Inverse Limit
Summary
TLDRこのスクリプトではカテゴリー論の基礎を解説しており、特にリミットとその逆リミットについて深く掘り下げています。カテゴリー論におけるオブジェクトと写像の関係性から、ユニバーサルプロパティを持ち新しいオブジェクトを構成するプロセスが解説されています。ダイアグラムを用いた説明により、リミットとコリミットの概念が明確になり、その重要性と数学構造への適用が理解しやすくなります。逆リミットの定義とその条件、さらには直積とプロジェクションの関係性も詳述されています。
Takeaways
- 📚 カテゴリー論の基礎を学ぶ際に、リミットとその逆(インバースリミット)の概念が重要である。
- 🔍 リミットは、特定のオブジェクトや写像の組から定義されるカテゴリー論の主題の一つであり、数学構造を特徴付けるユニバーサルプロパティを持ちます。
- 📈 カテゴリー論では、構造を記述する際に、特定のカテゴリーのオブジェクトから出る写像だけでなく、構造への写像も考慮されます。
- 🔑 リミットとコリミットはデュアルな概念であり、それぞれが異なる一貫性条件に基づいて他のオブジェクトから構成されます。
- 📐 ダイアグラムはカテゴリー論の重要なツールで、小さなカテゴリーから大きなカテゴリーへの写像を表すのに使われます。
- 🌐 コーンは、特定のオブジェクトと写像の条件を満たすオブジェクトの集合であり、リミットの定義に使われます。
- 🎯 リミットの定義には、ユニバーサルプロパティが含まれており、これはカテゴリーのオブジェクト間の一意の写像を定義します。
- 🔄 インバースリミットは、通常のリミットの逆であり、無限のオブジェクトの系列を扱う際に定義されます。
- 🏢 インバースリミットの構成には、直積やサブオブジェクト、プロジェクションなどが関与し、各オブジェクト間の包含関係を表します。
- 🌟 リミットの概念は、日常的な数学的な収束や関数の極限を理解するのに役立つ視点を提供します。
Q & A
カテゴリー論の基礎を説明する際に、どのような3つの構成について話しましたか?
-カテゴリー論の基礎では、オブジェクトとそれらの間の写像から始まり、それぞれにユニバーサルプロパティを持つ新しいオブジェクトを構成することを目指しています。
リミットとはどのような概念ですか?
-リミットは、特定のオブジェクトや写像の組によって定義されるカテゴリー論の概念であり、集合論的に定着定義される数学的構造を特徴付けることができます。
カテゴリー論における「ユニバーサルプロパティ」とは何を指しますか?
-ユニバーサルプロパティとは、カテゴリー論において特定のオブジェクトを特徴付ける性質であり、他のオブジェクトとの関係性に基づいて定義されます。
リミットとコリミットの概念はどのようにデュアルであると説明されていますか?
-リミットとコリミットはデュアルであり、リミットは他から構成されるオブジェクトに一貫性を持たせる条件を返す一方、コリミットはオブジェクト同士を接着するもので形成されます。
ダイアグラムとファクターについて説明してください。
-ダイアグラムはカテゴリー論で用いられる、オブジェクトと写像の関係を視覚化するツールであり、ファクターは小さなカテゴリーから大きなカテゴリーへの写像を表します。
コーンとはどのような性質を持ちますか?
-コーンは、特定のオブジェクトの頂点から始まる写像の条件を満たすオブジェクトと写像の組を指し、カテゴリー論のリミットの定義に用いられます。
プロダクトエクアライブバックの例におけるリミットコーンの性質を説明してください。
-プロダクトエクアライブバックの例では、リミットコーンは頂点から始まる写像がユニークに存在し、その写像を用いて元のコーンを構成するという性質を持っています。
インバースリミットとはどのような概念ですか?
-インバースリミットは、リミットの概念を拡張したもので、無限に並んだノード間の写像が下にあるという条件を満たすオブジェクトを定義します。
インバースリミットの定義における「直積」の役割は何ですか?
-直積は、インバースリミットの定義で頂点を構成するオブジェクトを表し、カテゴリーが集合、トップ空間、群、リング、ベクトル空間などである場合にそれぞれサブセットやサブ空間などの役割を果たします。
インバースリミットにおける「プロジェクション」の条件を説明してください。
-インバースリミットのプロジェクション条件では、列のオブジェクト間の写像が全てインクルージョンマップであることが求められます。
リミットの図形的な表現として何が使われていますか?
-リミットの図形的な表現では、共通部分に修練していくシーケンスが用いられ、日常的な関数の収束を例に説明されています。
Outlines
📚 カテゴリー論のリミットとコリミットの基礎
この段落では、カテゴリー論におけるリミットとコリミットの概念が紹介されています。リミットはオブジェクトと写像の組として定義され、カテゴリー論の主題の一つである集合論的に定義される数学構造の特徴付けに重点が置かれています。ユニバーサルプロパティを持つオブジェクトは、特定のカテゴリーのオブジェクトとして特徴付けられ、リミットやコリミットのいずれかに分類されます。また、ダイアグラム、コーン、およびインバースリミットの概念が説明されており、それらは数学的構造をより深く理解するための重要なツールです。
🔍 リミットとコーンの詳細解説
第二段落では、リミットとコーンの概念がさらに詳細に説明されています。リミットは、ユニバーサルプロパティを持つオブジェクトを構成する際に使用され、特定の条件を満たす写像の組として定義されます。コーンは、オブジェクトとそれに関連する写像の条件を満たすオブジェクトを定義します。また、リミットとコーンの関係性についても触れられており、それらはカテゴリー論において重要な役割を果たしています。
🌐 インバースリミットの概念と定義
最後の段落では、インバースリミットという概念が紹介されています。これは、無限に並んだノード間の写像の条件を満たすオブジェクトを定義するものです。インバースリミットは、特定のダイアグラムとそれに関連する写像の組から構成され、それらの写像がユニークであるというユニバーサルプロパティを持ちます。また、インバースリミットの条件とその構成要素についても説明されており、カテゴリー論において重要な位置づけをしています。
Mindmap
Keywords
💡カテゴリー論
💡リミット
💡コーン
💡ユニバーサルプロパティ
💡ファクター
💡インバースリミット
💡ダイアグラム
💡直積
💡インクルージョンマップ
💡交わり
Highlights
カテゴリー論の基礎を解説。リミットとコリミットの概念を紹介。
リミットはオブジェクトと写像の組として定義される。
カテゴリー論の主題の一つは、数学的構造を射の記述で特徴付けること。
ユニバーサルプロパティは、集合から他のカテゴリーに一般化することができる。
リミットとコリミットの概念はデュアルである。
ダイアグラムとファクターを用いたカテゴリーの説明方法。
コーン(Cone)の定義とその重要性。
プロダクトエクアライブバックの例を通じてリミットの理解を深める。
リミットのユニバーサルプロパティとその特徴。
インバースリミットの概念とその定義方法。
インバースリミットの構成要素とその条件。
リミットと共通部分、収束という観点からの捉え方。
直積とサブオブジェクトの関係性。
プロジェクションの転義とインクルージョンマップの説明。
リミットの交わりとその意味。
日常的な収束とリミットの類推。
Transcripts
カテゴリー論基礎のパート2リミットとコ
リミットの5回目です今日はインバース
リミットってやつの話をしようと思います
でその前に少しちょっと振り返りをでこれ
までプロダクトエクアライブバックという
3つの構成を見てきこれには明らか共通点
がありますでそれぞれはいくつかの
オブジェクトとそれらの間のいくつの写像
から始まりますそれぞれに我々は
ユニバーサルプロパティを持つ新しい
オブジェクトをそのオブジェクトから元の
オブジェクトへの写像ともに構成すること
を目指しているだからリミットこリミッ
トってのは1つのオブジェクトだけじゃ
ないんですよねその
あのオブジェクトからあるいはその
オブジェクトへの写像と共にその写像の組
として定義されるでカテゴリー論の主な
テーマの1つは集合論的に定着定義される
ことが多い数学的構造は特定のカテゴリー
のオブジェクトへの構造からの射の記述
または構造
からだけじゃなくて構造への社の記述に
よって完全に特徴付けることができると
いうことで
あるこのような特徴付けはそのように記述
されたオブジェクトのユニバーサル
プロパティと呼ばれ集合から他の
カテゴリーに直に一般化することができる
これはミール
リールの話なんですけれどもねま誰が言っ
ても同じなんですけどねユニバーサル
プロパティにおいて定義される
オブジェクトは適切なカテゴリーにおいて
リミットまたはコリミットのいずれかに
分類することができるリミットとコ
リミットの概念はデュアルであるつまり
リミットは追加的な一貫したコヒーラとな
条件を返すことによって他部から構成され
コリミットはオブジェクト同士をあの
ジインあのグルービングですね接着する
ことにって形成されるこれは前に
あの代も言ってたことですねでリミットの
点をもう一度振り返ってみようという風に
思いますま1つはダイヤグラムですねでA
をカテゴリーとしIをスモールカテゴリー
とスモールカテゴリーの説明まだして
スモールカテゴリー
の反対はあのビッグなりラージな
カテゴリーがあるんですがそれはまた別な
機でそのIからAへのファクターを考えて
それをあのIシプトダイアグラムという風
に読みますでこの
あのダイヤグラムIとAのペアの例ですが
ま例えばプロダクトもやだったらこういう
2つの点から2つのノードからなるあの
インデックスカテゴリーからこういう右側
のラベルがついたやつが生まれるでプル
バックの場合だったらこういうやつです
ねでエクレだったらこういうやつでこう
いうのがダイヤグラムがファンクたーとし
て与えられてるとに考えますもう1つ
ダイアゴナルと大事なガナはコーンという
のがあってでコーンていうのは
オブジェクト
ま1つの頂点ま今の頂点をなす
オブジェクトと次の条件を満たす条件後で
いますけれどもこういうAから頂点から
このDIってのはそのダイヤグラムの
それぞれの要子ですねそれへのシとして
そのペアとして頂点とこの車のペアとして
与えられる
でその車はですねIの全ての写像IからJ
への写像があったとしてそのの図がかかん
だこの右側のDIからDJはダイアグラム
で表されるまあのリミットの場合だったら
この
オーバーなんで底辺に当たる部分のかあの
写像ですねでそれが頂点からFiFJ降り
てあとしてこれが価にならなきゃいけなて
いう条件見すそれはコーンですねまこう
いうやつですねコーンオバDでDこの例
だったらこれプロダクトの例ですねXY
っていうのからしかもこれは
ディスクリートでXの間にはしがないです
ねそういうダイヤグラムを与えられた時に
頂点からそのあダイアグラムD
ダイアグラムDのxyに対数者FYF2が
与えられてまだからこれはDファクターD
の中で1がXになってで2がYにな
るっていうことですねそもう1つコが定義
されたら今度はリミットコンというのを
考えますこれはあのLを頂点とするこれL
はリミットのLだと思いますけれどもで
その頂点Lとその車PiとペアでこれPを
あのこれプロジェクションという風に言い
ますねでこのD上の2のに対して全てのi
についてPiポーズFバーがF
あのFLですねだユニークな写像AからL
の写像が存在ですこれがユニバーサル
プロパティってやつですねこれは前に見た
プロダクトの例で言うとこういう風にあの
こ赤い部分がリミット
コーンですねでこれはだからあの2位の
コンの頂点AからこのリミットコーンのL
へのあの車AからLの車があのユニークに
存在してでこのPLとFこのFを
コンポーズしたものがその元のあの2位の
コーンのFLを構成するという条件です
これがリミットコーンですで今回はあの
この定義の仕方でインバースリミットって
やつをあの定義しようと思ってるんですが
これはどういうリミットかっていうとこう
いうやつなんですねあの点がこれは無限に
あって構わないで無限に並んでいてで
ただしそれぞれのノド間にあの右のもの
から左のものでの下がありますまそれを
ダイヤグラムとして書いたのがミカの方で
A1A2A3ってありますがそれぞれにF
1f2F3っていう車が定義されてると
いうやつですねでこういうこのの
インバースリミットをこういう風に
リミットの
Aで矢印が
あの右から左になってるのは上みれば
分かりますねそっち向きこっち向きですね
ということですでこのインバースリミット
AIを構成するっていうのは次のものから
構成されてます1つはま頂点に当たるもの
ですけどもこれは直積あのAIののあの
リテーションプロダクトのサブ
オブジェクトですねそれが頂点を構成する
リミットAIだただこれはまその
カテゴリーがあのセットだったりトップ
だったりグループだったりリングベクトに
応じてそれぞれあのサブセットサブ
スペースサブグループサブリングサブ
スペースになるということですね
直積っていうのはこの列A1A2を全て
含んでいてこのI盤目のイってのはこのI
番目の写像Fiの像になりますでFiかこ
えI+1これ上の図を見れば分かります
けど1でこれはあのAIになりますこれが
要するにインバースミットの
条件ですねもう1つそのシはどういうこの
プロジェクションはどう点にされてる
かって言とその列A1A2から相番のイ
あの射影とのこれがあの転義されてると
いうことですねまイ
あの写像が全てインクルージョンマップの
場合ですねA1A2の間もあの要するにA
2インクルードAIあるいはA2A3の間
も
あのA2インクルードA3っていうような
そういうインクルージョンマップだとする
とで要するに何を言いたいかっていうと
このインクルージョンバップなるとA1が
A2を含みA2がA3を含みでそういう
関係になってるというダイアグラムになり
ますこういうことですねこういうでこの
場合にリミットAどうなるかって言うと
これは見て分かりますこの真ん中のが
だんだん修練してくるんですよねだから
リミットAIっていうのはあのこのこれら
のあの全部のインターセクションその交わ
になりますねそこのとこにずっと修練して
くっていうイメージでこれがリミットだと
いうことですこれがインバあのインバース
リミットで図形的にはだからあのそういう
あの共通部分に修練してくあの
シーケンスだと思えばまそういう意味じゃ
あのある意味僕らがあの日常的にあのある
関数が収束するってのもイプシロンデルタ
も大体こういうイメージで捉えることが
できるんじゃないかという風に思ってい
ますH
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