Series de Taylor | Un Resultado MUY IMPORTANTE en FÍSICA

Summary

Este vídeo explora el uso de las series de Taylor para aproximar funciones complejas, como el seno y la exponencial, facilitando su cálculo y entendimiento. Se explica que, a pesar de las limitaciones en la precisión de las medidas tradicionales, las series de Taylor permiten a las calculadoras aproximar valores con muchos decimales. Además, se discuten aplicaciones prácticas en física y ingeniería, y se menciona cómo estas series pueden ayudar a resolver ecuaciones diferenciales y entender comportamientos de funciones en diferentes contextos.

Takeaways

• 🔍 La aproximación es necesaria en matemáticas y la vida real para resolver problemas complejos de manera más sencilla.
• 📚 Las series de Taylor son una herramienta valiosa para aproximar funciones y tienen aplicaciones en diversas ciencias.
• 📐 El seno de un ángulo theta se define como la longitud del lado opuesto en un triángulo de círculo de radio unidad.
• 🔢 La aproximación del seno de un número con muchos decimales es imposible de calcular con precisión usando solo mediciones directas.
• 🤖 Las calculadoras utilizan algoritmos como CORDIC y series de Taylor para calcular funciones complejas con muchos decimales.
• 👨‍🔧 La aproximación de funciones con polinomios es una técnica sencilla que se basa en operaciones básicas como sumar, multiplicar y elevar a potencias.
• 📉 El polinomio de Taylor de una función es una aproximación que mejora cuanto más términos se añaden, y puede ser igual a la función si se consideran infinitos términos.
• 🌐 El Teorema de Taylor afirma que cualquier función derivable en un punto puede ser aproximada por un polinomio, el cual se construye a partir de las derivadas de la función en ese punto.
• 📈 Los polinomios de Taylor son útiles para entender el comportamiento de funciones cerca del punto de aproximación y para resolver ecuaciones diferenciales.
• 🎓 Las series de Taylor son importantes en física y ingeniería, donde se usan para resolver problemas que involucran funciones complejas.
• 🔑 La aproximación de funciones con series de Taylor permite obtener soluciones más simples y entendibles, como en el caso de la energía cinética relativista.

Q & A

¿Qué son las series de Taylor y para qué sirven?

Las series de Taylor son una forma matemática de aproximar funciones complejas mediante polinomios más sencillos. Sirven para facilitar cálculos en situaciones donde las funciones originales son difíciles de calcular o no se conocen sus valores.

¿Cómo se relaciona el seno de un ángulo con las series de Taylor?

El seno de un ángulo puede ser aproximado utilizando la serie de Taylor para la función seno, centrada en cero. Esto permite calcular el valor del seno para ángulos con muchos decimales utilizando sumas de potencias y coeficientes basados en las derivadas de la función en cero.

¿Por qué no podemos calcular el seno de un número con muchos decimales de manera exacta con la regla y el compás?

Con la regla y el compás no es posible calcular valores con una cantidad extensa de decimales debido a la limitación de la precisión y el tamaño de los instrumentos, lo que hace imposible alcanzar la exactitud requerida.

¿Qué es el algoritmo CORDIC y cómo se relaciona con las series de Taylor?

El algoritmo CORDIC es una técnica utilizada en computación para calcular trigonometría y funciones hiperbólicas. Aunque no está directamente relacionado con las series de Taylor, ambos son métodos para aproximar funciones matemáticas en computadoras.

¿Cómo se puede aproximar el seno de un ángulo pequeño utilizando un polinomio simple?

Para ángulos pequeños, el seno puede ser aproximado por el ángulo mismo (es decir, seno ≈ ángulo), ya que en el origen las funciones seno y el ángulo son prácticamente iguales.

¿Qué es el Teorema de Taylor y qué nos dice sobre las funciones?

El Teorema de Taylor establece que cualquier función que se puede derivar un número infinito de veces en un punto puede ser aproximada por un polinomio, conocido como el polinomio de Taylor, que se construye a partir de las derivadas de la función en ese punto.

¿Cómo se construye el polinomio de Taylor para una función dada?

Se construye calculando las derivadas de la función en el punto de aproximación y utilizando estas derivadas para determinar los coeficientes del polinomio. El polinomio resultante es una suma de términos que incluyen potencias del variable y factoriales inversos.

¿Por qué las series de Taylor son importantes en física y ingeniería?

Las series de Taylor son importantes en física y ingeniería porque permiten aproximar funciones complejas y resolver problemas que de otra forma serían muy difíciles o imposibles de calcular, como el movimiento de un péndulo o la energía cinética relativista.

¿Cómo se relaciona la aproximación del seno con el movimiento de un péndulo?

La ecuación del movimiento de un péndulo contiene una función seno, lo que hace que la ecuación sea difícil de resolver. Al aproximar el seno por el ángulo (en el caso de ángulos pequeños), se obtiene una ecuación alternativa más simple que describe el movimiento del péndulo.

¿Cómo se puede utilizar la serie de Taylor para calcular el número de Euler o el logaritmo neperiano?

Al sustituir x por 1 en la serie de Taylor de la función exponencial, se obtiene una expresión que representa el número de Euler. Del mismo modo, al evaluar la serie de Taylor del logaritmo neperiano en x = 1, se obtiene una serie que representa el logaritmo neperiano.

Outlines

00:00

📚 Introducción a las Series de Taylor

El primer párrafo introduce el concepto de aproximación en matemáticas y cómo las series de Taylor son una herramienta valiosa para aproximar funciones complejas. Se menciona el ejemplo del seno de un ángulo y cómo las calculadoras utilizan series de Taylor y algoritmos como CORDIC para calcular valores precisos de funciones, incluso cuando los números son muy grandes o tienen muchos decimales. Se destaca que, a pesar de las limitaciones de las herramientas manuales, las series de Taylor permiten una aproximación precisa de funciones como el seno y la exponencial, que de otro modo serían difíciles de calcular.

05:04

🔍 Aplicaciones y Teorema de Taylor

Este párrafo profundiza en las aplicaciones de las series de Taylor y presenta el Teorema de Taylor, que permite aproximar cualquier función derivable en un punto dado a través de un polinomio. Se ilustra cómo se construye el polinomio de Taylor para la función seno, centrando en el punto 0, y cómo se pueden añadir términos adicionales para mejorar la precisión de la aproximación. Se visualiza la evolución de los polinomios de Taylor para el seno al añadir más términos y se muestra cómo esto permite calcular valores de funciones con una precisión determinada por el usuario.

10:06

🌟 Series de Taylor y su Belleza Matemática

El tercer párrafo explora aún más las propiedades y aplicaciones de las series de Taylor, destacando su capacidad para transformar funciones complejas en polinomios más sencillos de entender y manipular. Se mencionan ejemplos de cómo las series de Taylor pueden ser utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales, calcular límites y en métodos numéricos, así como su importancia en física y ingeniería. También se tocan curiosidades matemáticas, como la relación entre la serie de Taylor del número de Euler y el logaritmo neperiano, y se invita a la audiencia a reflexionar sobre preguntas adicionales relacionadas con las series de Taylor que serán abordadas en un próximo video.

Keywords

💡Aproximación

La aproximación se refiere a la técnica de estimar un valor o resolver un problema de manera no exacta pero suficientemente precisa para ciertos propósitos. En el video, se destaca cómo la aproximación es esencial en matemáticas y la vida real, especialmente cuando se trabaja con funciones complejas o números con muchos decimales, como el seno de un ángulo con muchos decimales.

💡Series de Taylor

Las series de Taylor son una herramienta matemática que permite aproximar funciones utilizando polinomios. En el video, se presenta como una forma extremadamente útil para aproximar funciones en matemáticas y ciencias, ilustrando cómo se puede calcular el seno de un ángulo con muchos decimales a través de esta técnica.

💡Función seno

La función seno es una de las funciones trigonométricas básicas, que representa la relación entre los lados de un triángulo rectángulo en un círculo de radio unidad. En el video, se utiliza como ejemplo para demostrar cómo las series de Taylor pueden ser utilizadas para aproximar su valor en ángulos complejos.

💡Cálculo de derivadas

El cálculo de derivadas es un concepto fundamental en matemáticas que involucra encontrar la tasa de cambio de una función. En el contexto del video, las derivadas son esenciales para construir la serie de Taylor y, por lo tanto, para aproximar funciones complejas.

💡Polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas que consisten en la suma de términos que contienen potencias de una variable. En el video, se menciona que los polinomios son útiles para aproximar funciones, ya que son más sencillos de evaluar que funciones más complejas.

💡Teorema de Taylor

El Teorema de Taylor es un resultado matemático que establece cómo se puede aproximar cualquier función que se puede derivar infinitamente en un punto dado, utilizando un polinomio. En el video, se explica cómo este teorema permite construir la serie de Taylor y se utiliza para demostrar la precisión de las aproximaciones.

💡Desarrollo de Taylor

El desarrollo de Taylor es la aplicación práctica del Teorema de Taylor, que se usa para representar una función como una suma infinita de términos polinómicos. En el video, se muestra cómo el desarrollo de Taylor de la función seno se construye y se utiliza para aproximar su valor.

💡Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una que involucra derivadas de una o más funciones desconocidas. En el video, se menciona cómo las ecuaciones diferenciales, como la que describe el movimiento de un péndulo, pueden ser difíciles de resolver y cómo las aproximaciones pueden simplificar el proceso.

💡Energía cinética relativista

La energía cinética relativista es un concepto de física que describe la energía de movimiento de una partícula según la teoría de la relatividad especial. En el video, se utiliza como ejemplo para ilustrar cómo las series de Taylor pueden ser utilizadas para aproximar y entender mejor esta energía en términos de la velocidad de la partícula.

💡Aplicaciones

Las aplicaciones hacen referencia a las diferentes áreas o problemas donde se puede utilizar una técnica o concepto. En el video, se discuten diversas aplicaciones de las series de Taylor, incluyendo la física, la ingeniería y la resolución de ecuaciones diferenciales.

Highlights

La aproximación es necesaria en matemáticas y la vida real para resolver problemas complejos de manera más sencilla.

Las series de Taylor son una aproximación muy útil para funciones en diversas ciencias.

El seno de un ángulo theta se puede visualizar a través de un círculo de radio unidad y un triángulo correspondiente.

El cálculo del seno de un número con muchos decimales es imposible de realizar con precisión manualmente.

Las calculadoras utilizan algoritmos como CORDIC y series de Taylor para calcular funciones complejas.

El polinomio es una herramienta simple y poderosa para aproximar funciones complejas.

El seno de x se aproxima a x cuando x es cercano a 0, lo que es útil para cálculos en ángulos pequeños.

El Teorema de Taylor permite construir un polinomio que aproxima una función dada en un punto específico.

El polinomio de Taylor para el seno, centrado en 0, es una buena aproximación para valores pequeños de x.

El polinomio de Taylor se vuelve más preciso a medida que se añaden más términos.

Las series de Taylor son fundamentales en la física y la ingeniería, por ejemplo, en el movimiento de un péndulo.

La aproximación del seno de x por x es útil para resolver ecuaciones con ángulos pequeños.

El número de Euler y el logaritmo neperiano pueden ser expresados a través de series de Taylor.

Las series de Taylor son esenciales para la aproximación de funciones complejas y su comprensión.

El desarrollo de Taylor de la energía cinética relativista muestra la transición de la física clásica a la relativista.

Las series de Taylor tienen múltiples aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales y métodos numéricos.

El vídeo plantea preguntas sobre la igualdad entre una serie de Taylor y la función original, y su validación en diferentes intervalos.

El vídeo invita a suscriptores y like para recibir más contenido sobre series de Taylor y matemáticas aplicadas.

Transcripts

En matemáticas y en el mundo real, muchas veces no podemos calcular de forma totalmente

exacta lo que nos rodea. Tenemos que recurrir a aproximaciones para tratar de resolver ciertos

problemas y que la vida sea más sencilla. Pero el arte de la aproximación puede tomar

muchas variantes, algunas mejores que otras.

Hoy os voy a hablar de mi preferida, las series de Taylor, extremadamente útiles a la hora

de aproximar funciones y que además tienenuna infinidad de aplicaciones en casi todas las

ciencias.

Empecemos con un ejemplo. ¿Qué es el seno de un ángulo teta? Para hallarlo se suele

construir un círculo de radio unidad y un triángulo de esta forma, con el ángulo theta.

Pues bien, se dice que el seno es la longitud del lado amarillo, mientras que la del lado

azul es el coseno. Si variamos el valor de theta, se puede ver que las longitudes de

estos segmentos cambian, se hacen más grandes y más pequeños. Es decir, esto depende del

ángulo teta, y por tanto, podemos dibujar cuánto valen el seno y el coseno en función

de este. O lo que es lo mismo, son funciones.

Todo esto está genial, pero ahora la pregunta. Qué pasa si yo quisiera calcular el seno

de algo con muchos decimales, yo qué sé, uno muy largo, 2.4712563187213. Se podría

pensar que simplemente hay que aumentar la precisión de las medidas y ya estaría, pero

¿tenemos precisión suficiente para medirlo? La respuesta es no, son demasiados decimales.

Con regla y compás, sería imposible tener un resultado preciso. Por aquí no se puede

avanzar mucho.

Pero… las calculadoras lo hacen. Es decir, si le pones el seno de un número con muchísimos

decimales, a ella le da igual, lo saca casi al instante. Es imposible que tengan una tabla

de datos con todos los valores del seno para todos los valores que introduzcas, porque

no cabrían en la memoria. Entonces, ¿cómo lo hace? ¿Hay alguna fórmula o algo? Pues

lo suelen calcular de dos formas. La primera, un algoritmo muy famoso llamado cordic. Y

la segunda, por series de Taylor. Hoy, hablaremos de esta última.

De nuevo, quiero que os quedéis con la idea. A priori no tenemos herramientas para calcular

el seno de algo con muchos decimales, pero tampoco de otras muchas funciones. Sin ir

más lejos, la exponencial tampoco es, en un principio, sencilla de calcular. El número

e elevado a un decimal, pues… tampoco es que sea trivial. ¿Entonces cómo se hace?

Pues ha quedado claro que con estas funciones no queremos meternos, por lo que podemos ir

a cosas más sencillas. Y es que lo que sí que manejamos sin ningún problema es sumar,

multiplicar, y las potencias. 0.5 elevado a 2 es fácil, lo podéis hacer a mano. 0

con 3 a la cuarta también, e incluso esta última, aunque os cueste más tiempo, sacarse

se puede sacar a lápiz y papel.

Esto recuerda mucho a los polinomios, que son sumas de x elevados a algo. Este tipo

de funciones, que como solo son sumas, multiplicaciones y potencias, son mega fáciles de evaluar,

no como las otras. Y precisamente son las que nos van a ayudar en nuestra tarea de obtener

una fórmula para el seno que nos sirva para cualquier número.

Como un algún buen ingeniero dijo alguna vez, ¿para qué quieres complicarte la vida

si puedes aproximar el resultado con cosas fáciles Pues eso vamos a hacer, aproximar

el seno con cosas que tenemos controladas, con polinomios. Esta es la función seno,

aquí en azul. Molaría encontrar algún polinomio que se le aproxime bastante, como por ejemplo…

simplemente p de x igual a x. Y vale, tenéis razón, esto no se aproxima prácticamente

en nada al seno, perooo… fijaos que si nos acercamos mucho mucho al origen, las funciones

son prácticamente iguales. Y esto quiere decir que si tenemos un valor muy pequeño,

en vez de calcular el seno, podemos calcular directamente este polinomio.

Y algo parecido con el coseno. En este caso, un buen polinomio candidato es 1 menos x al

cuadrado partido por 2. De nuevo, no aproxima todo el coseno, pero si nos acercamos a x

igual a 0, podéis ver que las funciones prácticamente son la misma. Con lo que si queremos calcular

el coseno de algo pequeño x, simplemente podemos hacer 1 menos ese x al cuadrado entre

2, y esa sería una buena aproximación.

Todo esto de aproximar funciones con polinomios, que parece una tontería, en realidad tiene

un sinfín de aplicaciones. Si habéis estudiado física o ingeniería, seguro que habréis

usado seno de x igual a x en un montón de ocasiones.

Un ejemplo curioso de aplicación es el siguiente. Imaginad que tenemos un péndulo colgado de

una cuerda rígida. La idea es, dado un ángulo inicial, ¿Cuándo lo soltemos, cómo se moverá?

Este sistema tiene una ecuación diferencial que describe el movimiento del ángulo del

péndulo, que es esta de aquí. Pero tiene un problema, que tiene un seno ahí en medio,

y esto provoca que es súper difícil de resolver. Si queréis indagar un poco más en el tema,

os dejo un vídeo aquí arriba donde se profundiza más.

Entonces, ¿qué se suele hacer para hallar la solución? Pues un sacrificio. Vale, hemos

dicho que el seno de x es parecido a x cuando x es pequeño. O en este caso, en vez de x,

una tetha. Pues podemos considerar otra ecuación alternativa que cambie el seno de tetha por

simplemente tetha. Y esta, señores y señoras, es muchísimo más fácil de resolver que

la anterior. Por lo tanto, estamos aplicando la ley del mínimo esfuerzo, ¿para qué quiero

resolver una ecuación difícil si puedo trabajar con ángulos pequeños y que todo funcione

prácticamente igual?

Esa es una buena forma de verlo, en muchas ocasiones con eso basta. Pero fijaos en que

si aumentamos el ángulo inicial de salida, pues los dos modelos ya no se parecen tanto,

e incluso son totalmente diferentes cuando el ángulo es grande. Y esto, de nuevo, es

porque el seno de x solo es muy parecido a x cuando x es muy pequeño, cuyo caso no es

este, ya que para ángulos lejanos de 0 la aproximación ya no vale para nada.

Vale, ha quedado claro. Tenemos estas expresiones aproximadas para el seno y el coseno si x

es lo suficiente cercano a 0. ¿Pero y si queremos ver cuánto vale el seno en valores

grandes? Desde luego, estas fórmulas no valdrían. Y otra pregunta que surge, ¿cómo sabíamos

que estos polinomios eran los buenos? ¿Y los hay de mejores? ¿Algunos que aproximen

mejor? Pues sí, y esta respuesta la da el Teorema de Taylor. Un Teorema que, de nuevo,

si estudiáis física o ingeniería podríais incluso planteároslo como vuestro siguiente

tatuaje.

Dice así. Si tienes una función que puedas derivar varias veces en un punto a, entonces

puedes aproximar dicha función con un polinomio. Y, además, te dice cómo construirlo.

Es este de aquí. El número a es donde queremos aproximar nuestra función f, que antes era

el seno. En este caso se dice que es el polinomio de Taylor centrado en a. Fijaos que todas

estas expresiones serán números que dependen de las derivadas, por lo que es fácil ver

que sí que nos queda un polinomio, con términos x menos a elevado a números. Y por último,

también hay que añadirle la función Rn, que es la función del error. Esta ya no tiene

porqué ser un polinomio, pero se puede acotar y generalmente es pequeña. Sin considerasr

esta última, llamaremos polinomio de Taylor de grado n a todo lo de la izquierda.

Fijaos en que este teorema es un resultado increíblemente fuerte, porque nos está contando

que si conocemos los valores de las derivadas de una función en un punto, entonces podemos

obtener información de esa misma función alrededor de ese punto. Podemos ver cómo

se va a comportar.

Para que veáis cómo funciona, vamos con el caso de antes. El seno, vamos a construir

su polinomio de Taylor centrado en 0. Lo que hacemos es calcular todas las derivadas que

queramos usar. Cuantas más, mejor aproximación tendremos. En este caso, como es el seno,

es fácil. Y ahora directamente a construir. F de 0 es 0, por lo que este término es 0

y no se añade nada. F prima de 0 es 1. Por lo que tenemos 1 por x. Voilà, aquí tenemos

justo lo que habíamos visto antes, que el seno de x es mas o menos x. Pero es que ahora

podemos seguir. F prima prima de 0 es 0, por lo que no se añade nada. F prima prima prima

de 0 es -1. Por lo que se añade menos 1 por x al cubo entre 3 factorial, que es 6. Y esto

quiere decir que si le añadimos este término, ahora el polinomio será una mejor aproximación

que solo con la x. Además, podemos seguir así hasta el infinito, obteniendo cada vez

más precisión.

Para que lo veáis de forma visual, así es como evolucionan los polinomios de Taylor

de la función seno cuando añadimos más términos. Que por cierto, es esta fórmula

cerrada de aquí. Es increíble que para apenas unos cuántos términos nuestro polinomio

en amarillo sea prácticamente clavado al seno en este intervalo. Por supuesto, esto

quiere decir que, cuanto más añadimos, MEJOR, por lo que podemos calcular con la precisión

que queramos cualquier valor del seno. Ya sea grande o pequeño.

Y pasa lo mismo con otras muchas funciones. Por ejemplo la de la función exponencial.

Usando sus derivadas para construir el polinomio de Taylor, podéis comprobar que cuantos más

términos se añadan, más se parecen los polinomios a la función. Y de esta forma

también e puede calcular cualquier valor de la exponencial con la precisión que queramos.

Esto es lo que hacen algunas calculadoras para evaluar las funciones difíciles que

ofrecen en su repertorio. Muchas veces lo hacen con series de Taylor y… teniendo el

error controlado, pueden sacar la precisión que quieran. Simplemente hay que sobrepasar

la precisión de la calculadora y ya está.

Por poner un ejemplo concreto. Si queremos aproximar el seno de este número, simplemente

podríamos hacer el número, menos el número al cubo entre 6, mas el número a la quinta

entre 5 factorial, que es 120. De esta forma, con un cálculo súper sencillo, se obtienen

nada más y nada menos que 4 decimales correctos.

Por supuesto, esto se puede hacer con todas las funciones que se os ocurra que sean derivables

hasta cierto punto. El polinomio de Taylor que creéis será una buena aproximación

a dicha función. Incluso en algunas, como las que estáis viendo, se llega a que si

tienes infinitos términos, entonces es igual a la propia función, lo cuál es una bonita

forma de pensarlas como polinomios de grado infinito. En este caso, cuando se consideran

infinitos términos, se suele utilizar el término serie de Taylor en vez de polinomio.

Y aquí empieza lo bonito. Suceden cosas muy chulas cuando manipulamos las series de taylor.

Por ejemplo, sustituid en la primera x igual a 1. Entonces tenemos que el número de Euler

es la suma de los inversos de todos los factoriales desde el 0 al infinito. Una cosa increíblemente

bella.

O sustituid x igual a 1 también abajo. Entonces llegaréis a que el logaritmo neperiano de

2 es 1 menos un medio mas un tercio, menos un cuarto… y así hasta el infinito. Podéis

comprobarlo con la calculadora si queréis, es una relación muy bonita.

Como vamos diciendo en todo el vídeo, la mayor virtud de las series de Taylor es la

aproximación. Muchas veces tenemos funciones muy muy feas, y queremos entender cómo se

comportan. Para ello simplemente podemos caclular su desarrollo de Taylor y obtener un polinomio

aproximado, que por supuesto entendemos muchísimo mejor. Por ejemplo, el caso que estáis viendo

ahora mismo, e elevado al seno de x elevado a 73 mas otro e elevado a x menos uno. Pues,

desde luego, su aproximación centrada en 0 es 1 + x + x^2 al cuadrado mas blablá,

que es mucho más fácil de entender que lo de arriba.

Y también, como os he adelantado, son importantísimas en física. Hay miles de ejemplos, os pongo

uno. La energía cinética relativista de una partícula de masa m y velocidad v es

esto de aquí. Esto se puede ver como una función que depende de v. A más velocidad,

más energía. Pero no deja de ser una expresión con raíces y demás. Lo que podemos hacer

es, como no, calcular su desarrollo de Taylor centrado en 0, que es esta expresión de aquí

y es muchísimo más fácil de entender. Y es bonito porque fijaos que si la velocidad

es muy pequeña comparada con la de la luz, la energía cinética se puede aproximar por

m por v al cuadrado partido por 2, que es la energía cinética clásica, la que probablemente

os enseñasen en el colegio. Y aquí nos podríamos lavar las manos, no es que no tuviésemos

razón antes de la relatividad, sino que simplemente estábamos considerando el primer término

del desarrollo de Taylor. Ejem.

Y para no alargar mucho más el vídeo, os dejo algunas aplicaciones más de las series

de Taylor que resultan muy útiles. Ya sea la resolución de ecuaciones diferenciales,

el resolver límites, métodos numéricos, e innumerables contribuciones a la física

y la ingeniería.

Pero… quiero parado ahí, quedan varias preguntas sin responder. ¿La serie de Taylo

, la que consideramos los infinitos términos, siempre es igual a la propia función original?

¿Siempre podemos poner que una función infinitamente derivable es igual a su serie de Taylor? Y

ahí va otra, ¿por qué en algunas series se puedeneevaluar en todos los reales, mientras

que otras solo en un intervalo pequeño? ¿Qué está pasando aquí?

Pues bueno, son preguntas un poco complejas, así que mejor os las respondo en el siguiente

vídeo. Aún así, os dejo a una de las protagonistas.

Y hasta aquí llega el vídeo de hoy. Después de las vacaciones, volvemos a tope con los

vídeos. Así que ya sabéis, si queréis más contenido de este estilo, siempre podéis

regalar un like y una suscripción.