4 Teorema de Green

Summary

El script proporciona una explicación detallada del Teorema de Green, una herramienta fundamental en el cálculo vectorial que relaciona integrales de línea con integrales dobles. Se discute cómo el teorema se aplica a regiones cerradas y acotadas en el plano, y cómo las orientaciones positivas y negativas de las fronteras de estas regiones afectan el cálculo. Se ofrecen ejemplos prácticos, como el cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que recorre una frontera, y cómo el teorema se puede utilizar para encontrar áreas de regiones determinadas. Además, se explora la parametrización de regiones y la importancia de considerar la orientación de las curvas en los cálculos. El script concluye con un ejemplo que muestra cómo el Teorema de Green puede simplificar significativamente el cálculo de áreas y la integral de línea en regiones complejas, como el disco perforado.

Takeaways

• 📚 El teorema de Green relaciona una integral de línea con una integral doble, siendo fundamental en el cálculo vectorial.
• 🔄 Las regiones de integración deben tener fronteras orientadas, distinguiendo entre orientación positiva (sentido antihorario) y negativa (sentido horario).
• 📐 Para regiones de tipo 1 y 2, las fronteras se pueden descomponer en curvas simples que cumplen con las condiciones del teorema de Green.
• 🌀 El teorema de Green permite calcular la integral de línea de un campo a través de una integral doble sobre la región delimitada por la frontera.
• ⚙️ Se pueden aplicar el teorema de Green a regiones múltiplemente convexas, con ciertos agujeros, siempre y cuando se trate adecuadamente.
• 📝 En el ejercicio, se verifica el teorema de Green calculando tanto la integral doble como la integral de línea para un campo y una región dada, mostrando que ambos resultados coinciden.
• 🛠️ El teorema de Green simplifica cálculos cuando la parametrización de la frontera de una región es complicada o cuando el campo tiene componentes que facilitan el cálculo a través de una integral doble.
• 🔢 La integral doble en el teorema de Green involucra la resta de laspartials de las componentes del campo vectorial con respecto a las coordenadas x e y.
• 🔴 Se puede utilizar el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de la frontera de una región.
• 🛑 En regiones con agujeros, como un disco perforado, se puede dividir la región en subregiones donde el teorema de Green se aplica sin problemas y luego sumar las integrales dobles correspondientes.
• 🔵 El teorema de Green también se puede usar para calcular el área de una región cuya frontera es una forma cerrada simple, transformando una integral de línea en una integral doble.

Q & A

¿Qué es el teorema de Green?

El teorema de Green es una herramienta matemática que relaciona una integral de línea con una integral doble en el contexto del cálculo vectorial. Permite calcular la integral de línea de un campo a lo largo de la frontera de una región, usando una integral doble sobre la propia región.

¿Cómo se define la orientación positiva de una región en el teorema de Green?

La orientación positiva de una región se refiere a recorrer su frontera en sentido antihorario, de tal manera que siempre se tiene la región de interés a la izquierda del recorrido.

¿Cuáles son las dos formas de orientación para las regiones en el teorema de Green?

Las dos formas de orientación son positiva y negativa. En la orientación positiva, la frontera se recorre en sentido antihorario con la región de interés a la izquierda. En la orientación negativa, se recorre en sentido horario, con la región de interés a la derecha.

¿Cómo se pueden descomponer las regiones de tipo 1 y 2 en curvas simples para aplicar el teorema de Green?

Las regiones de tipo 1 y 2 se pueden descomponer en cuatro curvas simples. Para una región de tipo 1, estas curvas son: de izquierda a derecha (c1), de abajo hacia arriba (b2), de derecha a izquierda (c2) y de arriba hacia abajo (b1). Para una región de tipo 2, el orden es similar pero con orientaciones opuestas.

¿Qué condiciones debe cumplir un campo para aplicar el teorema de Green?

Un campo debe tener componentes de clase 1 en la región para aplicar el teorema de Green. Esto significa que las componentes del campo deben ser funciones continuas y tener derivadas continuas en la región considerada.

¿Cómo se calcula la integral doble en el teorema de Green?

La integral doble en el teorema de Green se calcula como la diferencia entre la parcial de la primera componente del campo con respecto a x y la parcial de la segunda componente con respecto a y, evaluada sobre la región d.

¿En qué casos el teorema de Green no se aplica directamente?

El teorema de Green no se aplica directamente en regiones que no sean simplemente conexas, es decir, en regiones con agujeros o múltiplemente conexas, donde es necesario tratarlas de forma adecuada para poder aplicar el teorema.

¿Cómo se utiliza el teorema de Green para calcular el área de una región?

Para calcular el área de una región usando el teorema de Green, se puede interpretar la integral de línea como una integral doble donde el integrando es la primera componente del campo vectorial multiplicada por el diferencial de x. Esto permite calcular el área de la región como una integral doble en lugar de una integral de línea.

¿Cómo se calcula el trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de la frontera de una región?

El trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de la frontera de una región se calcula a través de la integral de línea del campo vectorial sobre la frontera de la región. Si el campo es conservativo y la región simplemente conexa, esto se puede transformar en una integral doble utilizando el teorema de Green.

¿Cómo se aplican coordenadas polares en el cálculo de una integral doble en el teorema de Green?

Las coordenadas polares se aplican en el cálculo de una integral doble cuando la región de integración tiene una forma simétrica que se ajusta mejor a estas coordenadas, como en el caso de un círculo o una elipse. El cambio a coordenadas polares simplifica los límites de integración y a menudo permite cancelar términos en el integrando, facilitando el cálculo.

¿Cómo se resuelve el problema de calcular la integral de línea sobre una región con un agujero usando el teorema de Green?

Para regiones con agujeros, se divide la región en subregiones más simples donde el teorema de Green se puede aplicar individualmente. Luego, se suman las integrales dobles de cada subregión, teniendo en cuenta las orientaciones de las fronteras y cómo se superponen o se cancelan mutuamente.

Outlines

00:00

😀 Introducción al Teorema de Green

Se presenta el teorema de Green, que relaciona una integral de línea con una integral doble. Se destaca su importancia en el álculo vectorial y se recuerda la noción de orientación positiva y negativa de las regiones y sus fronteras. Se describe cómo orientar las fronteras de regiones de tipo 1 y tipo 2 y se menciona la descomposición de las curvas en cuatro curvas simples.

05:01

🎓 Aplicación del Teorema de Green

Se describe cómo el teorema de Green permite calcular una integral de línea a través de una integral doble cuando se tiene un campo vectorial de clase 1 sobre una región cerrada. Se mencionan los límites de integración y se habla sobre las ventajas de utilizar el teorema de Green en lugar de parametrizar directamente las curvas.

10:05

📐 Ejemplos de Aplicación del Teorema de Green

Se presentan ejemplos prácticos de cómo aplicar el teorema de Green para calcular integrales de línea. Se muestra cómo dividir una región en varias partes para aplicar el teorema y se calcula la integral de línea sobre las fronteras de estas regiones. Además, se demuestra cómo el resultado de la integral de línea coincide con el de la integral doble, validando el teorema de Green.

15:06

🔍 Consideraciones para Regiones con Agujeros

Se discuten las consideraciones especiales que se deben tener en cuenta cuando se aplican el teorema de Green a regiones con múltiples conexas o agujeros. Se describe el proceso de dividir una región en subregiones más simples donde el teorema puede aplicarse sin problemas y se ilustra con un ejemplo de un disco perforado.

20:07

🧮 Cálculo de Áreas con el Teorema de Green

Se muestra cómo el teorema de Green también puede utilizarse para calcular el área de una región cerrada simple. Se menciona que la integral de línea puede interpretarse como el área de la región y se aplica esto a la elipse como ejemplo, demostrando una forma más sencilla de calcular su área en comparación con una integral doble.

25:08

🚀 Conclusión y Despedida

Se hace una revisión final de las aplicaciones del teorema de Green y se despide al público, indicando que se verán en la próxima ocasión. Se resalta la utilidad del teorema de Green en el cálculo de integrales y áreas de regiones cerradas.

Keywords

💡Teorema de Green

El Teorema de Green es un resultado fundamental en el cálculo vectorial que relaciona una integral de línea con una integral doble. En el video, se utiliza para calcular áreas y el trabajo realizado por un campo vectorial sobre una partícula que se mueve a lo largo de una región. Se menciona que el teorema permite calcular la integral de línea como una integral doble, simplificando el proceso y evitando la necesidad de parametrizar la curva.

💡Integral de línea

Una integral de línea, también conocida como integral curvilinea, es un tipo de integral que se calcula a lo largo de una trayectoria en el espacio. En el video, se discute cómo calcular integrales de línea y cómo el Teorema de Green permite transformar una integral de línea en una integral doble, lo que puede ser más sencillo en ciertos casos.

💡Integral doble

Una integral doble es un tipo de integral que involucra la integración en dos dimensiones, generalmente sobre un área en el plano. En el contexto del video, se muestra cómo el Teorema de Green permite calcular áreas de regiones cerradas a través de integrales dobles, en lugar de calcularlas como integrales de línea.

💡Campo vectorial

Un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto de un espacio, lo que permite describir fenómenos físicos como la fuerza en cada punto de un espacio. En el video, se utiliza el concepto de campo vectorial para calcular el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve a lo largo de una región.

💡Trabajo

El trabajo es una cantidad física que describe la cantidad de energía transferida a una partícula o sistema por una fuerza a medida que se desplaza. En el video, se calcula el trabajo realizado por un campo vectorial sobre una partícula que recorre una región determinada, utilizando el Teorema de Green.

💡Cálculo vectorial

El cálculo vectorial es una rama de las matemáticas que utiliza vectores para describir magnitudes con dirección en el espacio tridimensional. En el video, se aplica el cálculo vectorial para resolver problemas de integrales en física y geometría, particularmente a través del Teorema de Green.

💡Regiones múltiplemente conexas

Estas son regiones en el espacio que, aunque no son simplemente conexas (no tienen agujeros o discontinuidades internas), pueden tener múltiples componentes desconectadas. En el video, se discute cómo aplicar el Teorema de Green en estas regiones, a veces dividiendo la región en subregiones más simples.

💡Parametrización

La parametrización es el proceso de representar una curva o superficie matemática en términos de una o más funciones paramétricas. En el video, se menciona que el Teorema de Green puede evitar la necesidad de parametrizar curvas complejas al calcular integrales de línea.

💡Área

El cálculo del área es un tema central en el video, donde se muestra cómo el Teorema de Green puede ser utilizado para encontrar el área de una región dada a partir de las integrales de línea y dobles. Este concepto se ilustra con el ejemplo de una elipse, donde se calcula su área a través de una integral doble.

💡Coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas alterno al cartesiano, que utiliza un radio y un ángulo para describir la posición de un punto en un plano. En el video, se sugiere el uso de coordenadas polares para simplificar los límites de integración al aplicar el Teorema de Green en regiones con forma de círculo o elipse.

💡Cálculo de áreas con el Teorema de Green

El video destaca una aplicación del Teorema de Green para el cálculo de áreas. Se muestra que, si se conoce la parametrización de la frontera de una región, el área puede calcularse como una integral doble. Este método se presenta como una alternativa eficiente a la integral de línea, especialmente para regiones con formas complejas.

Highlights

El teorema de Green relaciona una integral de línea con una integral doble en cálculo vectorial.

Se discute la importancia de las orientaciones positivas y negativas de las regiones en el ámbito de las integrales.

Se describe cómo la orientación positiva de una región implica que la mano izquierda del observador siempre queda dentro de la región.

Se explica que el teorema de Green permite calcular la integral de línea de un campo a través de una integral doble en la región.

Se menciona la posibilidad de descomponer las fronteras de regiones en curvas simples para facilitar el cálculo de integrales.

Se destaca la utilidad del teorema de Green para campos conservativos en cálculo de trabajo realizado por un campo sobre una partícula.

Se proporciona un ejemplo práctico de cómo aplicar el teorema de Green para calcular áreas en regiones cerradas acotadas por curvas.

Se discute la aplicación del teorema de Green en regiones múltiplemente conexas, incluyendo regiones con agujeros.

Se ilustra cómo el teorema de Green puede simplificar el cálculo de la integral de línea al permitir su cálculo a través de una integral doble.

Se ofrece un ejemplo de cálculo de la integral de línea sobre la frontera de una región en el primer cuadrante, usando el teorema de Green.

Se describe el proceso de parametrización de curvas para el cálculo de integrales de línea en regiones específicas.

Se muestra cómo se pueden calcular integrales de línea en regiones con múltiples segmentos de curvas, como semicírculos y segmentos de recta.

Se explica cómo el teorema de Green se puede aplicar en regiones con formas complejas, como un disco perforado, dividiendo la región en partes más simples.

Se discute la utilidad del cambio de variables en coordenadas polares para simplificar cálculos de integrales dobles en regiones simétricas como círculos.

Se presenta un ejemplo de cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de una frontera de región usando el teorema de Green.

Se ilustra cómo el teorema de Green puede ser utilizado para calcular áreas de regiones cerradas simples, como el área de una elipse.

Transcripts

[Música]

[Aplausos]

[Música]

hola chicos en esta ocasión vamos a ver

lo que es el teorema de green bay que es

básicamente lo que hace es relacionar

una integral de línea con una integral

doble sale es uno de los problemas

importantes de lo que es el cálculo

vectorial relaciona una integral de

línea con una integral doble sale

entonces para ello vamos a recordar por

ahí

recuerden que cuando estamos hablando de

integrantes dobles teníamos regiones

equipo o no o de tipo 2

entonces esas regiones no nos interesan

sus fronteras

de esa región de esas regiones pensamos

en una de este estilo de este estilo

este vamos a poder orientar si sus

fronteras de dos de dos formas una

orientación recuerden positiva y otra

negativa la orientación positiva se

refiere a que vamos a recorrer su

frontera

en sentido antihorario

y

y eso qué quiere decir que vamos a

siempre

orientar la frontera o la ola la unión

de las curvas que forman la frontera de

la región ya sea de tipo uno de equipo

dos en sentido antihorario otra forma de

verlo si es lo siguiente si nosotros

caminamos

alrededor de la región sobre la frontera

de la región siempre obviamente en

sentido este antihorario o bien en la

orientación positiva siempre nuestra

mano izquierda quedaría dentro de la

región que nos interesa dentro de la

región que nos interesa la región cuya

frontera precisamente esta curva na

qué pasa si vamos en sentido horario si

en sentido de las manecillas del reloj

si nosotros vamos caminando en este

sentido nuestra mano izquierda siempre

queda fuera de la región que nos

interesa sale entonces esa es la

diferencia que en la orientación

positiva siempre nuestra mano izquierda

de adentro y en la orientación negativa

en nuestra mano izquierda va a quedar

fuera

entonces para el teorema de greene nos

interesan orientaciones positivas tal

vez es digamos que la convención la

orientación positiva vamos a denotar la

como se más y la negativa conoce menos

entonces pues recuerden nada más hay dos

orientaciones para este tipo de regiones

entonces pues la positiva es la que nos

interesa l

en caso de que tengamos por ejemplo una

región tipo 1 y tipo 2 este de este

estilo entonces cómo vamos a orientar

pues nuestra nuestra nuestra curva que

es la frontera de la región ya sea de

tipo 1 tipo de esta manera podemos

descomponer si la curva en 4 si aquí lo

manejamos la curva c en la orientación

pues yo la podemos descomponer en cuatro

curvas

si uno hace 11 b2 c2 y veo aquí nada más

los signos que tienen cada una

significa pues que sea uno va de

izquierda a derecha v2 va de abajo hacia

arriba c 2 va de derecha a izquierda por

eso en menos y esteve uno va de arriba

hacia abajo

la anotación y si tenemos una región si

se fijan entes de tipo 1 si tenemos una

región de tipo 2 es la misma idea no b1

b2 b2 y c1 tener de izquierda a derecha

de abajo hacia arriba de este derecha a

izquierda y de arriba hacia abajo

entonces esta es la forma en la que

nosotros vamos a orientar positivamente

una región de tipo uno de tipo 2 sale

descomponiendo en cuatro curvas cada una

de ellas pues curvas simples este sea

uno sí y que cumplen pues bueno bueno

que van a cumplir las condiciones del

programa the way sale igual recuerden si

nosotros vamos caminando sobre la

frontera que es la curva sí que aquí

está la región d pues siempre nuestra

mano va a quedar mano izquierda va a

quedar dentro de la región igual ésta

también

ahora que nos dice el teorema de green

problema de green que nos dice suponga

que tienen una región de que cerrada

acotada si en r2 cuya frontera se la ha

denotado así como delta de la frontera

desde donde nuestra curva ya consta de

un número finito de curvas simples

cerradas si éste es que son se uno por

par sale entonces

[Música]

lo que nos dice el teorema es que si

tengo un campo cuyas componentes son

vehículo de clase 1 sobre la región de

entonces está integral de línea se puede

calcular con esta integral doble nada

más noten que el integrando de la

integral doble pues va a ser la parcial

de con respecto a x menos la parcial de

p respecto allí sale entonces ese es el

cálculo que vamos a estar haciendo

y esta integral pueden ser los límites

de integración no nos va a definir pues

quien sea la región d

mientras acá nosotros parametrizar vamos

a lo mejor chica vamos si era un campo

conservativo etcétera no acá simplemente

vamos a integrar esta resta de parciales

sobre la región de vale y podemos ir en

ambos sentidos

ahora vamos tenemos una integral de

línea y en la cual pues el parametrizar

el calcular todo es algo más tardado más

complicado pues la podemos calcular por

una integral doble o bien el otro

sentido a veces es cuando tenemos aquí

éste

ciertas ciertos campos buenos ciertos

componentes del campo que son de tal

forma que

queremos calcular pues el área por

ejemplo de donde la región de estos lo

podemos usar lo podemos calcular más

bien con una integral de línea si

conociendo obviamente la parametrización

de la frontera de la región de saleh

entonces esos son los dos casos en los

que se pueden calcular

otra otro comentario es que

hay otras regiones sí que tienen ellos

le llaman múltiplemente conexas si ésta

es una más región pero que tiene de

ciertos hay agujeros entonces en esos

casos también se puede aplicar el

teorema de ley sale entonces también hay

que considerarlo nada más ahí hay que

tratarlo de forma adecuada y se puede

aplicar a los vamos a ver un par de

ejemplos que relacionen lo que estamos

comentando sale entonces aquí lo que nos

pide es en este ejercicio pues verifica

el teorema de greene que significa que

cuando nos dicen verifica el teorema de

verín

pues si calculamos a ambos lados la

integral doble y la integral de línea y

veamos que en realidad los resultados

coinciden salen

entonces lo que vamos a hacer aquí es

eso nos da nuestro campo y nos dicen se

es la frontera de la región en el primer

cuadrante

y de energía una cortada por las

gráficas de raíz de x el eje pues el eje

xy esta red

entonces primeramente vamos a a graficar

la región sale la región acotada por

estas tres curvas aquí es también la

raíz de x aquí está la recta igual a

menos x + 2 y en la recta llegó a la

cero o bien el eje toda esta región en

verde pues es la región de la que

estamos hablando entonces nosotros

queremos calcular la integral de línea

sobre estas esta frontera de la región

de que si se fijan pues la podemos

descomponer en tres curvas a c1 c2 c3 ok

entonces pues vamos a proceder a

calcular la integral doble y luego la

integran de línea parametrizado cada una

de las curvas

este pues es un segmento de de rectas de

también y esta la podemos parametrizar

sí poniendo x igual a t

a raíz de té más que acuérdense es una

orientación opuesto ya eso ya nosotros

vimos cómo obtener una reparación en

sentido opuesto sane y entonces pues

vamos a calcular la integral doble ahí

si ustedes se fijan podemos ver esta

región como una región de tipo 2 en el

que la lleva variada entre constantes de

0 a 1 si se fijan

y la equis va a variar de esta curva que

es adecuada a esta recta que es menor si

más 2

vamos a

a ver qué por green este integral de

líneas en realidad un integral doble

vamos a declarar la integran doble como

les comentaba parcial de q que es la

segunda componente respecto a x que es 4

y menos parcial de respecto a y que es

menos 4 y el menos cuando menos se hace

más y queda 8 y los límites como les

comentaba de 0 a 1 i y xv adecuada menos

de más 2 calculamos la primera integral

nos da esto la segunda y al final

evaluamos de 0 a 1 y nos da distancia

si entonces por teorema de grain está

enterando de línea en lugar de

parametrizar y calcular todo simplemente

lo calculamos la calculamos con un

integral doble se nos da de starz

ahora vamos a hacer el otro el otro lado

que sería parametrizar cada una de estas

tres curvas c1 c2 c3 y evaluar la

integral de línea como ya sabemos

entonces es también pues la puedo para

matizar como t como a 0 donde te va de 0

a 2

simplemente no luego la c2 la puedo

parametrizar como bueno alguien con la

parametrización de un segmento de recta

comienza aquí termina acá nos queda 2 -

de tomate de 0 a 1 finalmente acuérdense

este esta parte citó de la raíz de x el

acuerdo parametrizar como 3com a raíz de

t pero no pueden ser una parametrización

si en sentido opuesto lo que nos dice es

evalúa

a menos que en este caso a más veces 011

la evaluamos en 1 - de jalea y recuerden

verla la repara matriz acción en sentido

opuesto queda de esta forma que entonces

ya para mí utilizamos cada uno de los

lados de esta región de lo bueno cada

una de las de las curvas que acotan a la

región de entonces ya podemos calcular

la integral de línea entonces procedemos

para alfa on noten que que vale cero en

nuestra parte es cero el diferencia de

que también vale cero a cero todos de

más ser luego en c 2 c 2

pues aquí comienza a evaluar aquí va a

quedar t cuadrada 2 d cuadrada que está

me el diferencial de x pues va a ser un

menos

dt con éste menos se hace más

luego el 4 x 4 por x que es 2

porque que éste y el diferencial de ya

que es de aquí es también entonces

evaluamos esta integral me da 10 tras ok

lo mismo hacemos con c3 aquí la x es 1 -

x sus diferenciales menos de te la

llevas en la raíz su diferencia en los

menos de tres sobre dos por la misma

raíz y procedemos el valor de x que es

uno menor no perdón de x es menos de t

con el menos se hace más de 40 al

cuadrado pues quedan 1 - desde luego 4x

lie eminem que es la raíz con el 10 se

cancela en esas raíces y queda menos un

medio de dt menos un medio pues sale

este menos el 4 que está aquí entre 2

ale 2 la equis y el dt noten que esto

quede exactamente lo mismo se hace 0

entonces miel por la definición de la

integral de línea pues simplemente es la

suma de las integrales donde se conoce

de 12-3 componen a la curva ce ya que es

la frontera de la región de entonces

sumamos todas las integrales y al final

nos queda 2 tertsch recuerden que la

primera en la tercera nos dieron 0 la

segunda nos dio the jester en efecto

como nos decía el teorema pues la

integral de línea pues va a ser igual a

10 tercias que es el mismo valor que

obtuvimos con la integral doble salem

entonces de ahí pues la ventaja del

problema de green es que en lugar de

parametrizar y que a lo mejor nuestra

nuestra curva puede ser compuesta por

digamos cada curvas que a lo mejor se

han puesto un poco tardadas de

parametrizar de calcular cada integral

la podemos hacer en una sola entidad

y salió

vamos a ver otro ejemplo en el que nos

dice sabes que este es mi campo para

calcular el trabajo realizado por este

campo sobre la partícula que se mueve a

lo largo de la frontera de la región

acotada por la intersección de estas

curvas a leb entonces en sentido entidad

y entonces pues vamos a graficar la

región

noten que éste es una uve que es el

valor absoluto

este es un círculo de radio 2 entonces

ambas curvas

se intersectan estos tres puntos y

forman una región sí que es un cuarto de

semis de decir con eso un cuarto de

círculo

y en la partícula la va a estar

recorriendo en sentido antihorario al

entonces pues una opción sería

parametrizar estos segmentos luego el

semicírculo bueno un cuarto de círculo

luego en otro segmento y calcular la

integral en cada uno de estos

este grado de estas tres curvas entonces

otra forma pues es aplicar teorema de

greene acuérdense de esta región pues

ésta es acotada esté cerrada

es su frontera está formada por tres

curvas simples se uno entonces no tienen

ningún problema entonces podemos aplicar

problema de greim y finalmente calcular

esa integral o ese trabajo de central de

línea como una integral doble sobre esta

región salen los noten que aquí dado que

es un cuarto de disco podemos aplicar

integrar este un cambio de variable a

coordenadas polares

de hecho si se fijan en el ángulo va de

pi cuartos a tres cuartos y el radio va

de cero a dos talentos vamos a aplicar

el teorema de gray que nos dice derivar

la segunda componente respecto a x aquí

está menos la parcial de la primera

componente respecto a ye que es menos

buenos más 8

aplicamos

el cambio de variable está en una guerra

que es el resultado una matriz de de

parciales o bien hakobyan o de rd tent

atenta de pi cuartos a tres cuartos y r

de cero a dos

entonces integramos quedan muy sencillas

las integrales una vez más y nos queda o

chopin entonces el trabajo realizado por

esta por este campo de fuerzas sobre la

partícula que se mueve en la frontera de

la región d sería de 8 p

vale entonces eso sería pues un ejemplo

más del teorema de la aplicación del

tema de crítica

ahora bien resulta que en algunas

ocasiones como les decía se puede

aplicar en el teorema de greene en

ciertas regiones con hoyos y con

agujeros por ejemplo esta de aquí es un

disco perfora si entonces no incluye

esta esto de aquí que sería en el área

del círculo cuya frontera es de 22 aquí

la frontera del círculo más de la radio

mayores según si entonces como se

procede en estos casos simplemente es

ahí mediante un cierto truco minen

consiste en lo siguiente este disco lo

dividimos en cuatro si con estas rectas

lo partimos en d1 d2 d3 y d4 en esta

región por ejemplo en de un pensemos que

está contada por una parte de ese 1 este

arco menem

luego este segmento de recta que une ese

1 con 0 este otro trozo de ese 2 y este

otro segmento que une c2 con seguro

entonces en la región de 1 nosotros

podemos aplicar sin ningún problema el

teorema de green valley

también lo podemos hacer para c 2 pero

no para de 2 de tres y de cuatro tal

entonces dividimos nuestro disco nuestra

arandela en cuatro regiones cada en cada

una de las cuales podemos aplicar el

teorema de green sin ningún problema ya

si se fijan en la de uno no hay ninguna

perforación no hay ningún hoyo ni en la

de 2003 ni en de cuatro

entonces por ejemplo para de uno

este la integral de línea sobre toda la

curva que es la frontera de de uno va a

ser igual a que pulsa la integral doble

cy sobre de uno de la parcial de cv sin

respecto x - la parcial de ella nada más

que la integral de de línea sobre la

estas cuatro curvas yo le escribo aquí

me como la suma de todas noten que es la

integral de línea del campo sobre este

trozo que les comentaba deseo lo que le

llamó hace 11 step esta parte sí que

significan es un cuarto deseo de veces

uno no usa de toda la curva que es el

círculo de

de temas más externos y entonces este

trozo de c-1 que es el once más la

integral del campo sobre gama uno que es

este segmento en este sentido sí más la

entrada de eje sobre el este otro trozo

de c2 que le llamamos de 21 aquí está

más la integran de línea del campo sobre

llamados que es el otro segmento que uno

hace dos conservan entonces si se fijan

por el teorema de green pensándolo en

esta región de uno se cumple esta

igualdad no la integral de línea sí que

la podemos dividir en cuatro

entrante línea sobre la frontera desde 1

es igual a la entidad doble de estas

parciales

y lo mismo podemos hacer para este de 2

lo mismo miren navas que ahora va a ser

de 12 gamma 3 c 22 y llama 1 pero en

sentido opuesto se fijan es el mismo

segmento pero en sentido opuesto lo

mismo hacemos para de 3 pero ahora con

gama 3 pero en sentido opuesto salen

gama 4 etcétera no tenga aquí es algo

importante esta integral de línea que

sobre gama 1 y esta integral de niña al

sumarlas se cancelan porque porque están

en sentidos opuestos es sobre el mismo

segmento pero en sentidos opuestos lo

mismo con gama a3 gama 4 y gama 2 salen

porque m porque se los comento pues

porque al final como lo estamos haciendo

por separado

pero si vamos a hacer 4 integrales

dobles y una sobre de 1 de 2 de tres de

cuatro las podemos sumar podemos sumar

esas cuatro así que las estamos haciendo

por separado pero las podemos sumar si

entonces más nos va a crear una sola

integral doble sobre todo este disco

perfora opción y noten eso es en

integrales doble entonces podemos decir

que va a caer una integral doble de q vx

menos peso bien sobre de que va a ser la

unión de hecho de toda la región

d1 d2 d3 d4 y del lado derecho pues me

van a quedar la suma de todas las

integrales del ine pero noten que las

integrales sobre los segmentos de recta

me van se van a ser cero porque como es

también esta que está aquí a sumar la

con esta como son este en dirección

opuesta se van a hacer cero

si estás también sobre la matriz sobre

gamma 4 sobre gamma 2 entonces ellas se

van a cancelar que en realidad son 2 468

integrales se me van a cancelar si nada

me van a quedar este otras 8 integrales

porque pueden ser que son 4 integrales

de línea por cada región

entonces en total son 16 pero 8 se me

van a cancelar porque porque son en

direcciones opuestas

noten que me va a quedar esta sobre el

el radio bueno el círculo exterior este

también y estas estas de aquí sobre el

círculo inter nos van a ser cuatro mil

una dos tres y cuatro así que las

podemos poner en una podemos unir las

pues tomarla como lo estamos sumando

podemos unirlas en una sola integral de

línea porque porque precisamente esos

cuatro este curvas conforman hace un

entonces del lado derecho nada me van a

quedar básicamente dos integrales una

historial sobre ese uno y la otra sobre

cero solamente que la de la que sobresee

uno va a ir en sentido antihorario y la

que está sobre ese dos en sentido

horario es nada más es la

el detalle sí es cierto cierta

observación que hay que considerar

entonces noten que yo me integral de

línea sobre ce que es c1 y c2 una

integral de línea sobre esas dos curvas

va a poder ser una sola integral doble

sobre qué región sobre la región de que

es la arandela tal entonces eso lo

resumo a cambio yo sumando hasta este

las cuatro integrales dobles sobre las

cuatro regiones va a ser igual a la suma

de las dos integrales de línea

simplificando así la integral de línea

del campo sobre ese uno que es el radio

bueno el círculo exterior y sobre el

círculo interior mandamos de que yo le

puse en dirección

antihorario y recuerden que como

orientamos estas curvas es en sentido

horario

entonces para mantener el mismo sentido

en ambas integrales yo le puse en

sentido antihorario por acuerdense saco

un signo menos sale por eso tiene menos

lo podríamos haber puesto más y aquí

quitado en el menos pero recordar que

ese dulce es en sentido horario pero

para mantener la misma orientación en

ambas

curvas

puse aquí un menos y por eso saqué el

otro medio

entonces en total miren mi integral de

línea sobre todo a 6 que sea 12 va a

quedar como una integral doble cy donde

de buses el s la región si la región que

es un disco perforado en esa región que

con un hoyo y entonces

pues deshace forma de esa forma se trata

este tipo de regiones sale y no hay

ningún problema se puede utilizar el

teorema de greene como ya lo vimos por

partes sale por regiones de 1 de 2 hasta

de 4 sale vamos a ver un ejemplo vamos a

ver un ejemplo de cómo calcular

esto en algo en específico me da en mi

campo me da me dan mi campo vectorial si

aquí le ponemos que ese es la puedo aquí

podría ser más sea uno más c 2

jaja que son dos dos circunferencias una

de radio 2 y otra de radio ceros es la

externa se uno es la interna

entonces me piden calcular la integral

de líneas sobre estas dos curvas

entonces lo que vamos a hacer va a ser

evaluar contra de madryn como ya lo

vimos podemos orientar nuestras nuestra

curva pero de esta forma dividimos en

cuatro regiones de uno de dos de tres de

cuatro y lo hacemos en d1 d2 d3 y d4 al

final al sumar me va a quedar una única

e integral doble sobre toda la región

sobre todo el la arandela sí y del otro

lado pues me va a quedar

acuérdense pues la integral de línea que

se puede descomponer en dos una sobre el

círculo de mayor radio más la gota en

sobre el círculo de menor radio una

sobre dos sobre ese dos perdón y otra

sobre un tal entonces pues noten que me

va a quedar de esta forma integral del

campo sobre sea una mala en grande

campos sobre ese dos recuerden estaba en

sentido antihorario y está en sentido

horario ok pero al final de cuentas al

sumarlas me dan

una integral doble y aplicando el

teorema de green y el análisis que ya

hicimos anteriormente

sobre la arandela

de hecho con la forma que tiene la

arandela pues yo voy a utilizar

coordenadas polares para no complicar en

los límites de integración se describe

la región como de 0 a 2 pi y del radio

que vaya de 2 a 4 hago mi cambio de

variable me va a salir una r

recuerden que x cuadrada maggi cuadrada

y seré cuadrada por la r del cambio de

variables mcr cúbica y finalmente esto

lo calculó de humedad 360 entonces el

trabajo ahí éste

realizados y lo podemos ver así como esa

interpretación

por campo de fuerza a lo largo de la

curva sobre la partícula pues va a ser

de 360

bien

como comentábamos otra aplicación del

teorema de verín puede ser cálculo de

áreas yo tengo mi integral doble

que me va a dar un área entonces yo la

puedo calcular como

una integral de línea sin sentido

tenemos una región cuya frontera es una

forma cerrada simple en la que se puede

aplicar el teorema de ley entonces este

el área de la región d es precisamente

esta integral del y entonces un área y

la puede calcular con una con una

integral de línea porque vamos a ver es

muy sencillo ver la mente

vamos a calcular esto

vamos a calcular está integrado aquí p

es menor

xx desde la elección ahí que nos permite

ver esto como una integral doble donde

estoy integrando es uno ok

esa es la el truquito y noten que la

parcial de q respecto a x es que aquí

aplicó teorema de vino este es mi campo

cuyos componentes son pq

en el medio lo arrastró esto es la

frontera desde mi región sobre la cual

voy a entrar en la integral doble

parcial de cv respecto x 1 parcial de p

respecto y es existe menos suelo con el

menos te hace más noten que esto nos da

un 2 que se cancela con el media y

simplemente me está integral de línea es

igual a esta integral doble donde en

integrales 1 recuerden que cuando esto

sucede pues el integrar 1 significa

obtener

el área de la región de la adb entonces

noten que en realidad esta integral de

línea es lo mismo que el área de la

región de entonces si yo tengo una

región

en la cual yo pueda aplicar el teorema

de green pues el área de esa región yo

la puedo calcular con esta integral como

pues simplemente para matizando lo que

es la frontera de la región y entonces

aplicando esta integral en forma

diferencial obtengo su valor y eso va a

ser el área de la región

un ejemplo

en este caso pues tenemos una elipse si

ustedes se han dado cuenta puedes

calcular la del elipse pues ahí

encontramos ciertas integrales un

poquito largas una forma mucho más

sencilla es aplicando el teorema de ley

precisamente vamos a aplicar el

corolario que vimos que es consecuencia

entre madryn en el que es lo que hacemos

que está nuestra gráfica de nuestra

elipse pues parametrizados la elipse

secuencia que se puede parametrizar de 0

a 2 p

a cocinar esta vez en 90 entonces pues

aplicamos aplicamos la fórmula que

obtuvimos x igualada coseno su

diferencial a llegó a la vez en su

diferencial y aplicamos pues que el área

se puede ver como éste integral integral

del niño

0 2 p x multiplicada por su diferencia

nos va a haber coseno cuadrado menos ye

por su diferencial de x nos va nos da

ave seno cuadrado

y entonces factor izamos en la b

recordar que cursen al cuadrado más sé

no creo es un noten que integran los que

es súper sencillo simplificamos y

obtenemos que el área de la elipse y ave

dio ya lo sabíamos pero es un ejemplo en

en donde los podemos aplicar si siempre

y cuando conozcamos la la

parametrización ahí se de cierta cierta

región entonces en lugar de hacerla con

un interior doble lo hacemos con una

integral

dell inc entonces

pues esta es otra de las aplicaciones

del programa de green y eso es todo por

esta ocasión nos vemos la próxima