Factorización por factor común

Summary

El guion del video explica el método de factorización por factor común en ecuaciones y expresiones algebraicas. Se ilustra cómo identificar el factor común en cada término y cómo escribirlo fuera de los paréntesis, mostrando los factores restantes para cada término. Se dan ejemplos con variables y números, destacando la importancia de elegir el exponente más pequeño para las variables y el mayor divisor común para los números. El proceso se ejemplifica con varias expresiones, enseñando a los estudiantes cómo simplificar y verificar sus resultados.

Takeaways

• 📚 El factor común es una técnica para descomponer expresiones algebraicas, buscando un factor presente en todos los términos.
• 🔍 Es importante identificar correctamente el factor común, ya sea una variable, un número o una combinación de ambos.
• 📉 Al encontrar el factor común, se debe tomar el exponente más pequeño de las variables y el divisor más grande de los números.
• ✂️ El proceso de factorización implica extraer el factor común de cada término y escribirlo fuera de un paréntesis.
• 📝 Al eliminar el factor común, se deben escribir los factores restantes dentro del paréntesis junto con su signo correspondiente.
• 🔢 En expresiones con números, es crucial hallar el mayor divisor común para el factor común numérico.
• 🆚 Al comparar exponentes de variables, se debe seleccionar el menor exponente como el factor común de esa variable.
• 📉 Al factorizar, se verifica la operación multiplicando el factor común por cada término restante para asegurar la corrección del resultado.
• 📌 Es fundamental prestar atención a los signos de los términos, ya que afectan la escritura del factor común y los términos restantes.
• 📐 En casos donde no hay una variable común, se debe buscar un número común que divida a los coeficientes numéricos.
• 📝 Al final del proceso, el resultado debe ser una representación simplificada de la expresión original, mostrando claramente el factor común y los términos restantes.

Q & A

¿Qué es el factor común en la factorización de una expresión algebraica?

El factor común es un término o número que aparece en cada término de la expresión y que se puede extraer para simplificarla.

¿Cómo se identifica el factor común en una expresión algebraica?

Se identifica observando qué términos o números aparecen en cada término de la expresión y determinando cuál es el menor exponente o el menor número que divide a todos los términos.

¿Qué es la factorización por el método del factor común?

La factorización por el método del factor común consiste en extraer un factor común de todos los términos de una expresión algebraica para simplificarla.

¿Cuál es el primer paso al factorizar una expresión por el método del factor común?

El primer paso es identificar el factor común en todos los términos de la expresión.

¿Qué se hace después de identificar el factor común en la factorización?

Después de identificar el factor común, se escribe este factor una vez y se abren paréntesis donde se escriben los factores restantes de cada término después de haber extraído el factor común.

¿Cómo se factoriza una expresión que tiene varios términos con una variable común?

Se toma la menor potencia de la variable común y se extrae de todos los términos, luego se escribe en paréntesis los factores restantes de cada término.

¿Cómo se factoriza una expresión que tiene varios términos con números comunes?

Se busca el mayor divisor común de los números y se extrae de todos los términos, luego se escribe en paréntesis los factores restantes de cada término.

¿Qué sucede si en una expresión no hay una variable común entre todos los términos?

Si no hay una variable común, se busca un número común que divida a todos los términos o se factoriza cada término por separado.

¿Cómo se verifica que la factorización de una expresión sea correcta?

Para verificar la factorización, se multiplica el factor común por cada término dentro de los paréntesis y se debe obtener la expresión original.

¿Qué se debe hacer si en una expresión se tienen variables y números y se desea factorizar por el método del factor común?

Se debe identificar el factor común en las variables y en los números, extraerlo y luego escribir en paréntesis los factores restantes de cada término.

Outlines

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🧩 Factorización por factor común

El primer párrafo explica el concepto de factorización por factor común. Se describe cómo identificar un factor común en varias expresiones algebraicas y cómo extraerlo para simplificar la expresión. Se menciona que se debe buscar el factor que se repite en cada término y cómo se representa la factorización con paréntesis. Se da un ejemplo de cómo factorizar una expresión con dos términos que comparten un factor 'x', demostrando que al multiplicar el factor común por los términos restantes se obtiene la expresión original.

05:05

🔍 Identificando el factor común en expresiones complejas

El segundo párrafo profundiza en la factorización de expresiones más complejas que incluyen múltiples variables y exponentes. Se enfatiza la importancia de elegir el exponente mínimo para cada variable y el divisor común para los números. Se ejemplifica cómo se factoriza una expresión con términos que comparten factores 'a' y 'b', encontrando los exponentes más bajos y el divisor común para los números. Se sugiere también cómo verificar la factorización multiplicando el factor común por los términos restantes.

10:07

📚 Factorización con variables y números

El tercer párrafo aborda la factorización de expresiones que contienen tanto variables como números. Se explica que se debe buscar el factor común entre las variables y los números, identificando el exponente más bajo para las variables y el mayor divisor común para los números. Se da un ejemplo de cómo factorizar una expresión con términos que comparten 'xy' y cómo se manejan los números y variables individuales. Se destaca la importancia de verificar la factorización al multiplicar el factor común por los términos restantes.

15:11

🔢 Factorización de expresiones con números y variables únicas

El cuarto párrafo trata sobre la factorización de expresiones donde solo hay un factor común entre algunos términos. Se describe cómo se factoriza una expresión donde 'm' es el único factor común entre dos términos y cómo se identifica el número que divide los números restantes. Se ejemplifica cómo se factoriza una expresión con términos que comparten 'm' y cómo se maneja la falta de un factor común en los números. Se sugiere que si hay incertidumbre en la factorización, se puede verificar multiplicando el factor común por los términos restantes.

Keywords

💡Factorización

La factorización es el proceso de descomponer una expresión algebraica en un producto de factores más simples. Es un tema central en el video, ya que se utiliza para simplificar y comprender mejor las ecuaciones algebraicas. En el guión, se explica cómo factorizar utilizando el método del factor común, lo cual es fundamental para resolver ejercicios y entender la estructura de las expresiones.

💡Factor común

El factor común es un término o número que aparece en cada término de una expresión o ecuación y que se puede extraer para simplificarla. En el video, se enfatiza la importancia de identificar el factor común para poder factorizar correctamente, ya que es la clave para descomponer la expresión en sus componentes más simples.

💡Algebra

La álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre cantidades variables y constantes. En el contexto del video, la álgebra se utiliza para manipular y factorizar expresiones algebraicas, lo cual es esencial para resolver problemas y comprender la estructura de las ecuaciones.

💡Expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de variables, números y operadores matemáticos. En el video, se discute cómo factorizar estas expresiones para simplificarlas y hacerlas más fáciles de entender y manipular, lo cual es una habilidad clave en la resolución de problemas matemáticos.

💡Término

Un término en una expresión algebraica es una parte que se separa por un signo, como '+' o '-'. En el video, se explica cómo identificar los términos y cómo factorizar cada uno de ellos utilizando el factor común, lo cual es crucial para la factorización correcta de la expresión completa.

💡Signo

El signo en una expresión algebraica indica la relación entre los términos, como suma o resta. En el guión, se menciona cómo el signo influye en la factorización, ya que es necesario tener en cuenta el signo al extraer el factor común y al escribir los factores restantes dentro de los paréntesis.

💡Exponente

El exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica una variable por sí misma. En el video, se discute cómo identificar y manejar los exponentes al factorizar expresiones, lo cual es esencial para determinar el factor común y simplificar la expresión.

💡Número primo

Un número primo es un número natural que solo se puede dividir por sí mismo y por 1. En el guión, se menciona que en algunos casos, los números primos pueden ser factores comunes en la factorización, lo cual ayuda a entender la estructura de los números y las expresiones algebraicas.

💡Divisor común

El divisor común es un número que puede dividir dos o más números enteros sin dejar resto. En el video, se destaca la importancia de encontrar el mayor divisor común para factorizar correctamente las expresiones que contienen números, lo cual es crucial para simplificarlas y comprender mejor su estructura.

💡Paréntesis

Los paréntesis se utilizan en matemáticas para agrupar términos y operaciones. En el contexto del video, se explica cómo utilizar los paréntesis al factorizar expresiones, indicando que se escriben después del factor común y contienen los factores restantes de cada término, lo cual es esencial para la factorización correcta.

💡Ecuación

Una ecuación es una afirmación que equilibra dos expresiones algebraicas mediante un signo de igualdad. En el video, se menciona cómo la factorización se utiliza para resolver ecuaciones, ya que al simplificarlas se pueden encontrar las soluciones más fácilmente.

Highlights

El método de factorización por 'factor común' es fundamental para entender la idea detrás de la factorización algebraica.

Se puede representar un término desconocido con un símbolo como un triángulo o un círculo para ilustrar la estructura algebraica.

El factor común es un factor que aparece en cada término de la expresión y se puede representar como el producto mínimo de dos cosas.

Al factorizar, se busca el factor que sea común en todos los términos y se extrae de la expresión.

Se ilustra cómo factorizar un término con un factor común representado por un triángulo y otro por un círculo.

Se muestra cómo factorizar una expresión con términos que tienen un factor común 'x', siendo 'x' el factor más pequeño común.

Se explica que al factorizar, se debe considerar el signo de cada término y cómo afectará al factor común.

Se demuestra el proceso de factorización paso a paso, destacando la importancia de identificar correctamente los factores comunes.

Se enfatiza la necesidad de verificar el resultado de la factorización multiplicando el factor común por cada término restante.

Se presenta un ejemplo de factorización con términos que tienen 'a' y 'b' como factores comunes, destacando la importancia de elegir los exponentes más pequeños.

Se explica cómo factorizar una expresión con números y variables, buscando el divisor común más grande para los números.

Se muestra cómo factorizar una expresión con variables y números, identificando el factor común 'xy' y el divisor común '6'.

Se destaca la importancia de no incluir variables o números que no sean comunes en todos los términos al factorizar.

Se presenta un ejemplo donde el factor común es una variable 'm' y se busca el número que divide los coeficientes de los términos.

Se ilustra cómo factorizar una expresión con un factor común numérico '5', identificando los números que multiplican por '5' para dar los coeficientes.

Se enfatiza la importancia de verificar la factorización al multiplicar el factor común por cada término restante y compararlo con la expresión original.

Transcripts

To factorize an algebraic equation or expression by the method "common factor",

is important to understand the idea.

Let's suppose that we have a term, that I don't know which sign has, so it can be "+" or "-",

I don't know the structure, so I'm going to represent it with something,

and next, there is another term that we don't know how it is,

and like this, I could have many terms.

We'll use this method when we have a factor,

I mean, that I can represent the every factor as the minimum product of 2 things;

and one of those factors has to be the same in every term.

Let's suppose that I can represent this term as

the multiplication of a triangle, that would be an equation,

and a circle that would be another equation or expression

In the next term, to represent it as the product of 2 algebraic expressions,

the firts, also will be a traingle and the other one will be different,

suppose this will be a squart. Every one will have the triangle as common factor.

So the last term also has a triangle and will be multiplied by a star.

Then, all this thing has to be equal to have a sign and get the common factor,

in this case all the terms has the traingle factor: I write it here, and next we're going to wirite a parentheses,

and inside of the parentheses we'll write each factor is left of every term.

For example, in the first term, depending if it has "+" sign or "-" sign, we have to wirte first the sign;

and if I remove the triangle factor is left the circle factor:

and we'll do the same with the other terms.

in the second term, if I remove the triangle would be left the squart, and so on,

in the last term would be left the star,

therefore, the general idea of factorize by common factor is:

Find a factor that is in all the terms, remove it, I mean, you only have to write it one time,

and open a parentheses or multiplication, where you'll write the factors left over of each term.

Let's start with this exercise. Here we have 2 terms,

remember that a term is separared by a sign, so, if the firs number has no sign, means that is "+",

so here starts the term and ends where there's another sign and starts the other term.

In every term I have "x" as a factor, means that, in the frst: "x^2",

it means that the "x" is multiplying its selfs for 2 times,

and it is multiplying 1 time by what?... well, if there is no number,

you know that there is always multiplying a number 1 and we write the same sign.

Therefore we can clearly see that minimun there is a "x",

and this will be our common factor. That is the difficult part, finding the common factor of the expression.

In this case is "x" and we'll write a parenthesis, the first term is multiplying

"x" by 2 times, if we remove one "x", which is the one I wrote, remain's one "x",

or the other way is, if I have one "x" outside, Which factor I need inside that multiplying by the "x" gives me "x^2"?,

if I have one "x" ¿How many are missing? only 1. And I finished. Now the next term:

It has "+" sign, I write "+" sign, Which factor has to multiply the "x" to being to "x"?

We can see that if we remove the "x", only remains number "1".

So, "(1)(x)=x"

I can not write "x" because "(x)(x)=x^2" and that's wrong;

thus, the result is "x(x+1)", and we finished.

If we want to verify the result, if we multiply them,

then we'll get the algebraic expression of the exercise: "(x)(x)=x^2", we wirte "+", "(x)(1)=x". And the result is corrrect.

In this exercise we have 3 terms,

And, we can see that the common factor are "a" and "b",

so, the common factor is "ab"; but, we have to pay atention in the common factor,

this has to be the maximum factor of the whole expression.

As we see, there's not only an "a" and "b", as I'm writting it here,

The first has "a" multiplying by 2 times, the second has 7 times,

the third has it 4 times. Therefore, in common they have minumum 2 times "a",

then, the common factor in "a" is not 2 time, is 2 times.

Therefore, we have to take the smallest exponent of letter "a", in this case it is "2",

and in the case of "b" following the same idea, the smaller exponent is "5".

So, we wirte the smaller exponents of each letter of the expression.

"a" has exponent 2, 7 and 4, we write exponent "2", in the case of "b" has exponent: 5, 6 and 18, we write 5.

We'll wirte a parenthesis and we'll try to find the common factors.

To get the first term, then the second term, and finally the third term.

Okay. The first term is positive, write: "+" sign, ¿How many "a" are missing to multiply, the 2 "a" that I have 'outside' and et "a^2",

No one, I have the 2 "a" that I need, so now lets go to "b";

if I have "b^5", ¿How many "b" do I need to multiply and get "b^8"?.,

remember that when is multiplying the same exponential base, this sums,

So, if I want to get "8", I need to multiply by "3", then, "5+3=8". So there is missing "3" and I write it like this: "b^3".

So when I multiply the numbers that are inside, by the factor, this remains the first term.

Let's do the next one. I have "-", I write "-" and we start with the "a",

¿How many "a" are missing to multiply "a^2" and get "a^7"?, there are missing "5".

In the case of "b", I have "5" and in th equation I have "6", so there are missing "1".

When there is no exponent written, we understand that the exponent is 1, You can write it if you want.

Let's do the last term: Says "+", we write "+",

¿How many "a" do I need to multiply "a^2" and get "a^4"?, I need 2.

In the cas of "b", I have "b^5 and the common factor is "b^5, so I don't need more "b".

And I finished. If you want to verify the result, when you multiply the common factor

by each term, You have to get the first expression.

When you have to factorize an expression with numbers bigger than 1,

you have to look for a number that will divide all the other numbers. In this case,

all the terms has "x", the common factor is "x", but we have to take the smaller exponent, which is "3".

Here is no problem, every term has minimum 3 times the letter "x".

In the case of the numbers, we have to look for a number that will divide each number, seemingly is the number "2",

but the number "2" is not the biggest number that divide them, or the greates common divisor, it is "4".

If you divide the numbers and get the prime number of each one,

the number "12" would be: "2x2x3" the number "8": "2x2x2x" and the number "32": "2x2x2x2x2".

We can see that minimun number, every number has 2 times the number "2",

thus, the biggest number that dive them is: "4".

You don't have to do this, if you know another way to resolve it, do it, but you have to take the greatest common divisor,

and in the variable we take the smaller exponent. This is a little bit more complicated but we find the common factor.

Write parenthesis, and do the same. Let's start with the sign, the firs number of the expression is "+", so we write "+",

and the common factor, is also "+", so "(+)(+)=+".

Now the number: Which number multiplied by "4" remains "12"?, would be "3";

and now, how many "x" do I need to multiplied them and get "x^5"?,

the common factor bas 3 "x", so there are missing 2 "x". We finish the first term,

the next term says: "-" I write "-", What number multiplied by "4" gives me "8"?, the number "2",

which is the one I have outside , and then, How many "x" are missing to get "x^12" if I have "x^3"?, there are missing "9".

So I write "x^9". The last term says "-" so "(+)(-)= -",

what number multiplied by "4" gives "32"?, that number is "8".

How many "x" do I need to get "x^3" if I have 3 "x"?

I don't need any, thus, I do not write any "x".

Next exercise: Here we have 3 term also and we can see that every term has "xy" in common,

here we have a "z", but does not appear in the other terms, so, the letter "z" in not common factor.

So the variables that appear in every term are "x" and "y",

and we have to take the smallest exponent of each variable, in the case of "x", we have 4th power, 3rd power and 3rd power again,

so the smallest exponent is "3". In the case of "y". The first "y" does not have exponent so we understand that the exponent is "1",

and there is nothing smaller than "1", so I leave it like that.

In the case of numbers, we have to look for the maximum common divisor,

I mean the biggest number that divide all of the numbers we have: the number 2, divides them, but is not the biggest number,

the number 6 divides the three numbers, so this is going to be the maximum common divisor.

Now we'll write parethesis and complete what is missign to find the first term.

This is "+", I don't have to write the positive sign because is the first term, what number multiplied by "6" remains "6"?, number "1".

In the case of "x", how many times do I have to multiplied them to get "x^4"?, 1 time.

"(1)(x)=x", is not needed to write the number "1", so I prefer not writting it,

because the teachers don't use to write it in the exams and books, but you can write it if you think is better.

In the case of "y", I have 1, so I don't have to add another. Next term says: "+", I write "+",

what number multiplied by "6" gives me "18"?, number 3.

How many "x" do I need to get "x^3"?, I don't need any one, so I don't add it.

In the case of "y", how many "y" I need to get "y^2" if I have 1 "y"?, I need another "y", I write "y" and the last terms says "-", I write "-",

What number multiplied by "6" gives me "30"?, number 5.

How many "x" do I need to multiplied them by "x^3" and give me x^3?, no one, so I write nothing.

In the case of "y", if I have 1, how many " y" I need to get "y^5"?, I need 4;

and I have to add the "z",

And we finished. Remember that if you're not sure about my result,

you just have to multiply the common factor by each term and you have to get the whole expression.

Finally, we'll resolve this exersice: In this we can see that the "m" is in both terms.

so we can write "m" as the common fator, and we get the smallest exponent which is "2".

After, we have to look for a number that divides the "7" and "5", but we can't find because they are prime numbers,

so, the number "1" is the only number that will always divide any number;

we can write it before the "m". After, we write a parenthesis

and we'll look for the factor that multiplied by the common factor may give me the first term and the second term,

so, we start with the sign, the common factor and the first term are positive, so is not needed to write it.

Now, what number multipied by "1" gives me "7"?, number "7".

Now the variable, how many "m" do I need to get "m^2?, I don't need any, so I don't write it.

Now the second term: says, "-", so I write "-".

what number multiplied by "1" gives me "5"?, number "5".

and, if I have "m^2", how many "m" do I need to get "m^6"?, I need "4" and we finished.

In this term, we can see that there is no common variable,

the only thing is that maybe exist a number that divides both numbers, which is "5",

Simply, this is the common factor, there is no variable in common. Write parethesis.

what number or variable multiplied by "5" gives me "15"?, is "3".

In the case of the variable is missing "x^6", I have to add it to the common factor, inside of the parenthesis.

Remember that when we multiplied the first factor by the common factor, remains the whole term.

Now the next term: is negative, I write "-", what number multiplied by "5" gives me "10"?, is "2".

In the case of the variables, as I don't have any as common factor,

I have to write all the variables that are missing, like "y^5".

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