13. Integral de raiz de 6x (separar raices)
Summary
TLDREn este video, el presentador guía a los espectadores a través del proceso de integrar la raíz cuadrada de 6x. Se explica cómo separar la constante 6 de la variable x utilizando la propiedad de las raíces, y luego se aplica la fórmula para integrar x elevado a la 1/2. Se introduce la regla de la herradura para manejar fracciones en el denominador, culminando en la simplificación de la integral. El video invita a los espectadores a aplicar estos conceptos para resolver una integral similar, prometiendo un próximo video con la solución.
Takeaways
- 😀 El vídeo trata sobre cómo realizar la integral de la raíz cuadrada de 6x.
- 🔢 Se utiliza la fórmula que separa la constante de la variable en la raíz.
- 📐 Se extrae la constante √6 fuera de la integral.
- 📘 Se aplica la propiedad de la integral de una potencia fraccionaria de una variable.
- 📙 Se utiliza la fórmula \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) para calcular la integral.
- 🔄 Se convierte el exponente fraccionario en un radical para aplicar la regla de la herradura.
- 🔢 Se multiplica lo de arriba con lo de abajo en la regla de la herradura.
- 📚 Se obtiene el resultado final de la integral como \( 2\sqrt{6}x^{\frac{3}{2}} \).
- 📖 Se sugiere que los espectadores intenten realizar una integral similar que se explicará en el próximo vídeo.
- 🔍 Se enfatiza que aunque la integral parece complicada, sigue un procedimiento similar al de la integral de la raíz cuadrada.
Q & A
¿Qué fórmula se utiliza para separar la constante de la variable en una integral?
-Se utiliza la fórmula que dice que la raíz de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raíces, para separar la constante de la variable en una integral.
¿Cómo se aplica la propiedad de sacar una constante fuera de la integral?
-La constante se saca fuera de la integral multiplicando la integral de la variable por la constante, y luego se multiplica la constante por el resultado de la integral de la variable.
¿Cuál es la fórmula para integrar la raíz de una variable?
-La fórmula para integrar la raíz de una variable es \( \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C \), donde \( C \) es la constante de integración.
¿Qué significa el exponente a 1/2 + 1 en el contexto de la integral?
-El exponente a 1/2 + 1 se utiliza para aplicar la fórmula de la integral de una potencia, donde se suma 1 al exponente y se divide entre el nuevo exponente para encontrar la antiderivada.
¿Cómo se convierte un exponente fraccionario en un radical en el contexto de la integral?
-Para convertir un exponente fraccionario en un radical, se toma la raíz correspondiente al numerador del denominador del exponente, en este caso, la raíz cuadrada para un exponente de 3/2.
¿Qué es la regla de la herradura en el contexto de la integral?
-La regla de la herradura es una técnica utilizada para integrar funciones que están en la forma de una fracción donde el denominador es una potencia, se multiplica el numerador por el exponente del denominador y se coloca como exponente del radicando.
¿Cómo se aplica la regla de la herradura en la integral dada en el guion?
-Se aplica la regla de la herradura multiplicando el numerador por el exponente del denominador, lo cual en este caso es 2, y luego se simplifica la expresión para obtener la integral final.
¿Qué significa el término 'raíz de cualquier tipo' en el guion?
-El término 'raíz de cualquier tipo' se refiere a que la técnica de separar la constante de la variable en una integral puede aplicarse a cualquier raíz, no solo a la raíz cuadrada, sino también a la cuarta, quinta, etc.
¿Cómo se junta la multiplicación de raíces en una sola raíz?
-Para juntar la multiplicación de raíces en una sola raíz, se toma la raíz común de los radicandos y se multiplica el resultado por el producto de los radicandos que están fuera de la raíz.
¿Cuál es el resultado final de la integral de la raíz cuadrada de 6x según el guion?
-El resultado final de la integral de la raíz cuadrada de 6x es \( 2\sqrt{6}x^{3/2} + C \), donde \( C \) es la constante de integración.
Outlines
📚 Integral de la raíz cuadrada de 6x
En este párrafo se explica el proceso para calcular la integral de la función \(\sqrt{6x}\). Se comienza aplicando la propiedad de las raíces, separando la constante 6 de la variable x, lo que resulta en \(6 \cdot \sqrt{x}\). Luego, se extrae la constante 6 de la integral, dejando \(\sqrt{x}\) como el nuevo integrando. Se utiliza la fórmula de la integral de una raíz, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), donde n es 1/2 para la raíz cuadrada. Al aplicar esta fórmula, se obtiene \(x^{3/2} / (3/2)\). Para simplificar, se convierte el exponente fraccionario en un radical y se aplica la regla de la herradura, lo que lleva a la finalización de la integral como \(2\sqrt{6}x^{3/2}\).
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Raíz cuadrada
💡Constante
💡Propiedad de la integral
💡Exponente
💡Regla de la herradura
💡Radical
💡Multiplicación de raíces
💡Antiderivada
💡Función
Highlights
Integración de la raíz cuadrada de 6x.
Utilización de la fórmula raíz(ab) = raíz(a) * raíz(b) para separar el 6 de la x.
Extracción de la constante √6 fuera de la integral.
Aplicación de la fórmula raíz(x) = x^(1/2).
Transformación de la integral usando la propiedad de la constante multiplicativa.
Aplición de la regla de la integral de una potencia, x^n = x^(n+1)/(n+1).
Suma del exponente y división por el nuevo exponente para simplificar la integral.
Conversión del exponente fraccionario en radical para aplicar la regla de la herradura.
Multiplicación de los términos superior e inferior en la regla de la herradura.
Resultado final de la integral como √6 * x^(3/2) / (3/2).
Conversión del denominador fraccionario en radical para una mejor comprensión.
Unificación de las raíces en una sola raíz cuadrada.
Comparación de la integral de la raíz cuadrada con la de una raíz de un número diferente.
Proposición de realizar una integral similar pero con una raíz de un número diferente.
Sugerencia de que la integral de una raíz de un número diferente sigue un procedimiento similar.
Promesa de mostrar en el siguiente video cómo realizar la integral de una raíz de un número diferente.
Transcripts
Hola a todos vamos a realizar ahora la
integral de la raíz cuadrada de
6x para esto hay que utilizar en primer
lugar esta fórmula que nos dice que la
raíz de una multiplicación es igual a la
multiplicación de las raíces esto con el
fin de separar el 6 de la x de esta
manera queda í 6 por
rax ahora una vez que la tenemos así
este ra 6 es una
constante Por lo cual podemos aplicar
esta propiedad que nos dice que si
tenemos una constante
multiplicando la podemos sacar de la
integral de esta manera la raí de 6 sale
de la
integral y multiplica a a la integral de
raíz de X ahora aplicamos esta otra
fórmula que nos dice que la raíz de X es
igual a x elevado la 1/2
y nos queda
así Ahora que la tenemos de esta manera
podemos utilizar esta
fórmula que nos dice que al exponente
hay que sumarle uno y dividir entre ese
mismo
resultado de esta forma nótese que la
raíz de 6 simplemente la hemos estado
pasando y aquí quedaría x a la 1/2 + 1 /
1/2 +
1 1/2 + 1 1 se calcula de esta forma 1/2
+ 1 es = a 1/2 + 2/2 2/2 es un entero y
1/2 + 2/2 nos da 3/2 Entonces nos queda
así √6 * x a la 3/2 / 3/2 ahora como
tenemos una fracción en el denominador
hay que utilizar regla de la
herradura y para ello antes vamos a
convertir este exponente fraccionario en
un radical
y nos queda así raíz cuadrada de X c eso
Porque este 2 es como esta n y es el
índice de la raíz cuando se trata de un
dos Es simplemente raíz cuadrada y el TR
de arriba queda como exponente de la x
adentro de la
raíz Ahora aquí también puse un uno
abajo de todo esto para poder hacer
regla de la herradura se multiplica lo
de hasta arriba con lo de hasta abajo y
nos queda así 2 √ 6 ra x cúbica y 1 * 3
3 finalmente volvemos a aplicar esta
propiedad pero ahora en el en el sentido
inverso tenemos una multiplicación de
Raíces Así que lo podemos juntar en una
sola
raíz de esta
manera este sería finalmente el
resultado de esta
integral Ahora intente ustedes realizar
esta otra integral que es muy similar a
esta Aunque Aunque parezca un poquito
más complicada realmente es muy
similar se puede aplicar esta propiedad
que nos dice que la raíz de cualquier
tipo de una multiplicación es igual a la
multiplicación de las raíces esta n
puede ser un 3 un 4 un 5 cualquiera en
este caso es un c Entonces al igual que
ocurría con la raíz cuadrada podemos
separar también estas raíces Y a partir
de y realizar un procedimiento muy
similar al que acabamos de ver aquí
intenten realizarla y en el siguiente
videoo les muestro cómo
hacerla
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