Estimar el área bajo una curva usando rectángulos | Comprobando con calculadora
Summary
TLDREn este video, Jesús Granjera enseña cómo estimar el área bajo una curva utilizando rectángulos. El ejemplo práctico utiliza la parábola de x² entre 0 y 1. Jesús explica cómo usar una calculadora para generar una tabla de valores y luego dibujar la curva y los rectángulos correspondientes. Calcula las áreas tanto por encima como por debajo de la curva, y sugiere promediar estos valores para obtener una mejor aproximación. Finalmente, compara su resultado con el valor exacto obtenido usando la integral en la calculadora. Un método práctico para estudiantes de matemáticas.
Takeaways
- 📊 El objetivo del video es enseñar cómo estimar el área bajo una curva utilizando rectángulos.
- 📉 El problema a resolver es estimar el área bajo la parábola de x² desde 0 hasta 1.
- 🧮 Utilizan una calculadora para generar una tabla con los valores necesarios para graficar la función.
- 📏 Se traza la gráfica de la parábola y se divide el área en 5 rectángulos, cada uno con una altura diferente.
- 📐 El área de cada rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura.
- 🔢 Se suman las áreas de los rectángulos para obtener una aproximación del área total bajo la curva, que da 0.44.
- ⚠️ La aproximación tiene errores, ya que los rectángulos sobrepasan la curva en algunos casos.
- 🔄 Para mejorar la aproximación, se proponen más rectángulos o calcular el área con rectángulos por debajo de la curva.
- 🔗 El área final aproximada se obtiene promediando las áreas de los rectángulos por arriba y por debajo, dando un valor de 0.34.
- 🔢 La integral calculada con la calculadora da un valor de 0.333, lo que indica que la estimación fue bastante cercana.
Q & A
¿Cuál es el objetivo principal del video?
-El objetivo principal del video es enseñar cómo estimar el área bajo una curva usando rectángulos, específicamente bajo la parábola \(x^2\) desde 0 hasta 1.
¿Qué herramienta utiliza el presentador para realizar los cálculos?
-El presentador utiliza una calculadora para realizar los cálculos necesarios y generar una tabla de valores que le permite graficar la curva y estimar el área.
¿Cómo se dividen los intervalos para estimar el área bajo la curva?
-Los intervalos se dividen en segmentos de 0.2, creando cinco rectángulos que cubren el área bajo la curva desde 0 hasta 1.
¿Cómo se calculan las áreas de los rectángulos?
-El área de cada rectángulo se calcula multiplicando la base (0.2) por la altura, que es el valor de la función \(x^2\) en cada punto específico de la tabla generada por la calculadora.
¿Qué estrategia propone el presentador para mejorar la estimación del área bajo la curva?
-El presentador sugiere dos estrategias: aumentar el número de rectángulos para reducir el error y promediar las áreas obtenidas tanto por arriba como por abajo de la curva.
¿Cuál es el valor aproximado del área bajo la curva usando el promedio de áreas por arriba y por abajo?
-El valor aproximado del área bajo la curva es 0.34, obteniendo este valor al promediar el área por arriba (0.44) y el área por abajo (0.24).
¿Cuál es el resultado exacto del área bajo la curva calculado con la integral?
-El resultado exacto del área bajo la curva calculado con la integral es 0.333, que corresponde a \(1/3\).
¿Cómo se podría reducir aún más el margen de error en la estimación del área?
-Para reducir el margen de error, se podrían usar más rectángulos con intervalos más pequeños, lo que daría una estimación más precisa del área bajo la curva.
¿Qué ventaja tiene el método de promediar las áreas por arriba y por abajo de la curva?
-Promediar las áreas por arriba y por abajo de la curva permite obtener una mejor aproximación del área real, ya que equilibra los errores de sobreestimación y subestimación.
¿Qué recomendación hace el presentador al final del video?
-El presentador recomienda suscribirse al canal y compartir el video con compañeros, además de activar la campanita para recibir notificaciones de nuevos videos.
Outlines
📊 Aprendiendo a Estimar Áreas Bajo Curvas
En este vídeo, Jesús Granjera nos enseña a estimar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Comienza explicando cómo dibujar la gráfica de la parábola x al cuadrado desde 0 hasta 1 utilizando una calculadora gráfica. Luego, procede a trazar rectángulos debajo de la curva para estimar el área, calculando el área de cada rectángulo y sumándolos para obtener una aproximación. Finalmente, sugiere estrategias para mejorar la precisión de la estimación, como aumentar el número de rectángulos o calcular áreas tanto por encima como por debajo de la curva y promediar los resultados.
🔍 Mejorando la Estimación del Área Bajo la Curva
En el segundo párrafo, se continúa el proceso de estimación del área bajo la curva, pero esta vez se sugiere un enfoque para compensar los errores al calcular áreas tanto por encima como por debajo de la curva. Se calculan áreas para rectángulos que están por debajo de la curva para contrarrestar las áreas excedentes calculadas anteriormente. Luego, se promedia el área total estimada por encima y por debajo para obtener una aproximación más precisa. Además, se menciona la utilización de la función de integración en una calculadora para obtener el área exacta bajo la curva, comparando el resultado con la aproximación hecha manualmente y concluyendo con una recomendación para suscriptores sobre cómo mejorar sus habilidades en cálculo de áreas.
Mindmap
Keywords
💡Área bajo una curva
💡Rectángulos
💡Gráfica
💡Calculadora
💡Función
💡Integración
💡Error de aproximación
💡Promediar
💡Estrategia
💡Margen de error
Highlights
Tutorial de estimación del área bajo una curva utilizando rectángulos.
Introducción al problema de estimar el área bajo la parábola de x cuadrada desde 0 hasta 1.
Importancia de tener la gráfica para resolver el ejercicio.
Uso de una calculadora gráfica para trazar la gráfica de x al cuadrado.
Pasos para ingresar la función x al cuadrado en la calculadora gráfica.
Selección de los puntos de inicio y fin para la gráfica (0 y 1).
Estrategia para trazar la curva con puntos equidistantes.
Explicación de cómo trazar la curva en la calculadora gráfica.
Uso de rectángulos para estimar el área bajo la curva.
Cálculo del área de los primeros rectángulos con base de 0.2 y alturas de los puntos de la gráfica.
Suma de las áreas de los rectángulos para obtener una aproximación del área total.
Discusión sobre la aproximación y la posibilidad de errores al usar rectángulos.
Propuesta de usar más rectángulos para disminuir el margen de error.
Estrategia alternativa de calcular áreas por debajo de la curva para compensar el área sobreestimada.
Cálculo de áreas por debajo de la curva y comparación con áreas por encima.
Procedimiento para promediar las áreas por arriba y por debajo de la curva para una mejor aproximación.
Uso de la calculadora para obtener el área exacta mediante integración.
Comparación del resultado aproximado con el resultado exacto obtenido mediante integración.
Conclusión del tutorial y sugerencias para mejorar las aproximaciones en futuras tareas.
Invitación a suscribirse al canal y recomendarlo a compañeros.
Transcripts
hola qué tal cómo están bienvenidos a
este nuevo vídeo yo soy jesus granjera y
en esta ocasión les voy a enseñar como
estimar el área bajo una curva usando
rectángulos así que sin más preámbulo
comenzamos
el problema que vamos a resolver dice
utilicé rectángulos para estimar el área
bajo la parábola de la x cuadrada desde
0 hasta 1 para poder resolver este
ejercicio es importante que primero
tengamos a la gráfica entonces yo ya he
trazado aquí los ejes x
y con la ayuda de esta calculadora voy a
irles diciendo cómo hacerlo para poder
trazar la gráfica de forma muy rápida lo
primero que tenemos que hacer es irnos a
donde dice menú pues ahí está y luego
nos vamos a recorrer hasta donde dice
tabla usando estas flechas ahí ya tengo
tabla entonces le doy en el igual y ahí
me está pidiendo una función mi función
en este caso es x cuadrada la media que
x aquí pongo al cuadrado
le doy igual ay me pide una segunda
función si no tengo una segunda función
pues simplemente le sigo dando igual
donde quiero que empiece quiero que
empiece en cero en donde quiero que
termine quiero que termine en 1 en este
caso yo le voy a poner cada punto 2 para
poder hacer simplemente la gráfica ok
entonces nada más le doy igual y ya me
genera la tabla con los valores que yo
voy a graficar entonces observemos ahí
están los valores que yo voy
entonces como ya está que los valores
con la calculadora simplemente voy a
ponerlo sacar entonces bueno vamos a ir
los poniendo que es 0 0 se apuntó la
estanciera 40 40.4 con 0.16 6.36 que
tenemos por qué tener punto 8.64 estaría
más o menos por aquí
y entonces sí puedo trazar la curva
y hasta que está aquí pues sería muy
igual a x cuadrado
ahora simplemente vamos a hacer lo
siguiente voy a trazar rectángulos que
tengan la altura del número que está al
lado derecho a que me refiero a que el
primer rectángulo tendré esta pequeña
altura el segundo rectángulo entonces
tendría esta altura de aquí y luego el
tercero tendría esta altura y el cuarto
tendría esta por acá
y el quinto pues tendría hasta esta que
está pública
y ahora simplemente voy a sacar el área
de cada uno de estos rectángulos y al
final los voy a sumar entonces voy a
decir que este que está aquí va a ser mi
área 1 este de aquí va a ser mi área 2
este área 3 a 10 4 y área 5
entonces ahora sí vamos a calcular estas
áreas entonces ya es muy fácil área
mundo entonces me quedaría área 1 es
igual a la base o sea esto de aquí que
vale 0.2 por su altura la altura sería
este pedacito haya otra base la tabla
que es 0.04 bueno voy a dejarlo y yo lo
hacemos aquí en que se llamaría 270
puntos muerto tuve que es 0.16 la
tercera área 13 a 4 de 0.2 por el 0.33
4.2 por 0 2 por 1 y entonces nada más
vamos a resolver esto con la calculadora
y bien con la ayuda de la calculadora
entonces ya ha obtenido las áreas y aquí
las he puesto ok entonces ya tenemos las
áreas de cada uno de estos ahora lo que
voy a hacer es simplemente sumar los
resultados para poder aproximar el área
que están bajo esta curva entonces sería
0.008 más puntos será 32 más puntos 0 72
más punto 128 más puntos 0.44 entonces
aquí estamos diciendo que la suma de
todas estas averías va a dar 0.44
definitivamente sabemos que estamos en
un error en la aproximación ya que
nosotros podemos observar que aquí este
rectángulo que la más allá de la recta
aquí también aquí también acá y acá
entonces en todos los casos queda encima
de la recta hay una estrategia que
consiste en que ahora acá
más rectángulos es decir en lugar de que
yo tenga 1 2 3 4 y 5 rectángulos poner a
lo mejor 10 y eso era entonces que
disminuyan esos errores otra cosa que
también podemos hacer es encontrar el
área de los rectángulos pero que están
por abajo de la curva a qué me refiero a
que primero saquemos el rectángulo que
está aquí pegado en este caso sería de 0
en este no tenemos problema después el
segundo rectángulo tuviera esta altura
de aquí este que está bueno que lo voy a
pintar este chiquitito el tercero
tendría este que está aquí sería este
rectángulo esto el cuarto sería ahora
por abajo que sería este de acá
porque finalmente el quinto sería este
que está aquí
en este caso nosotros lo que estamos
haciendo es tratar de compensar aquello
que agarramos de más
ahora vamos a agarrarlo pero por abajo
entonces vamos a sacar el área pero
ahora por abajo y vamos a compararla con
el área que hicimos por arriba entonces
el resultado tendría que estar en medio
de esos dos valores no necesariamente
exactamente en medio pero tendría que
ser comprendido entre esos dos valores y
entonces al sacar el área uno pues sería
0.2 por ser vacado ha puesto eso a cero
siguiente sería 0.2 por el valor de acá
que es 0.04 acá lo he puesto y eso de
0.08 bueno y así completamos para las
áreas que están aquí marcadas con color
verde y entonces haciendo la operación
quedaría 0.24 lo cual quiere decir
entonces que la suma de las áreas verdes
va a tener ese valor ahora como ya
sabemos que el área tiene que estar
entre 0.44 y 0.24 ya que la curva
justamente pasa por el medio entonces
algo que podemos hacer para que nos dé
una mejor aproximación que ésta
esta es simplemente promediar las ojos
no nos va a dar el resultado correcto
pero sí nos va a dar una mejor
aproximación que las dos que ya tenemos
entonces vamos a hacer la serie punto 44
más punto 24 y eso entre 2 y esto nos da
0.34 y entonces éste 0.34 será la mejor
aproximación del área bajo la curva azul
ahora vamos a ver qué tanto nos alejamos
del resultado haciéndolo con la
calculadora para hacerlo con la
calculadora es realmente muy sencillo
únicamente vamos a aplicar aquí en donde
dice integral y vamos a meter a la
función en este caso sería x al cuadrado
y con las flechas vamos a movernos para
poder poner los límites de integración
que en este caso va desde 0 hasta 1 y
nos da como respuesta 0.3 33 osea 0.3
periódico ya nosotros nos había dado
0.34 entonces quiere decir que la
respuesta sí estuvo muy aproximada
cuando ustedes hagan este tipo de
ejercicios tienen
entonces varias opciones una opción
sería hacer lo que yo hice que sería
primero sacar el área por arriba y
después del área por abajo y después
promediar las eso te daría un resultado
más o menos aproxima la otra sería que
pusieras bien sea por arriba por abajo
pero un montón de rectángulos los más
que puedas hacer para que entonces tu
margen de error sea muy pequeño vivo
esto ha sido todo por hoy espero que les
haya servido y que les haya gustado si
les gustó no olviden suscribirse al
canal y recomendárselo a todos sus
compañeros no olviden activar la
campanita nos vemos en el siguiente
vídeo y nunca olvides que las
matemáticas te respaldan
[Música]
sí
[Aplausos]
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