Escribir el límite de una suma de Riemann como una integral definida | Khan Academy en Español
Summary
TLDREste video explica cómo una suma de Riemann puede convertirse en una integral definida. Se describe el proceso de calcular el límite cuando n tiende al infinito y cómo se relaciona con el área bajo una curva, usando rectángulos. A través de un ejemplo con la función logaritmo natural, se determina el límite superior y se muestra cómo la suma de Riemann se aproxima a la integral cuando se aumenta el número de divisiones. El objetivo es entender este método para obtener una mejor aproximación del área exacta bajo una curva entre dos puntos.
Takeaways
- 📈 El objetivo del video es reescribir una suma de Riemann como una integral definida.
- 🔢 La integral definida se relaciona con la suma de Riemann mediante el límite cuando n tiende a infinito.
- 📏 La base de los rectángulos en la suma de Riemann es Δx, y la altura es el valor de la función evaluada en algún punto de Δx.
- 📐 Para una suma de Riemann por la derecha, la altura del rectángulo se toma del lado derecho de cada base.
- 🧮 Se identificó que la función parece ser el logaritmo natural, es decir, f(x) = ln(x).
- ➗ El valor de Δx se define como 5/n, basándose en los términos de la suma proporcionada.
- 📝 El límite inferior de integración es 2, y se deduce que el límite superior de integración es 7.
- 📊 La integral definida representa el área bajo la curva de f(x) = ln(x) entre los límites 2 y 7.
- 🧱 Cada rectángulo en la suma de Riemann tiene una base de 5/n, y la altura se calcula usando el logaritmo natural.
- 🔄 La suma de Riemann se aproxima a la integral definida cuando n tiende a infinito, mejorando la precisión del área.
Q & A
¿Qué es una suma de Riemann?
-Una suma de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva, sumando las áreas de varios rectángulos bajo dicha curva. A medida que aumenta el número de rectángulos, la aproximación se vuelve más precisa.
¿Cómo se relaciona la suma de Riemann con una integral definida?
-La suma de Riemann es una aproximación de una integral definida. Cuando tomamos el límite de la suma de Riemann conforme el número de rectángulos tiende a infinito, obtenemos el valor exacto de la integral definida.
¿Qué representa delta x en una suma de Riemann?
-Delta x representa la base de cada rectángulo en la suma de Riemann. Es la distancia entre los puntos de partición y se calcula como la diferencia entre los límites de integración dividida por el número de rectángulos (n).
¿Cómo se determina la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?
-En una suma de Riemann por la derecha, la altura de cada rectángulo se determina evaluando la función en el extremo derecho de la base del rectángulo, es decir, en el valor de x correspondiente al extremo derecho de cada intervalo.
¿Qué función se está evaluando en el ejemplo del video?
-En el ejemplo del video, se está evaluando la función logaritmo natural (ln(x)). Esta es la función que se utiliza para calcular la altura de los rectángulos en la suma de Riemann.
¿Cómo se reescribe una suma de Riemann como una integral definida?
-Para reescribir una suma de Riemann como una integral definida, se identifica la función, los límites de integración y se expresa la suma como el límite de la suma de áreas de rectángulos conforme n tiende a infinito. En este caso, la integral es desde 2 hasta 7 de ln(x) dx.
¿Cuál es el límite superior de la integral en el ejemplo del video?
-El límite superior de la integral en el ejemplo del video es 7. Este se determina al resolver la ecuación que surge al relacionar delta x con los límites de integración.
¿Qué representa el área bajo la curva en una integral definida?
-El área bajo la curva en una integral definida representa el valor acumulado de la función entre dos puntos (los límites de integración). En términos geométricos, es el área entre la curva de la función y el eje x en ese intervalo.
¿Cómo se aproxima el área bajo la curva usando sumas de Riemann?
-El área bajo la curva se aproxima sumando el área de los rectángulos formados bajo la curva. A medida que n (el número de rectángulos) aumenta, la aproximación se vuelve más precisa, y el área total converge al valor de la integral definida.
¿Qué sucede cuando n tiende a infinito en una suma de Riemann?
-Cuando n tiende a infinito en una suma de Riemann, el tamaño de los rectángulos se reduce y la suma de sus áreas se aproxima más a la verdadera área bajo la curva, convergiendo al valor exacto de la integral definida.
Outlines
🔢 Relación entre sumas de Riemann e integrales definidas
Este párrafo introduce la relación entre las sumas de Riemann y las integrales definidas, mencionando cómo se puede reescribir una suma de Riemann como una integral. Se invita a los espectadores a intentar resolver el problema por su cuenta antes de continuar. Luego se recuerda que una integral definida de a a b de f(x) es igual al límite cuando n tiende a infinito de la suma de áreas de rectángulos pequeños, con la base delta x y la altura f(x) evaluada en un punto dentro de la base delta x.
🧮 Descripción de la suma de Riemann por la derecha
Aquí se explica cómo se construyen las sumas de Riemann por la derecha, comenzando desde el límite inferior a y sumando las bases delta x tantas veces como indique el índice. Se describe cómo la base de cada rectángulo es delta x, y cómo la altura corresponde al valor de f(x) evaluado en el lado derecho del rectángulo. Se continúa sumando hasta cubrir el rango de la integral.
📈 Reconocimiento de un patrón y definición de variables
Se analiza el patrón en la función, observando que f(x) parece ser el logaritmo natural de x. Se identifican otros elementos clave, como el valor de a (2) y delta x, que es 5/n. Se menciona que esta estructura permite escribir la suma de Riemann como una integral definida con un límite inferior de 2, aunque aún se debe encontrar el límite superior.
🧩 Cálculo del límite superior
Este párrafo detalla el proceso para encontrar el límite superior de la integral, que se basa en analizar la delta x. Se menciona que la diferencia entre los límites de integración dividida entre el número de particiones (n) es igual a delta x. Después de reemplazar los valores conocidos, se concluye que el límite superior es 7. Con esto, se reescribe la suma de Riemann como una integral definida completa.
📊 Interpretación gráfica de la integral definida
Se enfatiza cómo la integral definida representa el área bajo la curva entre 2 y 7, describiendo la relación entre la suma de Riemann y una aproximación a esa área. Se explica que, aunque la suma de Riemann se usa para aproximar el área, cuando n tiende a infinito, la aproximación se vuelve exacta. Finalmente, se ilustra cómo se dividen los rectángulos para calcular el área.
Mindmap
Keywords
💡Suma de Riemann
💡Límite
💡Integral definida
💡Función
💡Logaritmo natural
💡Delta x
💡Rectángulo
💡Aproximación
💡Área
💡Curva
💡Análisis
Highlights
El objetivo del vídeo es reescribir una suma de Riemann como una integral definida.
Se relaciona una integral definida con la suma de áreas de muchos rectángulos.
La base de los rectángulos en una suma de Riemann se expresa como delta x.
La altura de cada rectángulo es el valor de la función evaluada en un punto dentro de delta x.
Cuando se hace una suma de Riemann por la derecha, se usa la altura en el lado derecho del rectángulo.
La función en este caso es el logaritmo natural de x, que se utilizará para definir la altura.
Se reconoce que delta x en este problema es igual a 5/n, una clave para establecer la integral.
El límite inferior de integración es 2, pero inicialmente no se conoce el límite superior.
Para encontrar el límite superior, se analiza cómo se define delta x.
Se deduce que el límite superior es 7, completando así los límites de la integral.
La integral definida es el área bajo la curva del logaritmo natural de x entre 2 y 7.
La suma de Riemann se usa como una aproximación del área bajo la curva antes de tomar el límite.
Cada rectángulo tiene una base de 5/n y una altura que depende del logaritmo natural.
El primer rectángulo tiene una altura de logaritmo natural de 2 más 5/n multiplicado por 1.
Al tomar el límite cuando n tiende a infinito, se obtiene una mejor aproximación del área exacta.
Transcripts
aquí tenemos una suma de riman con el
límite cuando n tiende a infinito y el
objetivo de este vídeo es ver si podemos
reescribir esto como una integral
definida los invito a que pausa en el
vídeo y tratan de resolver esto por su
cuenta
recordemos como una integral definida se
relaciona con una suma de riman tengo la
integral definida de a a b de fx de x y
como ya hemos visto en otros vídeos esto
es igual al límite cuando n tiende a
infinito de la suma con sigma mayúscula
que va desde igual a uno hasta n
esencialmente vamos a sumar las áreas de
muchos rectángulos donde la base de
estos rectángulos que escribimos como
delta x y la altura será el valor de la
función f x evaluada en algún lugar de
esa delta x cuando hacemos una suma de
riman por la derecha el valor que
usaremos aquí será la altura del lado
derecho de este rectángulo así que
comenzamos en el límite inferior a y
sumamos tantas delta x como especifica
nuestro índice
y es igual a 1 entonces sumamos una
delta x estaremos en el lado derecho del
primer rectángulo si y es igual a 2
entonces sumaremos 2 delta x y así
sucesivamente lo de aquí queda como
delta x por el índice y esta es la forma
general que habíamos con anterioridad
una posibilidad es intentar reconocer un
patrón aquí nuestra función luce como la
función logaritmo natural esto sería
nuestra fx lo escribimos fx es igual a
logaritmo natural de x que más
encontramos a luce como 2 y cuál será
nuestra delta x vemos esto que está
multiplicando y que está dividido entre
n y que no está siendo x y luce como
nuestra delta x y esto de aquí luce como
delta x x y así que nuestra delta x es
igual a 5 / n podemos decir que esto es
igual a la integral definida de
conocemos el límite de integración
inferior que es 2 pero aún no conocemos
el límite de integración superior de
nuestra función es el logaritmo natural
de x
y aquí al final escribimos de equis para
terminar de escribir esta integral
definida
necesitamos encontrar el límite superior
y la forma de encontrar el límite
superior es analizando nuestra delta x
la forma en la que definimos esta delta
x en esta suma de ruymán es la
diferencia entre nuestros límites de
integración dividida entre las secciones
que queremos tener que es n así que esto
es igual a b menos a entre n aquí
reemplazamos lo que conocemos
esto es delta x así que aquí escribimos
b menos a que sabemos es 2 entre n b
menos dos es igual a 5 por lo que ve es
7 ahora si ya encontramos el límite
superior de la integral que es 7 y ya
tenemos nuestra suma de riman reescrita
como una integral definida nuevamente
quiero hacer énfasis en porque esto
tiene sentido si gráfica mos esto
luciría así vamos a hacerlo a mano
esto de aquí es uno y vamos de 2 a 7
aunque no es algo exacto la integral
definida es el área bajo la curva entre
2 y 7 podemos ver la suma de riman como
una aproximación cuando n no tiende a
infinito pero cuando decimos y es igual
a 1 el primer rectángulo tendrá una base
de 5 entre n
así que decimos que la diferencia entre
2 y 7 esta distancia de 5 la dividimos
entre n rectángulos el primer rectángulo
tiene una base de 5 entre m y cuál será
la altura como es una suma de riman por
la derecha usaremos el valor de la
función justo aquí en 25 entre n este
valor de aquí es el logaritmo natural de
25 entre m y como es nuestro primer
rectángulo lo multiplicamos por 1
continuamos haciendo esto el segundo
rectángulo tiene una base igual de 5
entre n pero la altura será el logaritmo
natural de 2 + 5 / n x 2
esto es para cuando y es igual a 2 el
anterior es para cuando y es igual a 1
espero que con esto ustedes vean que
tiene sentido el área del primer
rectángulo es el logaritmo natural de 2
+ 5 / n x 1 x 5 / m el área del segundo
rectángulo es el logaritmo natural de
dos más 5 x 2 / n x 5 / m y todo esto
está calculando la suma del área de
todos estos rectángulos pero está
tomando el límite cuando n se aproxima a
infinito por lo que tendremos una mejor
aproximación cada vez para calcular el
área exacta
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