Métodos Numéricos: Método de BISECCIÓN, y colocación e interpretación gráfica.
Summary
TLDREl vídeo explica el método de la disección, un sencillo y poderoso método numérico para encontrar las raíces de una ecuación. Se describe cómo elegir valores iniciales y cómo usar el cambio de signo en los valores de la función para determinar la existencia de raíces. Se detalla el proceso iterativo de evaluación y ajuste de intervalos para aproximar la raíz, incluyendo cómo detenerse basándose en el error absoluto o un número fijo de iteraciones.
Takeaways
- 📐 El método de la bisección es un método numérico sencillo para encontrar la raíz de una ecuación.
- 🔍 Se inicia con la bisección en cualquier curso de métodos numéricos debido a su utilidad y facilidad de uso.
- 🌐 La raíz de una ecuación se encuentra cuando la gráfica intersecta el eje X, que representa la variable independiente.
- 📈 Para aplicar la bisección, se eligen dos valores iniciales que encierran a la raíz y se evalúa la función en esos puntos.
- 📉 La clave del método es observar el cambio de signo en los valores evaluados, ya que indica la presencia de una raíz en el intervalo.
- 📊 Se pueden usar herramientas de gráficas como Excel para ayudar en la selección de los valores iniciales.
- 🔢 Se evalúa la función en el punto medio del intervalo para determinar si se debe cambiar el límite superior o inferior.
- ➗ El proceso se repite iterativamente, ajustando el intervalo y evaluando en el punto medio hasta alcanzar la precisión deseada.
- 🔄 Se detendrá el proceso cuando el error absoluto sea menor que un umbral establecido o después de un número fijo de iteraciones.
- ✋ Es importante entender las bases matemáticas antes de aplicar el método de la bisección para evitar errores.
Q & A
¿Qué es el método de la disección en matemáticas?
-El método de la disección es un método numérico sencillo y poderoso para encontrar la raíz de una ecuación, es decir, el punto donde la gráfica de la función intersecta el eje X.
¿Cómo se inicia el método de la disección?
-Se inicia eligiendo dos valores iniciales, generalmente límites superior e inferior, que encierran a la raíz de la ecuación.
¿Por qué es importante que los valores iniciales encierren a la raíz?
-Es crucial para asegurar que la raíz que se busca esté entre estos valores, ya que el método se basa en la intersección de la gráfica con el eje X dentro de ese intervalo.
¿Qué significa que la función cambie de signo?
-Un cambio de signo en los valores de la función evaluada en los límites del intervalo indica que hay al menos una raíz en el intervalo.
¿Cómo se evalúa si hay más de una raíz en el intervalo?
-Si la función cambia de signo más de una vez en el intervalo, puede haber múltiples raíces.
¿Qué es la fórmula para calcular el nuevo valor medio en el método de la disección?
-La fórmula es (x_l + x_r) / 2, donde x_l es el límite inferior y x_r es el límite superior del intervalo actual.
¿Qué se hace si el resultado de la función evaluada en el nuevo valor medio es cero?
-Si el resultado es cero, entonces el nuevo valor medio es la raíz y el proceso se termina.
¿Cómo se decide cuándo detener el proceso del método de la disección?
-Se puede detener el proceso cuando el error absoluto es menor que un umbral dado, como un 0.1%, o después de un número fijo de iteraciones.
¿Qué es el error absoluto en el contexto del método de la disección?
-El error absoluto se refiere a la diferencia absoluta entre el valor actual de x_r y el valor anterior, y se puede usar para medir la precisión del método.
¿Cuál es la importancia de graficar la función antes de aplicar el método de la disección?
-Graficar la función ayuda a seleccionar los valores iniciales adecuados y a entender visualmente la distribución de las raíces.
Outlines
📐 Introducción al Método de la Disección
El primer párrafo explica el método de la disección, una técnica numérica simple y poderosa para encontrar las raíces de una ecuación. Se menciona que este método es comúnmente el primer tema en cursos de métodos numéricos debido a su utilidad y facilidad de uso. Se describe la raíz de una ecuación como el punto donde una gráfica intersecta el eje X. Se presentan tres ejemplos de gráficas para ilustrar la cantidad de raíces que puede tener una ecuación. Además, se explica que el método de la disección implica seleccionar dos valores iniciales y utilizar estos para encontrar la raíz, asegurándose de que estos valores estén en el intervalo que contiene la raíz. Se hace hincapié en la importancia de que los valores iniciales estén en el intervalo correcto y en la utilización de herramientas gráficas para comprender mejor el proceso.
🔍 Procedimiento del Método de la Disección
El segundo párrafo profundiza en el procedimiento del método de la disección. Se describe cómo se evalúa la función en los límites inferior y superior del intervalo para detectar un cambio de signo, que indica la presencia de una raíz. Se explica que si los valores en los límites tienen el mismo signo, no hay cambio de signo y, por lo tanto, no hay raíz en ese intervalo. Se menciona la posibilidad de encontrar múltiples raíces al observar cambios de signo en los valores evaluados. Se enfatiza la importancia de entender las bases matemáticas antes de aplicar el método y se sugiere la necesidad de graficar la ecuación para seleccionar el intervalo correcto. Finalmente, se presentan los tres pasos básicos del método: evaluar los límites, aplicar una fórmula simple para calcular un nuevo punto medio y repetir el proceso hasta encontrar la raíz.
🔄 Iteración y Detección de Raíces
El tercer párrafo describe el proceso iterativo del método de la disección. Se explica cómo se evalúa la función en el punto medio del intervalo y se determina si el resultado es negativo, positivo o cero para determinar si se debe reemplazar el límite inferior o superior o si ya se ha encontrado la raíz. Se menciona la importancia de repetir los pasos hasta que se alcance un error aceptable o un número de iteraciones específico. Se introduce el concepto de error absoluto para medir la precisión del método y se sugiere cómo se puede calcular y utilizar para determinar cuándo detener el proceso de iteración.
🗣️ Invitación a Consultas y Comentarios
El cuarto y último párrafo ofrece una invitación a los espectadores para que realicen consultas o dejen comentarios si tienen dudas sobre el método de la disección. Se ofrece la oportunidad de responder a estas consultas para aclarar cualquier aspecto del método que no esté claro.
Mindmap
Keywords
💡Disección
💡Raíces de una ecuación
💡Ecuación
💡Gráfica
💡Intervalo
💡Error absoluto
💡Iteración
💡Función
💡Cambio de signo
💡Xl y Xr
Highlights
El método de la disección es uno de los métodos numéricos más sencillos y poderosos.
El método de la disección se utiliza para encontrar la raíz de una ecuación.
La raíz de una ecuación es el punto donde la gráfica intersecta el eje X.
Es necesario elegir dos valores iniciales para el método de la disección.
Los valores iniciales deben encerrar a la raíz que se busca.
Se puede utilizar software de gráficos para ayudar en la elección de los valores iniciales.
El cambio de signo en los valores de la función indica la presencia de una raíz.
El método de la disección implica evaluar la función en los límites del intervalo.
El método de la disección se repite hasta que se alcanza un error aceptable o un número de iteraciones establecido.
La fórmula para calcular el nuevo valor de x en la disección es (x_l + x_u) / 2.
Si el resultado de la función en los límites del intervalo es de distinto signo, hay una raíz en el intervalo.
Si el resultado de la función en los límites del intervalo es de mismo signo, no hay cambio de signo y pueden haber múltiples raíces.
El error absoluto se calcula como la diferencia absoluta entre iteraciones dividida por el valor actual, multiplicado por 100%.
El método de la disección puede detenerse cuando el error absoluto es menor al 0.1%.
Otra forma de detener el método de la disección es por un número fijo de iteraciones.
Es fundamental conocer las bases de cualquier método matemático antes de aplicarlo.
El método de la disección se detalla en tres pasos simples que se repiten hasta la convergencia.
Transcripts
en este vídeo explicaremos en qué
consiste el método de disección que es
uno de los métodos numéricos más
sencillos que existen de hecho en
cualquier curso de métodos numéricos
siempre vamos a iniciar con la disección
ya que es un método pues sí bastante una
herramienta bastante poderosa y también
muy poderosa muy útil pero también muy
sencillo de utilizarla y primero vamos a
explicar un poquito tratar de recordar
qué significan las raíces de una
ecuación o para en qué consiste este
método en sí y aquí tenemos tres
ejemplos de gráficas
y lo que consiste es encontrar la raíz
de la ecuación nosotros sabemos de
geometría analítica que toda ecuación
matemática se puede representar mediante
una gráfica y viceversa también
cualquier gráfica puede ser expresada
mediante una ecuación matemática muy
bien entonces la raíz de una ecuación
cuando alguien está hablando de la raíz
de una ecuación está hablando de cuando
dicha gráfica o dicha curva
intercepta a nuestro eje x o nuestro eje
de la variable independiente en este
caso x s los casos más comunes pero
cualquiera que sea el eje horizontal
siempre representa al eje de las
variables independientes
entonces en este caso tenemos dos raíces
y en el tercer caso tendríamos
uno dos y tres raíces ok eso significa
la raíz de una ecuación
pero en realidad qué vamos a hacer
nosotros con el método de la disección
vamos a elegir dos valores generalmente
los problemas ya sí sí son problemas de
algún libro ya nos van a dar los valores
iniciales o los límites para poder
calcular el método de la disección si no
es necesario graficar nuestra ecuación
cualquier gráfica dora utilizamos más la
mismo excel
cualquier software que nos ayuda a
graficar lo va a ser de mucha ayuda
porque vamos a tener estos casos veamos
el primero
nosotros lo que tenemos que hacer el
método de disección elegir el valor
inicial inferior y superior es todo lo
que tenemos que hacer pero asegurándonos
que estamos encerrando en ese intervalo
a la raíz voy a poner un ejemplo
supongamos que yo elijo este valor de x
que de momento no sabemos cuál es pero
vamos a hacerlo de forma gráfica para
que quede bien claro
y acá elijo este otro valor de x
entonces a mí lo que me interesa saber
es dónde intersecta a mi ecuación pues
muy sencillo nada más sustituyó el valor
que haya caído aquí
y lo sustituyó en mi ecuación y me va a
dar este valor muy sencillo y lo mismo
por acá si podemos ver hemos elegido un
intervalo en el que está nuestra raíz y
de aquí ya podemos ver algo interesante
del método de la disección y de
cualquier método en general estamos
hablando de las raíces en sí
si nosotros elegimos un límite superior
de la raíz y nosotros elegimos un límite
inferior van a tener diferente signo
vean aquí
efe x pues me va a dar un valor positivo
y en este caso me daría un valor
negativo es decir cambio de signo por
eso se hacía mucho énfasis que no es una
ecuación cuando cambia de signo y la
estás evaluando significa que en medio
por ahí está escondida una raíz ya cruzó
el eje x eso es información importante
veamos este otro ejemplo qué ocurre si
yo por ejemplo no quiero errar no quiero
fallar y de casualidad el hijo nuestro
intervalo más grande entonces yo estaría
pensando en algo así
y por este lado también en algo así
similar
y veamos lo que sucede entonces a mí lo
que me interesa es ese valor de x que yo
elegí donde intersectan mi curva oa mi
ecuación que es lo mismo
bueno pues está en ese intervalo y
además pero aquí hay algo importante y
algo que tenemos que tener siempre en
mente cuando estemos resolviendo el
método de la disección
vean cómo aquí evaluamos nuestra función
en este valor de eje del eje x que yo
elegí
y es positivo
y evaluamos este valor de x en la
función
funciona ecuación y vean como también es
positivo entonces ambos están tienen el
mismo signo si multiplicó más por más el
resultado es más tienen el mismo signo
que sucede que no hubo un cambio de
signo o bien hubo dos cambios vean aquí
pasamos de positivo a negativo y luego
de negativo otra vez a positivo eso nos
quiere decir que hay raíces par puede
haber dos raíces puede haber cuatro
raíces seis etcétera
y para confirmar ello vamos a ver este
último ejemplo y vamos a dar un
intervalo también lo suficientemente
grande para poder explicar o para poder
demostrar lo que queremos explicar
elegimos ese intervalo y a mí los puntos
que me interesan pues bueno van a ser
donde intersecta mi curva
y tengo ese intervalo dicho sea de paso
vamos a llamar a estos intervalos de un
nombre muy particular aquí le vamos a
poner el nombre d
qué es la función evaluada en x l l
porque estamos hablando que es el
inferior hablando en inglés
y aquí va a ser la función x pero
evaluado en x
y porque es el límite superior en inglés
lo mismo aquí
de xl y aquí sería efe de x
y de igual forma aquí tendríamos de xl y
aquí la función evaluada de x
ok ese es el significado en sí del
método de la disección
como paso inicial muy importante saber
las bases siempre de cualquier cosa de
matemática cualquier herramienta para
poder llevarla a cabo si no conocemos
las bases puede resultar desastroso el
simplemente querer aplicar los pasos
como si de una receta de cocina se
tratase
ok
ya finalmente qué ocurre en esta gráfica
pues ocurre lo siguiente que la función
está encerrando el intervalo está
encerrando tres raíces es decir un
número impar que sí sí cambió de signo
aquí es positiva y aquí es negativa pero
eso no me garantiza que solamente exista
una raíz sino que el cambio de signo me
garantiza que es un número impar de
raíces por ello tenemos que poder
graficar nuestra ecuación para ello
saber elegir el intervalo correcto en
este caso elegiría más o menos aquí un
intervalo para poder encerrar solamente
de una raíz en una raíz
y en si esto es el inicio del método de
la disección ahora sí vamos a notar en
qué consiste en los pasos son tres pasos
muy sencillos que los vamos a estar
repitiendo
y como paso 1
primeramente
vamos a evaluar
vamos a tener nuestros límites tener
valores iniciales
x l y equis y eso es lo primordial y en
general en cualquier examen o en
cualquier tarea yo supondría que estos
valores se les tienen que asignar al
estudiante pero si no siempre pueden
graficar en su función y ver qué
intervalo les conviene
en fin tener los valores iniciales de xl
y x1
el paso número 2
es aplicar una pequeña fórmula muy muy
sencilla
dónde vamos a calcular una famosa x r
que se va a situar justo a la mitad x
eres de raíz porque al final de cuentas
x ere si yo continúo con el método
numérico me va a decir la solución me va
a decir aunque la función corta el eje x
en tal valor en este caso lo corta en
tal valor eso es lo que yo quiero
solucionar en este tipo de problemas
y simplemente aplicamos la siguiente
división x l más x
entre 2 es decir vamos a ver cuál es la
mitad del intervalo que yo elegí
y del resultado que me salga vamos a
tener que sacar algunas conclusiones
para poder volver a alterar entonces
vamos a tener tres casos
si yo evalúo la función que ahorita no
sabemos cuáles tenemos que ver el
ejemplo o algún ejemplo la función en el
intervalo x perdón en el en el dato de x
l
y la multiplicó por la misma función
evaluada en x r ojo es x cr no x
y si el resultado es menor que cero o
sea es un resultado negativo entonces
qué tenemos que hacer tenemos que
sustituir ahora mi x su va a ser igual a
x sea
y listo repito pero si resulta que no
fue negativo
entonces si f de x l
y multiplicada por fx r ahora resultó
positivo
bueno entonces el que tengo que
sustituir
es xl igualdad x r
y ya el caso extremo que ojalá no
saliera siempre
es que sí
otra vez la multiplicación de x l
por efe de x r ojo no es el valor como
tal de x l ni x r es la función evaluada
en ese valor
resulta que es cero
qué quiere decir la única forma en que
sea cero es que vean que intersecta el
eje x significa que x r ya es la raíz ya
llegué a la meta era justo lo que quería
lograr entonces la raíz
es igual a xr y finalizó
mi programa iteración y eso es en eso
consiste el método de la disección
ahora cuando podemos parar es decir
siempre voy a llegar al resultado exacto
no no siempre es la respuesta
pero cuando finalizar
es decir en el siguiente vídeo vamos a
ver un ejemplo ya numérico ya ha
aplicado alguna función por ahí que
tenemos pero cuando voy a finalizar es
decir siempre voy a llegar al resultado
que esto sea cero
como en qué punto puedo yo detenerme
bueno hay dos formas muy
que se utilizan bastante en los métodos
numéricos para finalizar y una de ellas
consiste en calcular el error ok pero
quien no puede decir cómo voy a saber
qué tanto error tiene mi x cr de la raíz
verdadera es decir de las raíces o raíz
verdadera si no conozco el valor es
decir no conozco la solución como se
cuanto me estoy equivocando bueno existe
un tipo de error que no es el error real
como tal
sino que es un error absoluto como se le
conoce
y cómo se calcula se calcula muy
sencillo
se denomina por esta épsilon esta letra
griega
el subíndice de a de absoluto
y vamos a calcular por ahí un valor
absoluto precisamente de xc r nuevo es
decir en la iteración
más actual menos el xc r que utilice en
la iteración anterior
entre el x r nuevo
y todo esto lo vamos a multiplicar si es
que lo queremos en porcentaje bueno pues
por un 100%
con esto yo ya me puedo dar una idea de
cuándo tengo que finalizar
mis iteraciones espero que se esté
entendiendo que estos pasos 1 2 3
se van a estar repitiendo es decir bueno
ya llega el paso 3 salió que quiso es
igual aquí seré bueno ya no voy a
utilizar el valor inicial de x 1 sino
que aquí en x voy a poner la anterior x
r y vuelvo a calcular una nueva x
entonces finalizó cuando bueno el
usuario el libro en el examen lo que sea
que estemos resolviendo me digan el
error tiene que estar por debajo del 0.1
por ciento bueno pues hay que literary
en cada iteración calcular este error
hasta que esté por debajo de ese
porcentaje
y finalmente otra forma de finalizar
puede ser que nos digan el número de
iteraciones
es decir qué más da que el error sea tal
o cual lo que yo deseo es simplemente y
tirar unas cinco veces o repetir el
proceso unas diez veces si tienes alguna
duda acerca del método de la vi sección
algo que no haya quedado claro
con gusto puedes dejarlo en los
comentarios y yo responderé
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TEOREMA fundamental del ÁLGEBRA | Comprobando con un EJEMPLO
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