Derivatives of Parametric Functions

Summary

В этом видео объясняется, как найти производную для параметрических функций. Рассматриваются примеры с различными уравнениями, включая квадратные, тригонометрические и секантовые функции. Шаги включают нахождение производных по параметрам, а затем вычисление производной по отношению к x через деление производных по времени. Все примеры подробно разобраны, с использованием таких методов, как правило степени и цепочки. В конце зритель получает полное представление о том, как применять эти методы для вычисления производных параметрических уравнений.

The video is abnormal, and we are working hard to fix it.
Please replace the link and try again.

Q & A

Что такое параметрическая функция?

Параметрическая функция описывает зависимость одной или нескольких переменных от параметра (в данном случае t или θ). Это позволяет выразить x и y через параметр, вместо того чтобы решать уравнение для y как функции от x.

Как найти производную функции, заданной параметрически?

Чтобы найти производную функции, заданной параметрически, необходимо вычислить производные dx/dt и dy/dt, а затем разделить dy/dt на dx/dt, получив d y/d x.

Как найти производную от функции x = 8 + t^2?

Для нахождения производной x = 8 + t^2 по t, используем правило дифференцирования. Производная от 8 равна 0, а производная от t^2 равна 2t. Таким образом, dx/dt = 2t.

Как найти производную от функции y = 4t^2 - 5t^4?

Для нахождения производной y = 4t^2 - 5t^4 по t, производная от 4t^2 равна 8t, а производная от -5t^4 равна -20t^3. Таким образом, dy/dt = 8t - 20t^3.

Как вычислить d y/d x для параметрических уравнений?

Для вычисления d y/d x для параметрических уравнений, нужно разделить dy/dt на dx/dt. Это даст производную y по x в терминах параметра t.

Что делать, если у нас выражения для x и y с тригонометрическими функциями?

Если у нас есть тригонометрические функции для x и y, то необходимо использовать соответствующие производные для тригонометрических функций, такие как производные от синуса и косинуса, чтобы найти dx/dt и dy/dt, а затем вычислить d y/d x.

Как найти производную от x = 4sin(t) и y = 12cos(t)?

Для x = 4sin(t) производная по t равна 4cos(t). Для y = 12cos(t) производная по t равна -12sin(t). d y/d x будет равна (-12sin(t)) / (4cos(t)), что упрощается до -3tan(t).

Как найти производную от x = 3sec(θ) и y = 18tan(θ) - 5?

Для x = 3sec(θ) производная по θ равна 3sec(θ)tan(θ). Для y = 18tan(θ) - 5 производная по θ равна 18sec²(θ). Таким образом, d y/d x будет равно (18sec²(θ)) / (3sec(θ)tan(θ)), что упрощается до 6csc(θ).

Как использовать правило цепочки для нахождения производной?

Правило цепочки используется, когда функция состоит из сложных выражений, например, когда мы имеем функцию, возведенную в степень. В таком случае нужно сначала умножить на производную внешней функции, а затем на производную внутренней функции.

Как упростить выражение для d y/d x, если в нем есть тригонометрические функции?

Для упрощения выражения для d y/d x, если в нем есть тригонометрические функции, можно использовать тождества тригонометрии, такие как замену тангенса на синус и косинус или косеканса на 1/синус, чтобы получить более простое представление.