Área de una región plana utilizando sumatorias
Summary
TLDREn este video se explica cómo calcular el área bajo una curva utilizando sumatorias. Se empieza con una función lineal simple y se calcula el área de un triángulo rectángulo con la fórmula tradicional de base por altura entre dos. Luego, se introduce un método más general utilizando sumatorias y rectángulos, mostrando cómo al hacer más pequeños los rectángulos, el cálculo del área se vuelve más preciso. Finalmente, se presenta el concepto del límite cuando los rectángulos son infinitamente pequeños, demostrando que este enfoque es útil para funciones más complejas.
Takeaways
- 📐 El área bajo la curva se puede calcular utilizando sumatorias de rectángulos.
- 📏 Se inicia con una función lineal f(x) = x y se calcula el área del triángulo formado entre la recta y el eje x desde x = 0 hasta x = 3.
- 📊 El área del triángulo se calcula usando la fórmula base por altura entre 2, resultando en 4.5.
- 🔢 Para áreas bajo curvas más complejas, se dividen en rectángulos de base delta x y altura f(x).
- 🧮 Se utiliza la notación sigma para sumar el área de todos los rectángulos.
- 📉 Rectángulos circunscritos sobresalen del área de interés, mientras que los inscritos están dentro.
- 📏 Cuantos más rectángulos con delta x más pequeño, más preciso será el cálculo del área.
- 📐 Al hacer delta x infinitamente pequeño, el cálculo se aproxima al área real mediante un límite.
- 📝 El límite se calcula como una sumatoria infinita, sustituyendo valores y simplificando.
- ✅ Finalmente, el área obtenida usando límites coincide con el área calculada con la fórmula del triángulo, resultando en 4.5.
Q & A
¿Qué es el área bajo la curva?
-El área bajo la curva es la región entre una función y el eje x. En el caso de una función lineal, como la función f(x) = x, esta área se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula de un triángulo, pero para funciones más complejas se requiere un método más general.
¿Cómo se calcula el área de un triángulo en este contexto?
-El área de un triángulo se calcula usando la fórmula base por altura dividida entre dos. En este caso, la base es el valor en el eje x (de 0 a 3) y la altura es el valor de la función en x = 3. El área es 4.5.
¿Por qué se usan rectángulos para aproximar el área bajo la curva?
-Se usan rectángulos porque permiten dividir el área en pequeñas secciones, lo que facilita la suma de áreas más simples para aproximar la región total bajo la curva, especialmente cuando la función es compleja.
¿Qué es el valor de delta x y cómo se calcula?
-Delta x es el ancho de cada rectángulo y se calcula tomando el valor máximo del eje x menos el valor mínimo, dividido entre la cantidad de rectángulos. En este caso, delta x es igual a 3/n.
¿Qué diferencia hay entre rectángulos circunscritos e inscritos?
-Los rectángulos circunscritos sobresalen del área de interés, mientras que los rectángulos inscritos están contenidos dentro del área bajo la curva.
¿Qué sucede cuando se utilizan muchos rectángulos para aproximar el área?
-Cuando se usan más rectángulos y delta x se hace más pequeño, la aproximación del área se vuelve más precisa, hasta el punto en que el error se reduce significativamente si se utilizan infinitos rectángulos pequeños.
¿Cómo se puede calcular el área bajo una curva cuando los rectángulos son infinitamente pequeños?
-El área se puede calcular utilizando el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito, sumando el producto de la función evaluada en cada punto por delta x, lo que nos da el área exacta.
¿Cómo se aplica la notación sigma en el cálculo del área?
-La notación sigma se usa para representar la sumatoria de las áreas de los rectángulos. En este caso, se usa para sumar el producto de f(xi) por delta x desde i = 1 hasta n, donde n es el número de rectángulos.
¿Cuál es el papel del límite en el cálculo del área bajo la curva?
-El límite es esencial porque nos permite aproximar el área exacta bajo la curva cuando el número de rectángulos tiende a infinito, lo que significa que los rectángulos son infinitamente pequeños.
¿Cuál es la relación entre este método y el cálculo del área de un triángulo simple?
-Para funciones simples como f(x) = x, ambos métodos (el de triángulo y el de sumatoria) llegan al mismo resultado: un área de 4.5. Sin embargo, el método de la sumatoria es útil para curvas más complejas donde la fórmula del triángulo no se aplica.
Outlines
📏 Introducción al cálculo del área bajo la curva
Este párrafo introduce el concepto de área bajo la curva y cómo calcularla utilizando sumatorias. Se presenta una función lineal simple, f(x) = x, y se propone calcular el área del triángulo que se forma entre la recta y el eje x, desde x=0 hasta x=3. Se usa la fórmula tradicional del área de un triángulo, base por altura entre 2, para este caso simple, obteniendo un área de 4.5. No obstante, el párrafo menciona la necesidad de métodos más generales para funciones más complejas, como dividir el área en rectángulos de grosor constante (Δx) y sumar sus áreas para aproximar el resultado final.
📐 Mejorando la aproximación con sumatorias y límites
Aquí se continúa con el método de aproximación del área bajo la curva. Al dividir el área en rectángulos, se puede usar la notación sigma para abreviar la suma de las áreas de los rectángulos. El párrafo explica cómo rectángulos más pequeños (con Δx reducido) proporcionan una aproximación más precisa. Se discute cómo reducir Δx infinitamente pequeño mediante límites, lo que lleva a una fórmula general para calcular el área bajo la curva de cualquier función. Luego, se explica cómo obtener Δx dividiendo el intervalo total por n, y cómo definir xᵢ en función de los rectángulos circunscritos o inscritos. Finalmente, se resuelve el límite para obtener un resultado exacto.
Mindmap
Keywords
💡Área bajo la curva
💡Sumatorias
💡Función lineal
💡Rectángulos circunscritos
💡Rectángulos inscritos
💡Delta x
💡Límite
💡Fórmula del área de un triángulo
💡Notación sigma
💡Aproximación
Highlights
El concepto de área bajo la curva se aborda utilizando sumatorias.
La función f(x) = x es utilizada como ejemplo simple para calcular el área bajo una curva.
El área bajo la curva entre x = 0 y x = 3 se puede calcular como el área de un triángulo rectángulo.
La fórmula del área de un triángulo base por altura dividida entre dos se aplica para obtener el área exacta.
Para funciones más complejas, se utilizan rectángulos para aproximar el área bajo la curva.
Se explican los rectángulos circunscritos (que sobresalen) y los rectángulos inscritos (contenidos dentro del área).
Dividiendo el área en rectángulos más pequeños, se obtiene una mejor aproximación del área real.
El área bajo la curva se puede calcular dividiendo el intervalo en infinitos rectángulos.
La sumatoria se aproxima utilizando el límite cuando n tiende a infinito, lo cual es clave para áreas complejas.
El valor de delta x se calcula dividiendo el valor máximo de x menos el valor mínimo entre n.
Se elige x_i como el valor en que se evalúa la función f(x), con opciones según el tipo de rectángulos.
El límite de la sumatoria cuando n tiende a infinito se aplica para encontrar el área exacta.
El resultado final es que el área del triángulo es 4.5, igual que el cálculo inicial.
Este método es útil para calcular áreas bajo curvas más complejas, no solo líneas rectas.
El video resalta cómo las propiedades de la notación sigma simplifican los cálculos de áreas.
Transcripts
en este vídeo vamos a abordar el
concepto de área bajo la curva y vamos a
calcular estas áreas utilizando
sumatorias tenemos la función f x igual
a x que es una función lineal muy simple
que podemos ver en la gráfica de la
imagen y vamos a suponer que nos
interesa calcular el área que existe
entre esta recta y el eje x hasta un
valor máximo de x igual a 3 iniciamos
desde cero terminamos en x igual a 3
dibujamos aquí una recta y lo que nos
interesa calcular entonces es el área
del triángulo rectángulo que se formó
típicamente nosotros podemos calcular el
área de un triángulo empleando la
fórmula base por altura entre 2 en este
caso la base es igual a 3 puestos que
nos movimos desde cero hasta 3 en el eje
x la altura es igual al valor de la
función en x igual a 3 y como f x es
igual a x pues la altura también es 3 lo
dividimos entre 2 tenemos 9 entre 2 es
igual a 4.5 para una figura de este tipo
es fácil calcularlo con una fórmula
definida sin embargo en ocasiones
tenemos funciones más complejas y
necesitamos un método más general lo que
se puede hacer para calcular el área
bajo una curva en general es dividir el
área trazando rectángulos que tengan el
mismo grosor pues por ejemplo aquí
tenemos que nos interesa el área desde 0
hasta 3 vamos a dividir la sección en
tres rectángulos y lo que tenemos que
hacer es calcular el área de cada
rectángulo y sumarlas y nos darán un
aproximado del área del triángulo que
nos interesa el área de un rectángulo es
base por altura para cada uno de los
rectángulos la base va a ser igual y le
vamos a llamar delta x y la altura de
cada uno de los rectángulos va a ser
igual a la función evaluada en un valor
x y entonces el área de cada rectángulo
será igual a efe xy por delta x como
aquí tenemos tres rectángulos pues
tenemos que sumar el área de cada uno de
ellos si tuviéramos más rectángulos
sería el área de todos ellos esta suma
la podemos abreviar utilizando la
notación sigma y ponerla como una
sumatoria desde iu igual a 1 hasta la
cantidad de rectángulos que dejamos
crear en este caso fueron 3 de fx y por
delta x lo que podemos ver aquí es que
el área que calculemos nos va a salir
mucho mayor que el valor real del área
del triángulo puesto que los rectángulos
sobresalen de esta área
considerablemente si elegimos
rectángulos con una delta x más pequeña
es decir con una base más pequeña
podemos ver que el área se va a acercar
más al área real del triángulo en este
caso realizando ocho rectángulos el área
sería igual a la sumatoria desde y igual
a uno hasta ocho de fx y por delta x
cuando trazamos rectángulos que
sobresalgan del área de interés se les
llama rectángulos circunscritos pero
también podemos trazar rectángulos que
queden contenidos adentro de esta área y
en este caso se llaman rectángulos
inscritos si seguimos haciendo delta x
cada vez
pequeño hacemos 10 rectángulos 100.000
un millón etcétera vamos a llegar a un
punto en el que estos van a ser tan
pequeños que prácticamente no vamos a
tener error al calcular el área dentro
de nuestra región de interés esto va a
ocurrir cuando hagamos el delta x
infinitamente pequeño es decir vamos a
tener que el área es la suma desde allí
hasta infinito de la fx y por delta x
como tenemos una sumatoria hasta el
infinito no podríamos saber exactamente
su valor pero lo podemos aproximar
mediante el límite cuando n tiende a
infinito de la sumatoria desde uno hasta
n de fx y por delta x esta es la fórmula
que vamos a utilizar para calcular el
área bajo la curva de cualquier función
con la cual nos enfrentemos entonces
para resolverla primero tenemos que
saber cuál va a ser nuestra delta x cuál
va a ser la x y para sustituirla en la
función y después calcular el límite el
delta x lo obtenemos tomando el valor
máximo de x que elegimos
el valor mínimo entre n como podemos ver
en la figura el valor máximo de x que es
donde pusimos el límite es 3 menos el
inicial que es 0 entre la n y la enee no
la vamos a sustituir por infinito de
momento entonces nos queda que la delta
x es igual a 3 entre n ya terminamos el
primer paso el segundo paso es definir
que es x xi y para esto tenemos dos
opciones si nuestros rectángulos
infinitamente pequeños son circunscritos
la xy será igual ai por delta x si son
inscritos será igual a y menos 1 por
delta x para el cálculo del área no
importa que utilicemos rectángulos
circunscritos o inscritos el resultado
será igual por lo tanto vamos a utilizar
la x y para rectángulos circunscritos
por su simplicidad de cálculo
entonces la xy será igual a 3 y entre n
si sustituimos el valor de delta x que
ya habíamos obtenido ahora que
terminamos el segundo paso el tercer
paso será sustituir xy y delta x
expresión del límite y nos queda como
sigue el siguiente paso ahora es saber
cuánto vale la función evaluada en xy
para nuestro caso cuánto vale efe de 3 y
entre n vamos a nuestra función
fx es igual a equis esta función es muy
simple por lo tanto la función va a
valer exactamente lo mismo que x y 3 y
entre n ahora qué es lo que vamos a
hacer vamos a multiplicar los dos
términos 3 y por 3 9 y n por n n
cuadrada y el límite nos queda de la
siguiente manera
ahora vamos a aplicar algunas
propiedades de la notación sigma para
simplificar nuestros cálculos recordemos
que en el cuadrado es una constante por
lo tanto 9 entre n cuadrada es constante
y lo podemos sacar de la sumatoria nos
queda únicamente la sumatoria desde 1
hasta en de iu y recordemos que la
sumatoria desde uno hasta n iv es igual
a la n por n 1 entre 2 entonces
sustituimos esto en nuestra fórmula
ahora vamos a multiplicar todo lo que
tenemos ahí y nos quedará el límite
cuando n tiende a infinito de 9 n al
cuadrado más
9 n / 2 n al cuadrado y como tenemos una
suma en los numeradores vamos a
separarla en dos partes 9 n al cuadrado
entre 2 n al cuadrado más 9 n entre 2 n
al cuadrado en la primera parte de la
suma podemos eliminar n al cuadrado que
está en el numerador y en el denominador
y en la parte derecha tenemos n entre n
cuadrada y eso nos quedaría 1 sobre n
entonces nuestro límite queda como 9
entre 2 más 9 entre n lo último que nos
queda es ahora si sustituir la n por
infinito y nos quedará que el área del
triángulo es igual al 9 entre dos más
nueve entre infinito como tenemos una
división entre infinito es igual a cero
y nos queda que el área es igual a 9
entre 2 o lo que es lo mismo el área es
igual a 4.5 como podemos ver obtuvimos
exactamente el mismo resultado que
calculamos con la fórmula del área de un
triángulo para este ejemplo parece
innecesario realizar toda esta serie de
pasos para calcular el área de un
triángulo
pero si tenemos curvas más complejas y
queremos calcular el área que hay bajo
estas curvas
esta fórmula es de gran utilidad
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