Aproximaciones de Riemann rectangulares y trapezoidales
Summary
TLDREn este video, se exploran diversas maneras de aproximar el área bajo la gráfica de una función utilizando diferentes métodos. Primero, se utilizan rectángulos con alturas determinadas por la función en los extremos izquierdo y derecho, así como en el punto medio. Luego, se introduce el uso de trapecios, explicando cómo se puede obtener una aproximación más precisa promediando los lados paralelos de los trapecios. Se destaca que estas aproximaciones, aunque variadas, buscan el mismo objetivo: calcular el área bajo una curva, sentando las bases de la integral definida.
Takeaways
- 📏 En el video, se explica cómo aproximar el área bajo una curva usando rectángulos, comenzando con rectángulos basados en el extremo izquierdo de los intervalos.
- 📐 La aproximación del área se obtiene sumando las áreas de cada rectángulo, donde el alto es dado por la función evaluada en el extremo izquierdo del intervalo.
- 🔄 Otra forma de aproximar el área es evaluando la función en el extremo derecho de cada intervalo, lo que cambia las alturas de los rectángulos.
- 📍 También es posible aproximar el área utilizando el punto medio del intervalo para evaluar la función, creando una mejor aproximación.
- 🟦 La fórmula básica de la suma de áreas implica la multiplicación de la altura del rectángulo (función evaluada) por el ancho del intervalo (Delta x).
- ✏️ La longitud del intervalo total es B - A, y Delta x es esta longitud dividida entre el número de rectángulos (n).
- 📊 Se describe cómo usar los trapecios en lugar de rectángulos para mejorar la aproximación, promediando las alturas en los extremos del intervalo.
- ➗ El área de un trapecio se calcula promediando las alturas en los extremos del intervalo y multiplicando por el ancho (Delta x).
- 📉 Cada método tiene sus propias características y es una forma válida de aproximar el área bajo la curva, utilizando distintas alturas o figuras geométricas.
- 🧮 Se recuerda que estas aproximaciones son representaciones gráficas de un concepto algebraico más amplio, relacionado con la integral.
Q & A
¿Qué método se usó en los videos anteriores para aproximar áreas bajo la gráfica de una función?
-En los videos anteriores, se usaron rectángulos donde la altura estaba dada por la función evaluada en el extremo izquierdo de cada intervalo.
¿Cómo se calcula el área de un rectángulo en el método de aproximación utilizando extremos izquierdos?
-El área de cada rectángulo se calcula multiplicando la altura, que es F(x) evaluada en el extremo izquierdo del intervalo, por la base, que es Δx, la cual es la longitud del intervalo dividido entre el número de rectángulos.
¿Cómo cambia la aproximación si se evalúa la función en el extremo derecho en lugar del extremo izquierdo?
-Si se evalúa la función en el extremo derecho, los rectángulos tienen alturas dadas por F(x) en el extremo derecho del intervalo, lo que cambia las áreas pero sigue utilizando el mismo Δx para la base.
¿Qué diferencia hay al usar el punto medio para aproximar las áreas?
-Cuando se usa el punto medio, la altura del rectángulo se evalúa en el punto medio entre los dos extremos del intervalo, es decir, F((x0 + x1) / 2), lo que mejora la precisión de la aproximación en algunos casos.
¿Cuál es la fórmula general para aproximar áreas utilizando rectángulos con la altura en el punto medio?
-La fórmula general es la suma de F((xi-1 + xi) / 2) multiplicado por Δx para cada uno de los n rectángulos.
¿Cómo se utiliza el método de los trapecios para aproximar el área bajo una curva?
-El método de los trapecios usa la función evaluada en ambos extremos del intervalo y luego promedia estas alturas para formar un trapecio. El área de cada trapecio se calcula promediando los dos lados paralelos (F(xi-1) y F(xi)) y multiplicando por la base Δx.
¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un trapecio en este contexto?
-La fórmula es (F(xi-1) + F(xi)) / 2 multiplicado por Δx.
¿Cómo se determina el valor de Δx en estos métodos de aproximación?
-Δx se calcula como (b - a) / n, donde b y a son los extremos del intervalo y n es el número de subdivisiones o rectángulos/trapecios utilizados en la aproximación.
¿Cuál es la principal ventaja de usar el método del punto medio sobre los extremos izquierdo y derecho?
-El método del punto medio tiende a dar una aproximación más precisa, ya que evalúa la función en un valor central del intervalo, lo que puede compensar las desviaciones que ocurren cuando se usan solo los extremos.
¿Qué aspecto clave se debe recordar sobre los métodos de aproximación discutidos?
-Es importante recordar que estos métodos (extremo izquierdo, extremo derecho, punto medio y trapecios) son formas de aproximar el área bajo una curva, y cada uno ofrece una precisión diferente dependiendo del comportamiento de la función en el intervalo.
Outlines
📊 Explicación de aproximación de áreas bajo la curva usando rectángulos
En este párrafo, se explica cómo se aproximan áreas bajo la curva de una función utilizando rectángulos. Se menciona que en videos anteriores, los rectángulos se construían evaluando la función en el extremo izquierdo. Se detalla el proceso paso a paso, comenzando con un primer rectángulo, cuya altura está dada por F(x0), y luego avanzando con más rectángulos hasta llegar al enésimo, donde la altura está dada por F(XN-1). La base de los rectángulos es constante y corresponde a Δx, que se calcula como (b-a)/n. La suma de estas áreas genera una aproximación a la integral.
🔄 Alternativa de aproximación usando el extremo derecho de los rectángulos
Este párrafo introduce una alternativa para la aproximación del área bajo la curva, evaluando la función en el extremo derecho de cada rectángulo en lugar del izquierdo. Aquí, se recalculan las alturas de los rectángulos usando F(x1) para el primero, F(x2) para el segundo, y así sucesivamente hasta F(XN) para el último rectángulo. Se mantiene la misma base (Δx), pero cambia la altura. La suma de las áreas nuevamente produce una aproximación, pero con una diferencia en los valores obtenidos debido a la evaluación en el extremo derecho.
📍 Aproximación con evaluación en el punto medio de los rectángulos
En este párrafo, se propone una tercera forma de aproximar el área bajo la curva, utilizando la función evaluada en el punto medio de cada intervalo en lugar de los extremos. La altura del rectángulo se calcula como F((x0 + x1) / 2) para el primer rectángulo, y se sigue el mismo proceso para los rectángulos subsiguientes. Esta aproximación también involucra multiplicar la altura por la misma base Δx, lo que genera una nueva suma que representa el área bajo la curva con esta técnica de punto medio.
📐 Aproximación usando trapecios
Este párrafo introduce una nueva figura geométrica: el trapecio, para aproximar el área bajo la curva. En lugar de rectángulos, se utilizan trapecios donde un lado es F(xi-1) y el otro es F(xi). La fórmula para el área de un trapecio implica promediar las alturas de los lados paralelos y multiplicar por la base (Δx). Este método es una alternativa más precisa que los rectángulos en algunos casos, ya que tiene en cuenta la pendiente entre los puntos evaluados. La suma de las áreas de los trapecios genera otra forma de aproximar la integral.
Mindmap
Keywords
💡Rectángulo
💡Delta x
💡Función evaluada
💡Extremo izquierdo
💡Extremo derecho
💡Punto medio
💡Trapecio
💡Área bajo la curva
💡Suma de Riemann
💡Promedio
Highlights
Aproximación de áreas bajo una curva utilizando rectángulos con alturas dadas por la función evaluada en el extremo izquierdo.
La fórmula para la suma de las áreas se realiza desde i = 1 hasta n, considerando la altura de los rectángulos como f(x_i-1) multiplicada por Δx.
La longitud de la base de los rectángulos, Δx, se calcula como (b - a) / n, donde b y a son los límites del intervalo.
Otras formas de aproximar el área incluyen evaluar la función en el extremo derecho, lo que cambia las alturas de los rectángulos.
Evaluación de la función en el punto medio para aproximar el área bajo la curva, utilizando f((x_i-1 + x_i)/2).
Tercer método de aproximación con rectángulos usando la función evaluada en el punto medio de los extremos, una forma más precisa que las anteriores.
Uso de trapecios como otra forma de aproximar el área bajo la curva, considerando los valores de la función en los extremos izquierdo y derecho.
El área de un trapecio se calcula promediando los dos lados paralelos (f(x_i-1) y f(x_i)) y multiplicando por la base Δx.
Resumen de cuatro formas de aproximar áreas bajo una curva: rectángulos por el extremo izquierdo, derecho, punto medio, y usando trapecios.
El primer método usa rectángulos con altura en el extremo izquierdo, resultando en rectángulos ligeramente mayores en algunos casos.
En el método del extremo derecho, la altura de los rectángulos se calcula evaluando la función en x_i, generando rectángulos más pequeños en ciertos intervalos.
Aproximación en el punto medio ofrece una mejor precisión, ya que la función se evalúa en el punto medio entre dos puntos consecutivos.
El uso de trapecios promedia las alturas de los extremos, dando un ajuste más suave entre los puntos y mejorando la aproximación.
Cada uno de estos métodos tiene aplicaciones diferentes, dependiendo del nivel de precisión y la naturaleza de la función que se desea integrar.
Los símbolos matemáticos que representan sumas e integrales en realidad son aproximaciones geométricas que utilizan rectángulos o trapecios.
Transcripts
en los videos pasados hemos aproximado
áreas por debajo de la Gráfica de una
función utilizando rectángulos donde el
alto estaba dado por la función evaluada
en el extremo izquierdo Entonces
teníamos rectángulos más o menos de esta
forma va entonces aquí teníamos un
primer rectángulo que llegaba como por
acá va Y entonces el rectángulo se veía
así ese de ahí era nuestro rectángulo
número uno luego nuestro segundo
rectángulo empezaba en x1 su altura era
F dex uno así que teníamos algo de este
estilo más o menos algo así luego el
tercer rectángulo Este es el segundo el
tercer rectángulo su altura era F de x2
más o menos en este punto ahí tenemos F
de x2 va y seguíamos seguíamos y
seguíamos hasta llegar al enésimo
rectángulo donde la altura era F de XN
-1 F de XN - 1 o sea llegar hasta
aquí y la base era un cierto Delta x va
entonces este de aquí es el enésimo
rectángulo Okay entonces cuando
realizábamos la suma de estas áreas qué
nos quedaba pues la aproximación nos
quedaba la suma la
suma desde I = 1 hasta n esto lo que
indicaba era que nos fuéramos moviendo
en cada uno de los rectángulos desde el
primero Hasta el enésimo de qué cosa
pues de las áreas de estos rectángulos y
el área estaba dada por la altura la
altura que era F de x y - 1 multiplicada
por un Delta x aquí f x y - 1 hace que
corresponda con lo que queremos verdad
si si I es 1 nos queda el primer
rectángulo y queda F de x0 si I es 2 es
el segundo rectángulo queda F de x1 y
así si llegamos hasta n el nmo
rectángulo tiene altura F XN - 1
entonces Esas son las alturas y esto de
acá El delta x era el largo y como
estábamos suponiendo que todos los
rectángulos tenían el mismo largo ese
largo lo podíamos
calcular considerando la longitud del
intervalo que era B - a y dividiendo
entre la cantidad de rectángulos que era
n Muy bien Entonces esto de acá nos da
una aproximación sin embargo debes estar
pensando que no es la única forma de
aproximar el área y sí tienes toda la
razón en realidad podemos aproximar
evaluando la función no en el extremo
izquierdo sino en el derecho o en el
punto medio o incluso podemos utilizar
otra figura geométrica Entonces vamos a
ver eso en estas otras figuras estas
otras gráficas de por acá vale vamos a
esta de acá a la de la derecha y vamos a
pensar que aquí este los rectángulos la
altura está dada por F por la función
evaluada en el extremo derecho Entonces
ahora nuestro primer rectángulo tendría
esta altura va tendría esta altura de
acá Entonces ahora sería un rectángulo
un poco más chaparrito que antes ese de
ahí sería el primer rectángulo el
segundo rectángulo ahora tendría esta
altura de acá esta verdad F evaluada en
x2 déjalo déjalo indico es f en x2 este
este de acá sería f en x1 creo que esto
no se ve mucho pero bueno se ve la idea
verdad Y así así vamos a continuar hasta
el enésimo rectángulo y ahora la altura
estaría dada por F de XN Sí entonces
este de acá sería el enésimo el
enésimo
rectángulo muy bien ahora cómo nos
quedaría nuestra aproximación Cómo
quedaría la suma pues una vez más va a
hacer la
suma otra vez tenemos que movernos por n
rectángulos Entonces vamos desde I = 1
hasta n vamos recorriendo todos del área
y ahora cuál es la altura pues la altura
ahora digamos para el primer rectángulo
es F de x1 para el segundo es F de x2
Entonces ahora nos quedaría F de
xi multiplicado multiplicado por el
largo que es delta x este Delta x es el
mismísimo Delta x que antes sí eso no ha
cambiado lo que sí cambia la diferencia
con el anterior es que antes la altura
estaba dada por f en el extremo
izquierdo pero ahora la altura está dada
por f en el extremo derecho vale muy
bien Ahora qué tal que que no queremos
eh aproximar utilizando la función
evaluada en los extremos sino que
queremos evaluar la función en el punto
medio vamos a ver cómo nos quedarían las
cuentitas pasando a esta figura de acá
Entonces ahora ahora el rectángulo Pues
sí va a tener esta base pero su altura
no va a estar dada ni por la función
evaluada aquí ni acá sino en el punto
medio va en este punto medio de acá y
cuánto vale cuánto vale este punto medio
pues es la mitad entre x0 y x1 o sea
sería x0 + x1 / 2 entonces la altura la
trazamos así vemos hasta donde llegamos
este punto de acá este punto de acá es F
de x0 + x1 / 2 y por tanto el rectángulo
se vería se vería más o menos así sí
Ahí va y que me quede un poco más como
rectángulo entonces ahí tendríamos el
primer rectángulo va el rectángulo
número uno de modo similar aquí
tomaríamos el punto medio subimos
llegamos hasta la función evaluada y y
esta sería la altura del rectángulo
número dos y esta de aquí es la altura
del rectángulo número do y continuamos
continuamos hasta el enésimo rectángulo
donde una vez más pues tiene esta base
verdad de XN - 1 a XN n pero ahora la
altura llega aquí va a la función
evaluada en el punto medio entonces
llega a aquí sale y Val este de aquí
sería el enésimo rectángulo cómo nos
quedaría la aproximación Pues ahora
quedaría la
suma la
suma desde I = 1 hasta n Y ahora cómo
está dada la altura Pues ahora tenemos
que evaluar la función en en el punto
medio en el punto medio de el punto x y
- 1 y el punto xi en el punto medio y
eso lo tenemos que multiplicar por Delta
x la misma Delta x esta Delta x no ha
cambiado es B - a / n que también es la
misma Delta x de acá pero la diferencia
es que estamos evaluando la función f en
el punto medio muy bien ya tenemos Tres
formas de hacerlo vamos a pensar en una
más pero Vamos a ponernos un poco más
creativos ahora vamos a cambiar de
figura geométrica y vamos a utilizar
trapecios vale trapecios Eso suena más
divertido Entonces cómo le haríamos para
calcular el este el área pues tendríamos
que dibujar nuestros trapecios los
trapecios van a ser así uno de los lados
va a ser f en el extremo izquierdo y el
otro lado va a ser f en el extremo
derecho el extremo final Entonces el
trapecio se vería más o menos algo así
va esto de aquí sería el trapecio número
uno el segundo trapecio ahora iría de
aquí a este este punto de acá Este sería
el trapecio número dos Y así seguimos y
seguimos hasta acá sí hasta acá que
tendríamos el enésimo trapecio uno de
los lados es es fxn - 1 y el otro es F
de XN y esos son los lados paralelos
Este es el enésimo trapecio muy bien
cómo le hacemos para calcular el área de
este trapecio pues vamos a acordarnos
cómo se calcula el área de un trapecio
en general Vale entonces mira este punto
de acá es F de de
x1 y este punto de acá es F de x2 F de
x2 y para calcular el área de un
trapecio tenemos que promediar sus lados
paralelos y multiplicar por eh la
distancia Que los separa va entonces por
ejemplo para este primer trapecio este
que voy a sombrear su área sería
promediar sus dos lados sería F de x1 +
F de x2 F de x2 dividido en entre dos es
el promedio de los lados y hay que
multiplicarlo por la distancia que lo
separa en este caso sería Delta de X muy
bien Este es el área del primer trapecio
verdad nada más este de acá entonces
cómo le haríamos para obtener nuestra
aproximación pues sumamos todas las
áreas y por lo tanto nos quedaría la
suma la suma desde I = 1 hasta n
entonces hay que promediar los dos
valores de la función sea de F de X Y
Bueno le voy a poner aquí primero xi - 1
+ F de
xi dividido 2 entre 2 y todo eso voy a
moverme tantito a la derecha
multiplicado por Delta x El mismísimo
delta x de Siempre sale y Vale entonces
quería mostrarte estas cuatro formas
para acostumbrarnos a que hay varias
formas en las cuales podemos aproximar
el área por debajo de una integral estas
puedes verla puede que las las veas en
tus libros y y de hecho puede ser que
que veas estos símbolos de acá que
parecen símbolos algebraicos sin mucho
sentido entonces lo que quiero que que
te quede además de las cuatro formas de
hacerlo es que estos símbolos
algebraicos representan algo en el fondo
representan una aproximación utilizando
rectángulos o trapecios este es con el
extremo izquierdo verdad con la altura
dada por el extremo izquierdo esta con
la altura dada por el extremo derecho
esta con el punto medio y esta de acá es
una aproximación utilizando trapecios an
Browse More Related Video
Sumas de Riemann de punto medio | Khan Academy en Español
Aproximaciones trapzoidales del area bajo la curva
Método del trapecio | Integración numérica |Métodos Numéricos | Parte 1 | ¡Muy básico!
Área bajo la curva (Cálculo integral) Método de rectángulos. EJEMPLO 2
Cálculo Integral 01:Área bajo una curva. Area under a curve
08-3) Integral de área HB
5.0 / 5 (0 votes)