50. Integral indefinida por el método de Sustitución (Cambio Variable). Expresión con raíz cuadrada.

PROFE RODOLFO YOUTUBER

15 Jan 201911:05

Summary

TLDREn este video educativo, el licenciado Rodolfo Rodríguez Alférez guía a los estudiantes a través del ejercicio 50 de integrales indefinidas utilizando el método de sustitución. Se enfoca en la integral de x al cubo sobre la raíz cuadrada de x al 45, demostrando las propiedades de radicación y la derivación para simplificar la integral. Al final, se resuelve obteniendo la función original más una constante de integración, invitando a los espectadores a suscribirse y seguir aprendiendo matemáticas.

Takeaways

📘 El vídeo trata sobre la integración de funciones utilizando el método de sustitución.
👨‍🏫 Se menciona que el vídeo es presentado por el licenciado Rodolfo Rodríguez Alférez.
📐 Se resuelve el ejercicio 50, que implica la integral de \( x^3 \) sobre \( \sqrt{x^{453}} \).
🔢 Se destacan tres propiedades clave para resolver la integral: la propiedad de la radicación, la derivación y la simplificación de exponentes.
🛠️ Se transforma la raíz cuadrada en una fracción para facilitar la integración.
📝 Se hace una sustitución donde \( x^{45} = u \) y se calcula la derivada para encontrar \( du \).
🧮 Se simplifica la integral sustituyendo \( x^3 \) por \( du \) y se cancelan los términos equivalentes.
🔄 Se aplica la propiedad de los exponentes negativos para simplificar la integral.
📐 Se usa la propiedad de la integral de una potencia para resolver la integral.
🔍 Se resuelve el exponente fraccionario y se iguala el denominador para simplificar la expresión.
📘 Se concluye con la integral resuelta y se invita a suscribirse al canal educativo.

Q & A

¿Qué método se utiliza para resolver la integral indefinida mencionada en el guion?
-Se utiliza el método de sustitución para resolver la integral indefinida.
¿Cuál es la integral que se resuelve en el ejercicio 50 del guion?
-La integral que se resuelve es la integral de x al cubo sobre la raíz cuadrada de x al 45.
¿Qué propiedad de las raíces se utiliza en el proceso de sustitución?
-Se utiliza la propiedad de las raíces que indica que la raíz n-ésima de x a la m se puede escribir como x a la m/n.
¿Cómo se simplifica la expresión raíz cuadrada de x al 45 en el guion?
-La raíz cuadrada de x al 45 se simplifica como x a la 45/2, que es x a la 45/2.
¿Cuál es la derivada de x a la 45/2 que se utiliza en el proceso?
-La derivada de x a la 45/2 es 45/2 * x a la 43/2.
¿Cómo se reemplaza la variable en la integral después de la sustitución?
-Después de la sustitución, se reemplaza x al cubo por 2/45 * dv, donde v es x a la 45/2.
¿Cuál es el resultado de cancelar x al cubo en la integral?
-Al cancelar x al cubo, se obtiene una integral que se reduce a 1/4 * dv.
¿Cómo se maneja el exponente negativo en la integral?
-El exponente negativo se maneja cambiando el signo del exponente y elevando la base a la potencia correspondiente, en este caso, 1/2 - 1.
¿Qué propiedad se utiliza para integrar una potencia negativa?
-Se utiliza la propiedad de la integral de una potencia, donde la integral de x a la n se eleva la n en 1 y luego se coloca el resultado en el denominador.
¿Cómo se simplifica la expresión final de la integral después de aplicar las propiedades?
-La expresión final se simplifica al combinar los términos y elevar los exponentes, lo que resulta en x a la 45/2 elevado a la 1/2 más la constante de integración.

Outlines

00:00

📘 Introducción a la integral y propiedades básicas

El presentador inicia el video saludando y explicando que continuarán con la resolución de integrales indefinidas utilizando el método de sustitución. Se menciona el ejercicio 50, que implica resolver la integral de x^3 sobre la raíz cuadrada de x^45. Se introduce la conversión de la raíz cuadrada a una fracción exponencial y se explican tres propiedades clave que serán necesarias para resolver la integral.

05:01

🔢 Desarrollo del cálculo mediante sustitución

Se comienza a trabajar la integral aplicando la sustitución. Se convierte la raíz cuadrada de x^45 en x^(45/2), y se deriva x^45 para obtener 4x^3. Luego, se sustituye esta expresión en la integral original, simplificando los términos. Se menciona cómo la constante 4 puede salir de la integral, y se comienza a transformar la integral restante, utilizando propiedades exponenciales y simplificaciones.

10:03

📝 Resolución final y simplificación de la integral

El proceso de integración continúa con la aplicación de la propiedad de las potencias para completar la solución. Se suman fracciones y se ajustan los exponentes para obtener el resultado final de la integral, que incluye un término con raíz cuadrada y una constante de integración. Finalmente, el presentador invita a los espectadores a suscribirse al canal y concluye el video.

Mindmap

Keywords

💡Integrales indefinidas

Las integrales indefinidas son una herramienta matemática utilizada para encontrar una función cuya derivada da como resultado una función dada. En el guion, se menciona que se siguen con integrales indefinidas por el método de sustitución, lo que indica que el video trata sobre cómo resolver integrales usando esta técnica.

💡Método de sustitución

El método de sustitución es una técnica utilizada en cálculo integral para simplificar integrales complejas. En el guion, se utiliza este método para resolver el ejercicio 50, lo que implica que el video enseña cómo aplicar esta técnica para integrar funciones más complejas.

💡Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son reglas matemáticas que gobiernan el comportamiento de las raíces, como la raíz cuadrada. En el guion, se menciona la conversión de una raíz cuadrada en otra forma, lo que muestra cómo estas propiedades se aplican para simplificar la integral que se está calculando.

💡Exponente

Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. En el guion, se habla de exponentes como parte de la manipulación algebraica de la función que se está integrando, como en 'x al cubo', que es una forma de representar x³.

💡Derivada

La derivada es una operación matemática que define la tasa de cambio de una función con respecto a su variable. En el guion, se menciona la derivada de 'x a la 4', que es 4x al cubo, y se utiliza para simplificar la integral a través del método de sustitución.

💡Constante de integración

La constante de integración es un término que se añade a la solución de una integral indefinida para abarcar todas las posibles funciones que podrían ser la antiderivada de la función dada. En el guion, se menciona que se añade una 'constante de integración' al final de la solución.

💡Propiedades de los exponentes negativos

Las propiedades de los exponentes negativos definen cómo se comportan los términos con exponentes menores que cero. En el guion, se utiliza la propiedad de que 1/x^n es igual a x^(-n) para simplificar la integral, lo que muestra cómo se manejan estos exponentes en el cálculo.

💡Integral de una potencia

La integral de una potencia es una regla del cálculo integral que permite calcular la integral de una función que es una potencia de x. En el guion, se utiliza esta regla para simplificar la integral al final del proceso, mostrando cómo se aplica esta técnica.

💡Ley de la oreja

La ley de la oreja, también conocida como el producto de fracciones, es una regla algebraica que permite simplificar la multiplicación de fracciones. Aunque no se menciona explícitamente en el guion, se puede inferir que se utiliza para simplificar fracciones que surgen en el proceso de integración.

💡Radicación

La radicación es el proceso de encontrar el número que, elevado a cierto poder, da como resultado otro número dado. En el guion, se menciona la radicación como parte de la simplificación de la integral, donde se convierte una potencia en una raíz cuadrada.

Highlights

Introducción al método de sustitución para resolver integrales indefinidas.

Explicación del ejercicio 50: integral de x al cubo sobre raíz cuadrada de x al 45.

Propiedades de la radicación utilizadas para transformar la integral.

Conversión de la raíz cuadrada en una potencia fraccionaria.

Simplificación de la expresión x a la 45/2 mediante la propiedad de las potencias.

Derivación de x a la 4/5 para encontrar la variable de integración.

Determinación de la variable de integración 'v' como x a la 4/5.

Reemplazo de la variable original por la variable de integración en la integral.

Eliminación de la parte común x al cubo entre el numerador y el denominador.

Extracción de la constante 4 fuera de la integral.

Transformación de la integral de una potencia fraccionaria.

Apllicación de la propiedad de la integral de una potencia para simplificar la expresión.

Manipulación algebraica para simplificar la fracción resultante de la integral.

Resolución de la fracción resultante utilizando la técnica de igualar denominadores.

Simplificación final de la integral obteniendo la función x a la 45/2.

Conclusión del ejercicio presentando la integral resuelta.

Invitación a suscribirse al canal educativo y a seguir aprendiendo matemáticas.