171. Laplace Transform hyperbolic sine, using definition of sinh

MateFacil
7 Jun 201704:04

Summary

TLDREn este video, se explica cómo calcular la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at utilizando la definición del seno hiperbólico y las propiedades de las transformadas vistas en videos anteriores. Se demuestra paso a paso cómo obtener la expresión final, simplificando fracciones y utilizando las transformadas de exponenciales. Al final, se presenta un ejemplo práctico con a = 3. Además, se invita a los espectadores a calcular la transformada del coseno hiperbólico y se les anima a interactuar con el contenido mediante likes, suscripciones y comentarios.

Takeaways

  • 😀 Se explica cómo calcular la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at.
  • 😀 Se utiliza la definición del seno hiperbólico, que es (e^x - e^(-x))/2.
  • 😀 La fórmula se aplica específicamente para el caso de at, resultando en (e^(at) - e^(-at))/2.
  • 😀 Se utiliza la propiedad de que las constantes pueden ser sacadas fuera de la transformada, lo que simplifica el cálculo.
  • 😀 La transformada de Laplace de una resta de exponenciales se calcula por separado para cada término.
  • 😀 Se hace uso de una fórmula previa para la transformada de e^(at), que es 1/(s - a).
  • 😀 Para e^(-at), la transformada es 1/(s + a).
  • 😀 Se simplifica la resta de fracciones multiplicando cruzado, resultando en (s + a) - (s - a).
  • 😀 El resultado de la resta de fracciones es 2a en el numerador y s^2 - a^2 en el denominador.
  • 😀 Finalmente, se obtiene la fórmula de la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at: 2a / (s^2 - a^2).
  • 😀 Se muestra un ejemplo práctico de cómo calcular la transformada de seno hiperbólico de 3t, con el resultado 3 / (s^2 - 9).

Q & A

  • ¿Qué es la transformada de Laplace del seno hiperbólico de at?

    -La transformada de Laplace del seno hiperbólico de at es igual a a / (s² - a²), donde 'a' es un valor constante.

  • ¿Cuál es la definición del seno hiperbólico de X?

    -El seno hiperbólico de X se define como (e^x - e^(-x)) / 2.

  • ¿Cómo se obtiene la transformada de Laplace del seno hiperbólico?

    -Se utiliza la definición del seno hiperbólico, reemplazando X por 'at', y luego se calcula la transformada de Laplace de cada término exponencial por separado, sumando y restando sus transformadas.

  • ¿Qué propiedad se aplica para sacar el 2 del denominador en la transformada de Laplace?

    -Se aplica la propiedad de que una constante puede ser extraída de la transformada de Laplace, y en este caso, como está en el denominador, se convierte en 1/2.

  • ¿Cómo se calcula la transformada de Laplace de una resta de exponenciales?

    -Se calcula la transformada de Laplace de cada exponencial por separado, utilizando la fórmula transformada de e^(at) = 1 / (s - a) y la transformada de e^(-at) = 1 / (s + a), luego se resta ambas transformadas.

  • ¿Cuál es la fórmula para la transformada de Laplace de e^(at)?

    -La fórmula es 1 / (s - a).

  • ¿Cómo se simplifican los resultados al restar las fracciones en la transformada de Laplace?

    -Se realiza una resta cruzada multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. El resultado en el numerador es 2a y en el denominador se obtiene una diferencia de cuadrados, s² - a².

  • ¿Por qué se cancela el término 's' en el numerador después de realizar la resta de fracciones?

    -Porque al hacer la resta, los términos 's' se cancelan entre sí, dejando solo el término 2a en el numerador.

  • ¿Cómo se obtiene la fórmula final para la transformada de Laplace del seno hiperbólico?

    -La fórmula final se obtiene simplificando la expresión resultante después de la resta de fracciones, y cancelando el factor 2 que aparece en el numerador y denominador, lo que deja a / (s² - a²) como la fórmula final.

  • ¿Cómo se calcula la transformada de Laplace del seno hiperbólico de 3t?

    -Se sustituye 'a' por 3 en la fórmula final de la transformada de Laplace, obteniendo 3 / (s² - 9).

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