pembagian

bentuk akar Nah kita mulai dari yang

EE cara untuk ngubah dulu ya karena ini

basicnya cara untuk konversi dari bentuk

akar ke pangkat Jika a bilangan riil dan

a tidak harus lebih dari 0 maka kita

maka berlaku eh ak p n dari a^ n = a^

n/n = a Jadi kalau nilai akar pangkatnya

sama dengan nilai pangkat dari ee dalam

akar ya Otomatis akarnya bakal hilang

maka tersisanya hanyalah nilai

eh apa ya bilang basisnya aja anynya

doang gitu ya bilangan pokoknya aja itu

sifat yang pertama nah terus sifat yang

kedua Jika a b c dan d adalah bilangan r

dan C dan maupun D harus Le dariama 0

maka ya kalau kita kalikan a* ak p n Dar

c* B ak n d ya kalau untuk perkalian itu

e syaratnya

itu syaratnya itu bisa dilakukan kalau

akar pangkatnya sama seperti ini akar

Pang n ya kan berarti e satu nilai yang

sama kan kedua suku ini kan ber berarti

kita bisa mengalikan ya kita bisa

melakukan operasi perkalian lalu yang

dikalikan apa aja ser yang dikalikan itu

yang bilangan di luar dengan yang di

luar seperti a * b ini kan di luar ya

kita kalikan ya kemudian yang di dalam

juga kita kalikan yang c dengan D kita

kalikan juga jadi hasilnya a * b * ak p

n Dar c * d

Oke untuk pembagian juga sama Jika a b

dan c adalah bilangan riil dan c dan d

harus lebih daripada 0 maka jika a Kal

ak p n Dar C Dib B * ak n Dar D maka

karena akar pangkatnya sama sama-sama n

ya berarti satu bilangan yang sama

berarti kita bisa melakukan operasi

pembagian n kita bisa mempermudah dengan

memisahkan a/b-nya itu dipisahkan dengan

bentuk akarnya jadi

a/b kemudian ee akar yang awalnya du ya

kan kita bisa ubah menjadi satu akar aja

dengan nilai akar pangkat yang sama

yaitu n akar pkat n ya Di dalamnya c/d

sudah selesai nah berhasil perkalian

pembagian pada bentuk akar dapat

dilakukan apabila memiliki indeks yang

sama indeks yang sama walaupun basis

berbeda ya Indeks ini maksudnya apa akar

pangkatnya guys ak p n ya nilai dari

akar pangkatnya harus sama besis itu

yang mana Ini nih yang CD CD itu

basisnya

oke nah sudah selesai ya itu untuk

operasi sekarang kita masuk ke cara

merasionalkan bentuk eh akar pada bagian

penyebut Nah jadi kalau kita punya

bentuk pecahan dengan di bagian

penyebutnya itu bentuk akar berarti itu

bentuk belum sederhana jadi kalau kita

menemukan bentuk-bentuk seperti itu kita

perlu menyederhanakan dia caranya gimana

ya kita rasionalkan jadi ee Cara

menyederhanakan bentuk akar di bagian

penyebut disebut dengan cara

merasionalkan akar Contohnya seperti ini

nih

a/akb Nah cara merasionalkannya sudah

tinggal kita kalikan dengan bentuk

Sekawan bentuk Sekawan itu yang mana Sar

bentuk Sekawan itu adalah bentuk akar di

bagian penyebut Jadi kalau a/ ak B

berarti bentuk sekawannya adalah AKB Ya

sudahud tinggal a/akb kita kalikan

dengan

akb/akb kayak gitu ya Jadi kalau ini ak

C berarti * c/ akc kalau akd berarti A *

d/ akd udah tinggal a * b a ak B ya kan

AKB * AKB ingat kalau ak2 kita kalikan

ee dengan istilahnya basisnya sama dari

kedua suku tersebut kedua bentuk akar

tersebut maka akarnya hilang tinggal

b-nya aja

ya contoh 2/ak7 berarti 2 * 2/ak7 *

√7/ak7 dapatnya

2√7/7 ya oke nah bentuk yang lain

Misalnya ini a/b + c a/b - c a/√b + c

maupun a/akb - akc nah cara

merasionalkan sama ya kita kalikan

dengan bentuk Sekawan ya contoh 1/ 3 - 5

nah Berarti bentuk sewanya adalah yang

ini kan 3/ak5 nah tapi kalau kita

kalikan ada sedikit perubahan guys ya

karena di bagian penyebut ini kan ada

dua suku yang dipisahkan oleh tanda

operasi kurang kan berarti kalau kita

mau kalikan dengan kalau kita mau bawa

ke bentuk seakawan tanda operasi kurang

itu akan menjadi terbalik yaitu menjadi

tambah jadi bentuk sewanya bukan 3 - 5

ya tapi 3 +

ak5 nah tandanya berubah hati-hati kalau

misalnya di sini tambah berarti akar

sekannya akan menjadi kurang jadi sesuai

dengan

e tanda yang awalnya gitu dia akan

berubah istilahnya apa ya terbaliklah

tandanya itu kalau tambah kurang kalau

kurang tambah

contoh 1/3 ak 1/3√5 berarti bentuk

sewnya kan 3 + √5/3 + √5 kita kalikan ya

untuk seanya nanti kita peroleh 1 * 3 3

1 * + √5 +√5 udah selesai Nah sekarang

giliran yang ini ni yang bagian penyebut

Nah kita kalikan seperti kali Pelangi ya

jadi 3 * 3 ini ya kemudian 3 * +√5 ini

ya Lalu -√5 * 3 ini ya -3√5 terakhir

min√5 * plus √5 min Kal plus ya Min dong

menang 5 * 5 25 makanya 25

udah deh kita sederhanain berarti yang

atas tetap 3 + √5 yang bagian bawah kan

3 * 3 9 ya kan Nah terus + 3√5 - 3√5 kan

ingat 3 - 3 0 ya kan 0 * √5 0 juga

Berarti habis ya karena ee ya kalau kita

operasi

secara matematis ini bernilai 0 sesuai

sesuai dengan sifat-sifat dari si akar

kurang

√25 terus 3 +

√5/ 9 - 5 ya karena 25 itu adalah 5 Nah

sudah tinggal 3 + 5/4 sudahah Enggak

lagi karena k di bagian penyebut berarti

ini udah sederhana udah

selesai nah supaya lebih paham punya

beberapa latihan soal yang perlu kalian

kerjakan selama sesi asinkronus ini nah

jadi silakan dikerjakan di buku tugas ya

atau buku latihan juga enggak apa-apa

nanti kita akan langsung periksa pada

saat sesi sinkronus pertemuan kedua

minggu ini Oke sampai jumpa demikian S

asinkronusnya sampai jumpa Tuhan berkati