TEOREMA de STOKES 😍 Explicacion y EJERCICIOS
Summary
TLDREl video ofrece una explicación detallada del Teorema de Stokes, un concepto fundamental en la física y las matemáticas que permite transformar integrales de línea en integrales de superficie para campos vectoriales. Seguidamente, el video guía a los espectadores a través del proceso de cálculo de la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada, utilizando la integral de superficie. Se discuten las herramientas necesarias para este cálculo, incluido el rotacional del campo, la obtención del vector normal unitario a una superficie y el cálculo del diferencial de superficie. Luego, se aplican estos conceptos en dos ejemplos prácticos: uno para calcular la circulación de un campo vectorial en un plano definido por cuatro puntos y otro para encontrar el flujo del rotacional de un campo a través de un cono. El video concluye con un ejercicio propuesto para la práctica, destacando la importancia de seguir un enfoque ordenado y tener una comprensión clara de los conceptos para resolver estos tipos de problemas.
Takeaways
- 📚 El Teorema de Stokes nos permite transformar integrales de línea en integrales de superficie, lo que a menudo simplifica cálculos en física y matemáticas.
- 🔍 Se aplica el Teorema de Stokes cuando el campo vectorial F es continuo y diferenciable en R³, lo que permite calcular la integral de circulación.
- 📐 La integral de circulación a lo largo de una curva cerrada C es igual al flujo del rotacional del campo sobre una superficie orientada S, cuya frontera es C.
- ✋ Utilizando la regla de la mano derecha, se determina la orientación de la superficie S consistente con la dirección de la circulación en C.
- 🎓 El rotacional del campo (curl) indica la dirección sobre la que el campo induce una rotación y es un vectorial que se calcula a partir de las derivadas parciales.
- 📏 El vector normal unitario a la superficie S en cada punto apunta hacia el exterior de la superficie y se obtiene a partir de las derivadas parciales de la parametrización de la superficie.
- 📈 El diferencial de superficie se calcula como el módulo del vector normal multiplicado por el diferencial de área de la región donde se integra.
- 🧮 Para calcular el flujo del rotacional del campo a través de la superficie, se multiplica el rotacional del campo por el vector normal unitario y luego se integra en la región de interés.
- 📈 En el ejemplo dado, la superficie es un plano definido por cuatro puntos, y el vector normal se calcula a partir de la parametrización del plano.
- 📐 En el segundo ejemplo, la superficie es un cono parametrizado en coordenadas polares, y el vector normal se calcula a partir de las derivadas parciales con respecto a r y θ.
- 📝 Al final del video, se proporciona un ejercicio para practicar el cálculo de la integral de circulación y el flujo del rotacional del campo a través de una superficie, lo que ayuda a reforzar la comprensión del Teorema de Stokes.
Q & A
¿Qué permite hacer el Teorema de Stokes?
-El Teorema de Stokes permite cambiar una integral de línea por una integral de superficie, lo que es útil ya que en la mayoría de los casos las integrales de superficie son más sencillas de calcular que las de línea.
¿Cómo se define la integral de circulación en el Teorema de Stokes?
-La integral de circulación del campo vectorial F a lo largo de una curva cerrada C es igual al flujo del rotacional del campo sobre una superficie orientada S, cuya frontera es la curva C.
¿Qué es el rotacional de un campo vectorial?
-El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial que indica la dirección sobre la que el campo esté girando o induce una rotación.
¿Cómo se obtiene el vector normal unitario a la superficie S?
-El vector normal unitario se obtiene a partir del vector normal dividido por su módulo. Este vector normal se calcula a partir del producto vectorial de las derivadas parciales de la parametrización de la superficie.
¿Cómo se determina si el vector normal está bien orientado?
-Se utiliza la regla de la mano derecha para determinar si el vector normal está orientado correctamente. Si el vector normal apunta hacia el exterior de la superficie, entonces está bien orientado.
¿Qué es el diferencial de superficie?
-El diferencial de superficie se obtiene como el módulo del vector normal a la superficie por el diferencial de área de la región donde se integra.
¿Cómo se calcula la integral de circulación sobre una curva cerrada?
-La integral de circulación sobre una curva cerrada se expresa como un integral de superficie en la región proyectada, utilizando el rotacional del campo vectorial, el vector normal a la superficie y el diferencial de superficie.
¿Cómo se identifica la región para integrar en el plano?
-La región para integrar se identifica en función de la superficie que contiene los puntos de la curva cerrada y la orientación de la misma. Por ejemplo, en el caso del plano definido por cuatro puntos, la región sería un rectángulo en el plano xy.
¿Cómo se calcula el flujo del rotacional del campo a través de una superficie?
-Para calcular el flujo del rotacional del campo a través de una superficie, se multiplica el rotacional del campo vectorial por el vector normal unitario a la superficie y se integra en la región determinada.
¿Por qué en algunos casos no es necesario normalizar el vector?
-En algunos casos, como en la integral de superficie, el módulo del vector normal se cancela al calcular el producto escalar, por lo que no es necesario normalizar el vector para llevar a cabo el cálculo.
¿Cómo se calcula el flujo de rotacional del campo a través de un cono?
-Para calcular el flujo de rotacional del campo a través de un cono, se utiliza la parametrización polar de la superficie, se obtiene el vector normal y se multiplica el rotacional del campo vectorial por este vector normal. Luego, se realiza la integración en la región que es el círculo de la base del cono.
Outlines
📚 Introducción al Teorema de Stokes
Este párrafo introduce el Teorema de Stokes, que permite transformar integrales de línea en integrales de superficie para campos vectoriales. Se describe cómo el teorema se aplica a una curva cerrada 'C' y una superficie 'S' con 'C' como frontera. Se menciona la importancia de la orientación de la superficie y cómo se determina usando la regla de la mano derecha. Además, se discuten los conceptos de rotacional del campo, vector normal unitario y diferencial de superficie, que son fundamentales para calcular el flujo de un campo a través de una superficie.
🧮 Aplicación del Teorema de Stokes a un Ejercicio
En este párrafo se aplica el Teorema de Stokes a un ejercicio práctico. Se calcula la circulación de un campo vectorial 'F' a lo largo de una curva 'C' definida por cuatro puntos. Se describe cómo se encuentra una superficie 'S' dentro de la curva y cómo se determina su orientación y el vector normal. Luego, se calcula el rotacional del campo, se parametriza la superficie y se obtiene la expresión del vector normal. Finalmente, se resuelve la integral de superficie en la región proyectada para encontrar la circulación total.
Mindmap
Keywords
💡Teorema de Stokes
💡Campo vectorial
💡Integral de circulación
💡Rotacional
💡Vector normal unitario
💡Diferencial de superficie
💡Parametrización de superficie
💡Regla de la mano derecha
💡Flujo
💡Curva cerrada
💡Determinante
Highlights
El teorema de Stokes permite cambiar integrales de línea por integral de superficie, facilitando cálculos en física y matemáticas.
Se aplica el teorema de Stokes para campos vectoriales continuos y diferenciables en R³.
La integral de circulación del campo a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo del rotacional del campo sobre una superficie orientada.
La superficie para la integral de superficie puede ser cualquiera, siempre que tenga como frontera la curva C.
La orientación de la superficie debe ser consecuente con la dirección de la circulación en la curva C.
La regla de la mano derecha se utiliza para determinar la orientación de la superficie.
El rotacional del campo vectorial indica la dirección de la rotación o la rotación inducida.
El vector normal unitario a la superficie se obtiene a partir del vector dividido por su módulo.
La parametrización de la superficie en función de coordenadas cartesianas o polares es crucial para el cálculo del vector normal.
El módulo del vector normal no es necesario calcularlo ya que se cancela en la integral de superficie.
El diferencial de superficie se obtiene como el módulo del vector normal por el diferencial de área de la región.
La integral de circulación sobre una curva cerrada se expresa como una integral de superficie en la región proyectada.
Se muestra un ejercicio para calcular la circulación del campo vectorial E a lo largo de una curva definida por cuatro puntos.
Se calcula la expresión del plano que contiene los cuatro puntos para parametrizar la superficie S.
Se utiliza la parametrización de la superficie para obtener el vector normal y el rotacional del campo.
Se resuelve un segundo ejemplo calculando el flujo del rotacional del campo a través de una superficie parametrizada en coordenadas polares.
El flujo del rotacional del campo a través del cono se calcula como 25 pi, mostrando la aplicación práctica del teorema de Stokes.
Se proporciona un ejercicio propuesto con su solución para que los espectadores puedan practicar los conceptos aprendidos.
Transcripts
el teorema de estos nos permite cambiar
integrales de línea por integral de la
superficie utilizando anotación al del
campo vectorial vamos a aprender a
usarlo
ah
ah
[Música]
hola amigos de la ciencia tecnología
bienvenidos a ingeniosos el canal donde
resolvemos problemas básicos de física
mecánica electricidad o matemáticas de
nivel de carrera y bachillerato en el
vídeo de hoy hablamos del teorema de
stocks según el cual si f es un campo
vectorial continuo y diferenciable en r3
la integral de circulación del campo a
lo largo de una curva cerrada c es igual
al flujo de rotacional del campo sobre
una superficie orientada a cualquiera s
cuya frontera es la curva c es decir nos
permite cambiar una integral de línea
que en el espacio suelen ser complejas
por un integral de superficie que en la
mayor parte de los casos es más sencilla
la superficie puede ser cualquiera que
cumpla que tiene como frontera la curva
c aunque debe estar orientada esto qué
significa significa que debe ser
consecuente con la dirección que sigue
la circulación en la curva c utilizando
la regla de la mano derecha podemos
obtener la dirección que nos marca hacia
donde debemos generar la superficie
aunque su significado físico no es
inmediato el teorema viene a decir que
la circulación del campo a lo largo de
ce es igual a la suma de todas las
microcirculación es o circulaciones
locales en cada punto definidas por el
rotacional de la superficie dentro de
los términos para obtener el flujo del
rotacional del campo a través de la
superficie son los siguientes en primer
lugar tenemos el rotacional que ya
aprendimos a calcularlo en un vídeo
anterior y sabemos que es otro campo
vectorial que indica la dirección sobre
la que el campo esté girando o induce
una rotación el segundo término es el
vector normal unitario a la superficie s
en cada punto que irá dirigido hacia el
exterior de la superficie si ésta está
orientada como hemos dicho anteriormente
el último término es el diferencial de
superficie pero ahora vamos a ver cómo
calcular cada uno de ellos el rotacional
ya lo tenemos claro de anteriores vídeos
así que pasamos directamente al vector
normal unitario lo obtenemos a partir
del vector dividido por su módulo para
hacerlo unitario la expresión del vector
está en función de la parametrización de
la superficie
según como esté matemáticamente
expresada dos ejemplos de superficies
parametrizados pueden estar en
coordenadas cartesianas x hoy o en
coordenadas polares con eje y tita el
vector n lo obtendremos siempre como el
producto vectorial siguiente donde
multiplicamos las derivadas parciales de
la parametrización de la superficie
según cada variable habrá que ver si
directamente el vector está bien
orientado o hay que cambiarle el sentido
todo esto lo vamos a ver mejor ahora con
los ejemplos en cuanto al módulo del
vector no lo vamos a calcular porque no
nos va a hacer falta vais a ver por qué
el diferencial de superficie se obtiene
como el módulo del vector normal a ella
por el diferencial de área de la región
proyectada donde vamos a integrar el
diferencial de área es sencillamente la
multiplicación de los diferenciales de
cada variable por lo tanto cuando
sustituimos cada término en la expresión
los módulos del vector normal se cancela
es decir aunque la fórmula implique el
uso del vector normal unitario
directamente podemos utilizar el vector
sin normalizar y después cambiar el
diferencial de superficie por él
acortando algunos pasos con lo cual la
integral de circulación sobre la curva
cerrada se queda expresada como un
integral de superficie en la región
proyectada a apliquemos entonces el
teorema en el siguiente ejercicio donde
tenemos que calcular la circulación del
campo vectorial
efe a lo largo de la curva ce definida
por los cuatro puntos y según el sentido
marcado lo primero que tenemos que ver
es cómo vamos a pasar la integral de
circulación a una integral de superficie
por lo que encontrar una superficie s
dentro de la curva ce en este caso es
muy simple ya que la superficie es
directamente el plano definido por los
cuatro puntos dentro de la curva c
teniendo en cuenta el sentido de la
circulación y utilizando la la regla de
la mano derecha el vector normal en cada
punto tiene el sentido dibujado por
último nos falta identificar la
proyección la región a donde vamos a
integrar la cual está en el plano xy
siendo un rectángulo teniendo el aspecto
visual claro podemos calcular los
términos necesarios empecemos por el
rotacional del campo a partir del
determinante con las derivadas
la primera coordenada vale 1 la segunda
0 y la tercera 2x menos 1
seguidamente tenemos que encontrar la
expresión de la superficie s es decir
del plano que contiene los cuatro puntos
por lo que necesitaremos dos vectores
del plano y un punto con los puntos p 1
y p 2 obtenemos el primer vector
restando las coordenadas e igual hacemos
con los puntos p 3 y p 2 no me
entretengo en esto que es geometría
básica para sacar la ecuación del plano
realizamos al siguiente determinante
igualado a cero donde hemos utilizado el
punto p 1 y los vectores obtenidos
ahora tenemos que parametrizar la
superficie es decir dejarla en función
de dos variables que van a ser x e y por
lo tanto despejando en la ecuación del
plano la zeta tiene que ser igual a 4 -
y seguidamente para obtener el vector
normal a la superficie derivamos la
expresión de la parametrización de la
superficie respecto a x coordenada
coordenada sólo la primera coordenada
depende de x siendo su derivada igual a
1
igual derivamos respecto a la variable y
obteniendo 0 la derivada de y que es 1 y
la derivada de menos y que es menos 1
ahora multiplicamos vectorial mente
obteniendo el vector normal 0 11 pero
aquí viene una pregunta está bien
orientado según el dibujo pues vemos que
sí ya que tanto la coordenada i como la
zeta son positivas
en caso contrario habríamos multiplicado
el vector por menos 1 como hemos visto
antes no es necesario que lo hagamos
unitario ya que el módulo se nos va a ir
por lo tanto ya podemos multiplicar la
expresión del rotacional por el vector
normal obtenido se trata de un producto
escalar por lo que multiplicamos
coordenada coordenada y sumamos
obteniendo 2 x menos uno con esto
podemos realizar la integral en la
región
sólo hay que fijar los límites de
integración del dibujo vemos que la
equis varía de 0 a 4 y la i desde 0 a 2
integramos primero respecto a x
obteniendo x al cuadrado menos x lo cual
evaluamos entre 0 y 4 para finalizar
realizamos la última integral respecto a
y qué es
12 y sustituyendo los límites de
integración obtenemos el resultado final
es decir la integral de circulación del
campo a través de la curva c es igual a
24 ahora vamos a hacer un ejemplo algo
diferente en este caso nos piden
directamente el flujo del rotacional del
campo efe a través de la superficie s en
la dirección del vector normal unitario
exterior en esta ocasión la superficie
ya está parametrizado de forma polar con
r
pero tenemos que saber qué es lo que es
las expresiones de x e y con ere coseno
de eeuu y r seno de eeuu dibujan
círculos que serán mayores conforme más
grande sea el valor de r por otro lado
la zeta varía de 0 a 5 con r de forma
lineal que se os viene a la mente pues
un cono entonces nos están pidiendo el
flujo del rotacional del campo a través
del cono y en dirección hacia el
exterior según el vector normal al cono
en cada punto dibujado
tenemos que utilizar la misma expresión
que antes así que empezamos obteniendo
el rotacional del campo con el
determinante y las derivadas parciales
seguidamente para obtener la expresión
del vector normal derivamos la
parametrización de la superficie
respecto a r obteniendo coseno de un
seno de eeuu y menos uno y después
respecto tengamos aquí cuidado con la
derivada del coseno que cambió el signo
a menos seno
por último multiplicamos vectorial mente
para obtener el vector normal está bien
orientado comprobamos que sí ya que la
coordenada zeta es positiva lo que
implica que el doctor esté inclinado
hacia arriba es decir hacia el exterior
del cono con todos los términos
obtenidos multiplicamos escalar mente en
rotacional por el vector normal quedando
una suma donde sacamos el factor común
de 1 + coseno de eeuu más seno de v ya
podemos integrar en la región a que es
el círculo de la base ya que coincide
con la proyección del cono en el plano
xy la r que es el radio varía entre 0 y
5 y entre 0 y 2 pi es decir directamente
los intervalos que nos dan el enunciado
primero integramos respecto a r quedando
r al cuadrado entre 2 por el paréntesis
que lo evaluamos entre 0 y 5 el
resultado lo integramos respecto aunque
es muy sencillo también obteniendo el
resultado final para el flujo de
rotacional del campo a través del cono
que es 25 pi como veis siguiendo estos
pasos de forma ordenada y teniendo las
cosas claras siempre podréis calcular
ejercicios de este tipo
para terminar y como siempre os dejo un
ejercicio propuesto con su solución para
que podáis practicar esto ha sido todo
por hoy
muchas gracias por elegir el canal para
seguir aprendiendo podéis dejar
cualquier pregunta los comentarios una
dirección de correo si queréis que
resuelva algún otro tipo de ejercicio y
estéis invitados a suscribiros gracias y
recordad en el saber nunca cap en esa
ciudad hasta otra
[Música]
5.0 / 5 (0 votes)