Suma de Riemann, paso a paso, MUY FÁCIL
Summary
TLDREn este video, se enseña a calcular una integral definida utilizando sumas de Riemann. El ejemplo se centra en la integral de una función cuadrática, resolviendo paso a paso con explicaciones detalladas sobre cómo identificar los límites, calcular Delta X, y aplicar la fórmula de suma de Riemann. El proceso incluye el desarrollo algebraico y la utilización de propiedades de sumas y límites. Al final, se simplifica la expresión obtenida y se muestra el cálculo del valor de la integral. El video concluye invitando a los espectadores a practicar con un nuevo ejercicio y a suscribirse al canal.
Takeaways
- 📚 En este video, se explica cómo calcular una integral mediante una suma de Riemann.
- ✏️ La integral que se calcula es de -1 a 3 de la función x² + 6x + 3x.
- 🔢 El proceso comienza identificando los límites de integración, con 'a' como -1 y 'b' como 3.
- 🧮 Se utiliza la fórmula de suma de Riemann y se explica cómo calcular el valor de Δx.
- 🔄 Para calcular la función evaluada, se sustituyen los valores de 'a' y 'b' en la función dada.
- 📐 Se detallan los pasos algebraicos para elevar al cuadrado términos y simplificar expresiones.
- 📝 Se utilizan fórmulas de sumas como la suma de k² y la suma gaussiana para resolver las sumas parciales.
- 🔍 Se aplican propiedades de límites al final para calcular el valor exacto de la integral.
- ✅ El resultado final de la integral es 136/3, calculado paso a paso con una suma de Riemann.
- 📹 El video concluye invitando a los espectadores a practicar con una integral diferente y a dejar comentarios o preguntas.
Q & A
¿Qué método se utiliza en el vídeo para calcular la integral?
-Se utiliza el método de la suma de Riemann para calcular la integral.
¿Cuál es la función f(x) que se integra en el vídeo?
-La función f(x) que se integra es x^2 + 6x + 3.
¿Cuál es el intervalo de integración mencionado en el vídeo?
-El intervalo de integración es de -1 a 3.
¿Cómo se calcula Δx en el método de la suma de Riemann?
-Δx se calcula como (b - a) / n, donde a es el límite inferior, b es el límite superior y n es el número de subintervalos.
¿Cómo se evalúa f(x) en el punto medio de cada subintervalo?
-Se evalúa f(x) en el punto medio de cada subintervalo sustituyendo x por (a + (kΔx)), donde k es el índice del subintervalo.
¿Cuál es la fórmula para el cuadrado de un binomio (a + b)^2?
-La fórmula para el cuadrado de un binomio es a^2 + 2ab + b^2.
¿Cómo se calculan las sumas de los términos independientes en la suma de Riemann?
-Se suman directamente los términos que no dependen de la variable de suma, como los coeficientes constantes.
¿Qué propiedades de las sumas se aplican para simplificar la expresión antes de calcular el límite?
-Se aplican propiedades de las sumas para separar y simplificar términos, extraer factores comunes y aplicar fórmulas de suma de series conocidas.
¿Cómo se calcula el límite cuando n tiende a infinito en la suma de Riemann?
-Se calcula el límite de cada término de la suma por separado y se aplican propiedades de límites, como extraer constantes y dividir por la máxima potencia de n.
¿Cuál es el resultado final de la integral calculada mediante la suma de Riemann en el vídeo?
-El resultado final de la integral es 136/3, que se obtiene al calcular el límite de la suma de Riemann cuando n tiende a infinito.
Outlines
📘 Introducción a la Integral y Suma de Riemann
El primer párrafo introduce el tema del vídeo, que es el cálculo de una integral de la función \( x^2 + 6x + 3 \) desde -1 hasta 3 mediante una suma de Riemann. Se explica que, al no especificarse cómo se debe realizar la suma de Riemann, se opta por la más simple. Se describe el proceso de cálculo de la integral como el límite cuando \( n \) tiende a infinito de la suma de la función evaluada en puntos equidistantes multiplicada por el intervalo \( \Delta x \). Se identifican los valores de \( a \), \( b \), y la función \( f(x) \), y se calcula \( \Delta x \) como \( \frac{b-a}{n} \), donde \( b - a = 4 \) y se divide entre \( n \).
🔢 Desarrollo del Cálculo de la Función y Suma de Riemann
Este párrafo detalla el proceso de evaluación de la función \( f(x) \) en los puntos \( x = a + k\Delta x \) y la sustitución en la fórmula de la suma de Riemann. Se desarrolla el cálculo del binomio al cuadrado, se multiplican los términos y se organizan los términos según su grado. Se simplifican las expresiones al sumar y restar los términos similares y se prepara la suma para su evaluación en el límite cuando \( n \) tiende a infinito.
📐 Aplicación de Fórmulas de Sumas y Cálculo de Límites
El tercer párrafo se centra en el cálculo de las sumas utilizando fórmulas preestablecidas para sumas de series y se procede a simplificar la expresión obtenida. Se aplican propiedades de sumas y límites para extraer factores comunes y se calculan los límites de las expresiones resultantes. Se muestran las fórmulas para sumar cuadrados, sumar series lineales y sumar la unidad, respectivamente. Se enfatiza la simplificación de la expresión para su posterior evaluación en el límite.
🎓 Conclusión y Reto a los espectadores
El último párrafo concluye el procedimiento para calcular la integral mediante la suma de Riemann y desafía a los espectadores a intentar realizar un cálculo similar para otra integral. Se invita a los espectadores a interactuar con el canal a través de likes, suscripciones y comentarios, y se menciona que en un próximo vídeo se presentará el procedimiento completo para verificar la respuesta.
Mindmap
Keywords
💡Suma de Riemann
💡Integral definida
💡Límites de integración
💡Delta x
💡Fórmula del binomio
💡Función cuadrática
💡Propiedades de la suma
💡Propiedades de los límites
💡Fórmula de Gauss
💡Límite cuando n tiende a infinito
Highlights
Introducción al cálculo de la integral de una función mediante la suma de Riemann.
Explicación de la definición de la integral como límite de la suma de Riemann.
Identificación de los límites inferior y superior de la integral (a y b).
Selección de la función f(x) que se integra (x^2 + 6x + 3).
Cálculo del valor de Delta x (Δx) para la suma de Riemann.
Evaluación de la función f(x) en el punto a + kΔx.
Desarrollo del binomio al cuadrado para el término (-1 + 4k/n)^2.
Multiplicación del resultado del binomio por 6 para el término 6x.
Adición de los términos independientes de la función f(x).
Multiplicación de la función evaluada por Δx para obtener el término de la suma de Riemann.
Aplicación de propiedades de las sumas para simplificar la expresión de la suma de Riemann.
Uso de fórmulas de sumas para calcular la suma de términos cuadrados, lineales y constantes.
Simplificación de la suma de Riemann antes de calcular el límite.
Cálculo del límite cuando n tiende a infinito para obtener el valor de la integral.
Separación del límite en varias partes para facilitar su cálculo.
Aplicación de propiedades de límites para sacar constantes fuera del límite.
Cálculo de límites de polinomios de grados diferentes.
Obtención del resultado final de la integral a través de la suma de Riemann.
Invitación a los espectadores a intentar calcular una integral similar y ver el siguiente vídeo para la solución.
Solicitud de likes, suscripciones y comparticiones para apoyar el canal.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a calcular el
valor de la integral que va de -1 a 3 de
la función X cuadrada más 6 x + 3 x DX
mediante una suma de Riemann en este
caso como en el enunciado no nos dicen
nada más no nos dicen cómo debemos hacer
la suma de Riemann lo que hay que hacer
es tomar la suma de Riemann más sencilla
que es estaré aquí
la integral de ave de una función f de X
X d X se puede calcular como el límite
cuando n tiende a infinito de la suma
desde k = 1 hasta n de la función
evaluada en a masca por Delta x todo
esto x Delta X donde Delta x = B menos
sobre n en este momento la fórmula
parece muy complicada pero haciendo las
cosas paso a paso van a ver que
realmente es algo muy sencillo de
realizar
entonces lo primero que vamos a hacer es
identificar cuál va a ser nuestra a cuál
va a ser nuestra vez y cuál va a ser
nuestra F de x eso lo vemos pues a
partir de la integral que queremos
calcular a siempre es el número que está
abajo de la integral o sea el límite
inferior y BS límite superior así que
nuestro caso ah vale menos uno ve vale
tres y la función f de x es la expresión
que aparece aquí junto al DX entonces en
este caso tenemos que a es igual a -1 B
= 3 y X X = X cuadrada más 6 x + 3 una
vez que hemos identificado estas cosas
lo siguiente que vamos a hacer es
calcular el valor de Delta X que
simplemente consiste en restar ve menos
a y dividir entre N la N se deja así
como sin sustituir nada allí nada más se
va a sustituir B y ya así que Delta x va
a ser igual a ver que como dijimos es 3
menos a que como dijimos es menos 1 así
que queda 3 menos -1 como se repite dos
veces el signo menos el de la fórmula y
el de a hay que poner unos paréntesis
ahora hacemos esta operación menos por
menos da más 3 más 1 más 4 así que nos
queda que Delta x = 4 sobre n una vez
que hemos calculado nuestro Delta x el
siguiente paso es calcular F evaluado en
hamaca por Delta X o sea esto de aquí
para eso vamos a utilizar nuestra F de X
y antes de empezar a sustituir aquí
vamos a colocar aquí los valores tanto
de ida como de Delta x a vale menos uno
Delta x64 sobre así que nos queda FD
menos 1 más caro por Delta x qué es 4
sobre esto es que damasca por 4 sobre n
podemos hacer esta multiplicación
multiplicamos por 4 sobres y quedar
simplemente 4K sobre n recordemos que
cuando se multiplica un entero por una
fracción simplemente se multiplica lo de
arriba por lo de arriba por cuatro queda
4k
bueno entonces tenemos que calcular F de
-1 + 4K sobre n eso significa que
tenemos que sustituir esto que aparece
aquí entre paréntesis en cada una de las
X de nuestra función si se les complica
hacer eso les recomiendo que hagan lo
siguiente escriban esta función f de X
pero en lugar de poner x pongan unos
paréntesis de esta manera
entonces fíjense que aquí aparece x al
cuadrado entonces en lugar de la equis
ponemos unos paréntesis y ponemos el
cuadrado luego aparece más 6 * X pero en
lugar de la X ponemos unos paréntesis
entonces ponemos más 6 y los paréntesis
y luego finalmente esté más tres pues lo
ponemos aquí al final y adentro de esos
paréntesis vamos a colocar lo que
estamos evaluando que en este caso es
menos 1 + 4K sobre entonces lo colocamos
aquí y lo colocamos aquí también y ahora
simplemente hay que hacer estas
operaciones que son solamente
operaciones algebraicas en primer lugar
tenemos un binomio elevado al cuadrado
entonces recordemos que en este caso hay
que utilizar la fórmula que nos dice que
es el cuadrado del primer término más el
cuadrado del segundo termino más el
doble del primero por el segundo así que
vamos a hacerlo paso a paso primero
evaluamos perdón elevamos el primer
término al cuadrado menos 1 al cuadrado
es 1 positivo recuerde que cuando
elevamos un negativo al cuadrado se en
positivo entonces menos 1 al cuadrado es
1 porque uno por uno da uno y luego 4K
sobre n al cuadrado una fracción elevada
al cuadrado así que se eleva tanto lo de
arriba el cuadrado como lo de abajo al
cuadrado 4 al cuadrado es 16 al cuadrado
lo ponemos aquí como cada cuadrado y N
al cuadrado lo ponemos como n al
cuadrado aquí abajo hasta aquí hemos
elevado el primer término al cuadrado
más el segundo termino al cuadrado pero
hay que recordar que siempre también hay
que multiplicar el primero por el
segundo por 2 sea el doble del primero
por el segundo entonces multiplicamos
menos 1 x 4K sobre n eso nos va a quedar
menos 4K sobre N y cuando multiplicamos
por 2 nos queda menos 8 k sobre este es
el desarrollo de este binomio al
cuadrado ahora vamos a multiplicar estoy
aquí por 66 x menos 1 queda menos 6 y 6
x 4K sobre me queda más 24k sobre el que
simplemente se multiplica el seis por el
46 * 4 24k sobre N y esté más 3
simplemente lo pasamos y ya está ahora
lo que vamos a hacer es ordenar estos
términos de acuerdo al exponente que
tenga CA primero escribimos el que tiene
cada cuadrado dos ponemos 16K al
cuadrado sobre en el cuadra después
vamos a escribir a que tiene únicamente
acá pero bien sé que hay dos términos
que tienen acá esos términos son
semejantes los podemos sumar sumamos
menos 8K Mars 24k eso nos da 16 k sobre
N2 ponemos más 16K sobre n eso lo
podemos hacer porque las dos fracciones
tienen el mismo denominador así que
simplemente se suman los numeradores
menos 8 camas 24k queda 16K sobre N y
ahora sumamos los términos
independientes uno menos 6 queda menos 5
menos 5 más 3 queda menos 2 entonces
aquí nos queda minutos estoy aquí es ft
amasca Delta x eso lo vamos a sustituir
aquí en nuestra suma entonces vamos a
hacer ascuas paso a paso primero vamos a
calcular la suma y al final vamos a
calcular el límite así que por el
momento vamos a concentrarnos únicamente
en la suma entonces vamos a sustituir
aquí el valor de la función que como ya
vimos esta expresión de aquí y eso se
tiene que multiplicar por el Delta X que
como ya vimos es 4 sobre n así que nos
va a quedar la suma desde k = 1 hasta n
de la función que es todo esto de aquí y
hay que ponerlo entre paréntesis y X
Delta x 4 sobre entonces también lo
ponemos entre paréntesis para indicar
que se está haciendo multiplicación
bueno vamos a concentrarnos entonces en
calcular está su madre aquí lo primero
que vamos a hacer ese está
multiplicación así que multiplicamos es
muy sencillo simplemente se multiplica 4
* 16 eso nos da 64 y pasamos cada
cuadrada y N cuadrada igual luego se
multiplica 4 * 16 queda 64k y
multiplicamos n X n nos queda encuadrada
aquí también se multiplico perdón Skene
cuadrada por n queda en el cubo y aquí
en el puré me queda genial cuadrado y
luego aquí menos 2 * 4 queda menos 8 y
la n simplemente se pasa que abajo y
ahora vamos a aplicar aquí una propiedad
de la suma que nos dice que cuando
calculamos una suma de aquí de varios
términos que se están sumando restando
podemos separar en varias sumas o sea
primero separamos poniendo la suma de
64k cuadrada sobre en el cubo y a eso le
vamos a sumar la suma de 64k sobre
general cuadrado y a eso le vamos a
restar la suma de 8 sobre N
ahora vamos a aplicar otra propiedad de
las sumas fíjense que la suma la estamos
haciendo sobre K o sea desde k = 1 hasta
n así que acá va a ser nuestra variable
que estamos fumando aquí
todo lo demás que no sea acá y que esté
multiplicándose por KO dividiéndose
dividiendo acá podemos sacarla de la
suma o sea este 64 podemos sacarlo esté
en el cubo podemos sacarlo esa es una
propiedad de las uvas entonces sacamos
el 64 y el en el cubo y queda 64 sobre
el cubo por la suma de al cuadrado
hacemos lo mismo con la siguiente suma
aquí podemos sacar el 64 y LN al
cuadrado y nos queda la suma de acá
y en el siguiente no aparece ninguna
caja entonces podemos sacar todo podemos
sacar el 8 y el N y como adentro de la
suma ya no nos va a quedar nada hay que
poner uno como aquí
ahora está suma de aquí las podemos
calcular con unas fórmulas que ya hemos
dado en otros vídeos lo voy a mostrar
aquí las fórmulas
queremos calcular estas sumas de aquí
las fórmulas que vamos a usar son estas
la suma desde k = 1 hasta n de cal
cuadrado = n X n + 1 * 12 + 1 sobre 6 la
suma desde k = 1 hasta n D K = n X n + 1
sobre 2 está también se llama suma
gaussiana y la suma desde k = 1 hasta n
1 = N esas tres fórmulas son las que
vamos a utilizar aquí si quieren saber
de dónde salen estas fórmulas les voy a
dejar los enlaces en la descripción de
este vídeo donde les muestro cómo es que
se deducen estas fórmulas de aquí bueno
entonces lo que vamos a hacer es
sustituir aquí el valor de cada una de
las sumas en lugar de poner esta suma de
cada cuadrado ponemos toda esa expresión
que aparece aquí entonces colocamos 64
sobre en el cubo
* el valor de esta suma qué es n X n + 1
* 12 + 1 sobre 6
hacemos lo mismo con la siguiente suma
en este caso el valor es n X n + 1 sobre
2 y finalmente la última suma es n
entonces nada más he sustituido los
valores que nos dicen aquí las fórmulas
ahora vamos a hacer estas operaciones y
vamos a simplificar todo lo que podamos
entonces lo primero que vamos a hacer
aquí es un pequeño truco que nos va
ayudar a simplificar la expresión S6 que
está dentro de los paréntesis vamos a
sacarlo y el N al cubo que está fuera
vamos a meterlo aquí en lugar del 6 o
sea de esta manera habrá el 6 queda aquí
afuera abajo del 64 y Elena el cubo
queda aquí a dentro de los paréntesis
hacemos lo mismo aquí este 22 sacamos
esté en el cuadrado lo metemos en los
paréntesis y en esa expresión que
aparece aquí al final está en está
multiplicando y está dividiendo así que
se pueden cancelar y nos queda
únicamente el 8 ahora aquí podemos hacer
algunas cancelaciones también podemos
cancelar una nd arriba con una nd abajo
y entonces abajo nos queda en el
cuadrado
aquí también cancelamos una nd arriba
con una nd abajo y abajo nos queda
únicamente n ya no hace falta poner
estos paréntesis porque ya nos estamos
aplicando por nada aquí afuera así que
dejamos n + 1
y ahora lo que vamos a hacer aquí es
realizar está multiplicación que está
aquí arriba n + 1 x 2 n más uno es una
multiplicación muy sencilla nos va a
quedar 12 n al cuadrado + 3 n + 1
entonces vamos a hacerlo de una vez
nos ta2n cuadrado más 13 más uno bueno
esta expresión es la que vamos a
utilizar para calcular el límite cuando
n tiende a infinito porque toda esa
expresión de aquí surgió de hacer esta
suma entonces nos falta únicamente
calcular límite cuando n tiende a
infinito y eso ya nos va a dar el valor
de la integral vamos a hacer entonces
eso
tenemos que calcular límite cuando n
tiende a infinito de esta expresión que
fue la que obtuvimos y lo que vamos a
hacer es aplicar ahora algunas
propiedades de límites que son similares
a las propiedades que vimos para la suma
en primer lugar podemos separar este
límite es el límite de una suma y cada
uno de estos límites existe por separado
así que podemos separar en tres límites
o sea nos va a quedar límite cuando n
tiende a infinito de esta primera
expresión aquí luego más límite cuando n
tiende a infinito de esta expresión y
luego menos límite cuando n tiende a
infinito de 8 ahora aquí podemos
utilizar otra propiedad de límites que
nos dice que las constantes que están
multiplicando a la función podemos sacar
las de límite o sea 32 tercios lo
sacamos de límite y nos queda entonces
así 32c tercios de límite cuando tiende
a infinito de esta expresión luego este
32 también lo sacamos de límite y aquí
en este caso tenemos viste cuando n
tiende a infinito de una constante así
que el resultado es simplemente esa
constante y ya está vamos a calcular
entonces ahora cada uno de estos límites
de aquí que son límites muy sencillos de
calcular para eso podemos aplicar un
pequeño truco
normalmente esos límites se calculan
dividiendo tanto el numerador como el
denominador por la mayor potencia de N o
sea tendríamos que dividir cada termino
entre N al cuadrado pero en el caso en
el que tengamos dos polinomios que
tienen el mismo grado en este caso es de
grado 2 y en ese caso también es de
grado 2 el límite simplemente va a ser
igual a la división de los coeficientes
de los términos principales o sea se
divide el dos que está junto ADN al
cuadrado entre el coeficiente de línea
cuadrado que está aquí abajo que es 12 /
1 es dos así que límite de esta
expresión simplemente es 2
lo mismo podemos hacer aquí en este caso
los polinomios son de grado uno así que
dividimos dos coeficientes de la
potencia uno de N o sea que tenemos uno
y aquí uno no uno entre uno es uno así
que el valor de límite es simplemente
uno ya hemos calculado los límites ahora
simplemente hay que hacer estas
operaciones
32 tercios por 2 nos da 64 tercios 32 *
1232 menos 8 nos queda 24 y ahora
sumamos 64 tercios más 24 y eso nos
queda 136 tercios este de aquí es
finalmente el valor de esta integral
calculado mediante suma de rimas
mediante este mismo procedimiento
ustedes pueden intentar calcular el
valor de la integral de 1 a 4 de X al
cubo de X mediante sumas de Ryman y en
el siguiente vídeo les muestro el
procedimiento completo para que
verifiquen su respuesta si les gustó
este vídeo apoyen de regalándome un like
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vídeos y recuerden que si tienen
cualquier pregunta o sugerencia pueden
dejarla en los comentarios
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