Transformaciones lineales Definición y propiedades
Summary
TLDREste video presenta conceptos fundamentales sobre transformaciones lineales en espacios vectoriales. Se definen las transformaciones y se explica cómo se relacionan con funciones que tienen vectores como valores. Se enfatiza la importancia de que estas transformaciones cumplan con propiedades lineales, como la distributividad y la asociación con la multiplicación por escalares. Se discuten ejemplos concretos, como la transformación cero y el operador lineal, y se exploran propiedades como la imagen del vector nulo y la imagen de la resta de vectores bajo una transformación lineal.
Takeaways
- 📚 La unión número 9 comienza con la introducción de las aplicaciones vectoriales, las cuales son funciones que tienen valores vectoriales y operan en espacios vectoriales.
- 🔍 Se definen los conceptos de dominio y codominio en el contexto de las transformaciones vectoriales, donde el codominio es el espacio de salida de los vectores.
- 🎯 Se explica que una transformación es una función que asocia un único vector en el espacio de salida con cada vector del espacio de entrada.
- 🔢 Se introducen ejemplos de transformaciones vectoriales, incluyendo la reflexión de un vector en el eje X y la transformación de un espacio de R2 a R3.
- 📏 Se describen las propiedades que una transformación debe cumplir para ser considerada lineal: la preservación de la suma y la multiplicación por un escalar.
- 📐 Se verifica si una transformación es lineal a través de la comprobación de que la imagen de la suma de dos vectores es igual a la suma de sus imágenes y que la imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalar por la imagen del vector.
- 📊 Se menciona que las transformaciones lineales pueden ser representadas mediante multiplicación de matrices, siempre y cuando se cumplan las condiciones de linealidad.
- 🔄 Se definen las transformaciones cero y la transformación identidad como ejemplos particulares de transformaciones lineales.
- 🔄 Se discuten las propiedades de las transformaciones lineales, como la imagen del vector nulo, la imagen de la suma y la resta de vectores, y la imagen del producto de un escalar por un vector.
- 📈 Se menciona la relación entre operadores lineales y transformaciones lineales, y se exploran conceptos como dilataciones y contracciones en el contexto de las transformaciones lineales.
Q & A
¿Qué es una transformación vectorial y cómo se relaciona con las funciones matemáticas?
-Una transformación vectorial es una función que asocia un único vector en un espacio vectorial de salida (imagen) con cada uno de los vectores en un espacio vectorial de entrada (dominio). Se relaciona con las funciones matemáticas en el sentido de que permite realizar operaciones matemáticas sobre vectores, obteniendo así una nueva representación de estos en otro espacio vectorial.
¿Cuál es la diferencia entre el dominio y la imagen en una función vectorial?
-El dominio es el espacio vectorial de entrada donde se aplican las operaciones, mientras que la imagen es el espacio vectorial de salida donde se colocan los resultados de estas operaciones tras aplicar la función vectorial.
¿Qué se entiende por 'transformación lineal' y cuáles son sus propiedades fundamentales?
-Una transformación lineal es una función que cumple con dos propiedades fundamentales: la additividad (la imagen de la suma de vectores es igual a la suma de las imágenes de los vectores) y la homogeneidad (la imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalar por la imagen del vector).
¿Cómo se define una transformación lineal en términos de matrices?
-Una transformación lineal se define como el producto de una matriz (llamada matriz de transformación) por un vector del espacio de entrada, lo que resulta en un vector en el espacio de salida. La matriz debe tener la dimensión adecuada para que la multiplicación sea posible.
¿Qué es una transformación cero y cómo se caracteriza?
-Una transformación cero es una transformación lineal especial donde la imagen de cualquier vector del espacio de entrada es el vector nulo en el espacio de salida.
¿Qué son los operadores lineales y cómo se diferencian de otras transformaciones lineales?
-Los operadores lineales son transformaciones lineales que actúan en el mismo espacio vectorial, y son definidos por una matriz de transformación que es una matriz cuadrada. Se diferencian de otras transformaciones lineales en que estas pueden actuar entre espacios vectoriales de dimensiones diferentes.
¿Cuál es la relación entre una transformación lineal y la identidad en un espacio vectorial?
-La relación entre una transformación lineal y la identidad es que la transformación identidad es un caso particular de una transformación lineal donde la imagen de cualquier vector es el propio vector, es decir, no se altera la posición o dirección del vector.
¿Qué es una dilatación y cómo se relaciona con las transformaciones lineales?
-Una dilatación es una transformación lineal donde un escalar mayor que 1 se multiplica por un vector, lo que resulta en un estiramiento o amplificación del vector en el espacio vectorial. Se relaciona con las transformaciones lineales porque sigue las propiedades de la additividad y homogeneidad.
¿Qué es una contracción y cómo se diferencia de una dilatación en términos de transformaciones lineales?
-Una contracción es una transformación lineal donde un escalar entre 0 y 1 se multiplica por un vector, lo que resulta en una reducción o compresión del vector. Se diferencia de una dilatación en que en lugar de estirar el vector, lo reduce en tamaño.
¿Cuáles son las propiedades de las transformaciones lineales que se mencionan en el guion y cómo afectan a los vectores del espacio vectorial?
-Las propiedades mencionadas son: la imagen del vector nulo es el vector nulo, la imagen de la suma de vectores es igual a la suma de las imágenes de los vectores, y la imagen de la resta de vectores es igual a la resta de las imágenes de los vectores. Estas propiedades afectan a los vectores del espacio vectorial al permitir que las operaciones de suma y resta, así como la multiplicación por escalares, se preserven bajo la transformación lineal.
Outlines
📚 Introducción a las Transformaciones Vectoriales
Este párrafo introduce el concepto de transformaciones vectoriales como funciones que operan sobre vectores de un espacio vectorial de entrada para producir vectores en un espacio vectorial de salida. Se explica que estas transformaciones pueden ser lineales y deben cumplir con propiedades específicas como la preservación de la suma y la multiplicación por escalares. Se presentan ejemplos de transformaciones que involucran operaciones matemáticas básicas como la suma y la resta de componentes vectoriales, y se menciona la importancia de estas transformaciones en el análisis matemático.
🔍 Verificación de Transformaciones Lineales
El párrafo se centra en cómo verificar si una transformación es lineal. Se describen los pasos para demostrar que una transformación cumple con las propiedades de ser lineal, es decir, que la imagen de la suma de vectores es igual a la suma de las imágenes de los vectores y que la imagen del producto de un escalar con un vector es igual al producto del escalar con la imagen del vector. Se utiliza un ejemplo de transformación para ilustrar el proceso de verificación, incluyendo la definición de vectores y la aplicación de las condiciones necesarias para determinar la linealidad.
📐 Transformaciones Lineales y Matriciales
Este párrafo explora la relación entre las transformaciones lineales y las operaciones matriciales. Se define una transformación lineal como aquella que puede ser expresada como el producto de una matriz por un vector. Se discuten las dimensiones de los espacios vectoriales de entrada y salida en relación con la matriz, y se explica cómo las propiedades de la multiplicación de matrices garantizan que las transformaciones matriciales son lineales. Además, se mencionan ejemplos de transformaciones lineales particulares, como la transformación cero y la transformación identidad.
🔄 Propiedades de las Transformaciones Lineales
El último párrafo detalla algunas propiedades fundamentales de las transformaciones lineales. Se explica que la imagen del vector nulo bajo una transformación lineal es igual al vector nulo, y se discuten las consecuencias de aplicar transformaciones lineales a vectores sumados y a vectores escalados. Se presentan ejemplos geométricos de dilataciones y contracciones como aplicaciones de transformaciones lineales con escalares diferentes a uno. Finalmente, se resumen las propiedades de las transformaciones lineales que se han discutido a lo largo del guion.
Mindmap
Keywords
💡Transformación
💡Espacio vectorial
💡Dominio
💡Imagen
💡Función vectorial
💡Transformación lineal
💡Matriz
💡Producto matricial
💡Escalar
💡Transformación cero
💡Operador lineal
Highlights
Inicio de la explicación de las uniones y transformaciones en matemáticas.
Definición de una transformación como una función con valores vectoriales.
Explicación del dominio y la imagen en el contexto de las transformaciones vectoriales.
Introducción a la noción de transformación geométrica a través de ejemplos visuales.
Descripción de una transformación específica que pasa de un espacio de R2 a R3.
Ejemplo práctico de cómo se ven afectados los componentes de un vector bajo una transformación.
Definición formal de una función como transformación lineal y sus propiedades.
Importancia de las propiedades de las transformaciones lineales para la preservación de las operaciones básicas.
Verificación de si una transformación es lineal a través de la comprobación de sus propiedades.
Ejemplo de cómo se calcula la imagen de la suma de vectores para determinar si una transformación es lineal.
Demostración de la propiedad de que la imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalar por la imagen del vector.
Introducción a las transformaciones matriciales y su relación con las transformaciones lineales.
Explicación de cómo las propiedades de la multiplicación de matrices garantizan que las transformaciones matriciales son lineales.
Definición de la transformación cero y su impacto en el espacio vectorial de salida.
Introducción a los operadores lineales y su relación con la transformación identidad.
Descripción de las propiedades de las transformaciones lineales, como la imagen del vector nulo y la imagen de la resta de vectores.
Conclusión de la presentación y anticipo de futuros temas relacionados con transformaciones lineales.
Transcripts
en esta oportunidad vamos a dar inicio a
los contenidos de la unión número 9
aplicación en transforma
en primer lugar vamos a considerar
a las aplicaciones buenas
transformaciones como funciones con
valores vectoriales de una variable
vector ya que quiero decir que vamos a
hablar de alguna operación matemática
que me permita
tomar un vector de lo que hoy es llamar
dominio un espacio vectorial de salida
aplicar esa operación matemática sobre
el vector y obtener lo que se conoce
como imagen en mi función vectorial y
entonces al igual que ocurre con las
funciones con las que están
acostumbradas a trabajar en análisis
matemático tenemos un dominio y tenemos
un codo dominio conjunto allegada
en donde se va a definir un sub espacio
el que vamos a llamar imagen de mi
transformada
decir que f es una función entonces que
asociado a un único vector
en w con cada uno de los vectores en vez
siendo de mi espacio sectorial de salida
y w mi espacio editorial de llegada voy
a decir además que efe aplica o mapea
ven en w y a esto no escribo como
efe db en w
desde el punto de vista geométrico por
ejemplo tenemos
en la izquierda de la pantalla
función efe usted también suele llamarse
esta palabra transformación en la que
voy a tomar un vector de r2 y lo voy a
reflejar con respecto al eje coordenadas
x entonces para todos aquellos rectores
de r 2x y su imagen va a estar
conformada por vectores en r 2 x
por otro lado tenemos el ejemplo 1 a la
derecha de la pantalla en la cual vamos
a plantear una transformación que va de
un espacio editorial
hacia un espacio victoria de r3
en el cual la operación que me va a
permitir obtener los vectores de la
imagen es lo que se encuentra entre
paréntesis
es decir la imagen de todo vector ve en
r2 será un vector en r3 cuyas
componentes estarán conformadas de la
siguiente
la primera componente será igual a la
primera componente del vector de la red
2
segundo componente del director imagen
va a estar conformada por la suma de la
primera y la segunda componente del ivey
torbe mientras que la tercera de los
componentes estará conformada por la
resta de la primera
el componente de vida entorno en el sí
que sí tenemos el caso particular del
vector b 11 la imagen debe ser a 1 es
decir la primera componente se mantiene
sin alteraciones la segunda componente
será la suma de uno más uno es decir dos
y la tercera componente será la restante
1 - 1 es decir 0
entonces vamos a definir
producción efe db en w como una función
desde el espacio vectorial vez hacia el
espacio editorial w y vamos a decir
es una transformación función lineal si
se cumple
la imagen de la suma de 1 + b es igual a
la suma de las imágenes de un panda de
imágenes de v para todos los vectores
viven que pertenezcan a mi espacio
victoria ve de salida
y además
la imagen del producto de un escalar k
por un vector será igual al producto del
escalar k por la imagen del vector es
decir puedo sacar mi vector de la trama
a mi escalar perdón
esto tiene que cumplirse para todos los
vectores debe y todos los escalones
lo importante que tenemos que considerar
hasta el momento es que podemos hablar
de funciones vectoriales con el macro
sectoriales o de transformaciones o
aplicaciones pero éstas pueden o no ser
lineales en el caso particular de la
materia nosotros vamos a tomar en cuenta
o vamos a trabajar con aquellas
transforma
es decir aquellas transformaciones en
las que se cumplen los puntos 1 y 2 que
acabo de decir
nosotros trabajamos sobre espacios
vectoriales en donde dijimos que se
definiendo operaciones básicas la suma y
la multiplicación por un canal en la ley
de cerradura para la suma y para la
multiplicación por buscada la idea en
estas transformaciones es que estas
operaciones se preserven a través de la
transformación mundial
entonces un ejemplo de una
transformación
efe de r2 r3
la imagen de
los vectores ven va a estar dada por la
siguiente expresión
x estigmas y x y fíjense que es la misma
transformación para la cual vimos el
ejemplo hace un instante
lo que tenemos que verificar es si esta
transformación es una transformación
lineal o no y cómo hago para determinar
o para demostrar que esta transformación
efe lineal fue puede definir dos
vectores del dominio es decir de dos hay
que tener cuidado con esto van a ver que
en el apunte tienen muchos ejercicios de
este tipo vamos a definir entonces al
vector uy el rector ve con sus dos
componentes porque son vectores que
pertenecen al dominio es decir aéreos
para comprobar si en línea debo
comprobar entonces que se cumplen las
condiciones 1 y 2 que definí en la
familia anterior la 1era que la imagen
de la suma de o más 20 será igual a la
suma de las imágenes de un más las
imágenes
para eso una vez que definir esto héctor
ve voy a obtener sus respectivos
imágenes es decir no es más que el debut
como
x 1 x 1 más y 1 x 1 menos y 1 y la
imagen debe como x 2 x 2 más 2 x 2 menos
libros entonces tengo mis vectores del
dominio mis imágenes que como verán
pertenecen al espacio vectorial de
llegada
voy a hacer la suma o el rector sumar
uno más y este va a ser una x 2 y 1 + 2
y entonces así podré calcular también la
imagen del vector sumar porque lo que
debo probar es lo que tengo acá escrito
en rojo que la imagen del vector suma
con más b es igual a la imagen de uno
más la imagen de b
para calcular la imagen del vector suma
entonces la primera componente se
mantiene igual
a las componentes del vector en r2 la
segunda componente es la suma de la
primera y la segunda componente del
director o más bien el tercer componente
en la resta de la primera menos del
segundo componente del vector imagen
fíjense acá tengo entonces el rector
imagen
una vez decir eso
este vector puede reordenar lo de manera
tal que
obtenga dos vectores o la suma de dos
vectores para los cuales una componente
es el primer componente de x1 luego voy
a tener x uno más y 1 y finalmente x uno
menos
voy a agrupar en otro vector las
demás componentes es decir x 2 x 2 más y
2
y x 2 - y 2
y fíjense que logré obtener cada uno de
los vectores
efe
efe db
por lo tanto puedo asegurar que
se cumple la primera condición que
indica que la imagen del vector suma una
vez debe ser igual a la imagen de un más
la imagen
para terminar de definir si f es una
transformación lineal debo comprobar
además que la imagen del producto de k
por uno es igual acá por la imagen del
para eso voy a tomar el de torún que
había definido previamente voy a
calcular su imagen esto ya también
teniendo el anterior y voy a calcular el
20 por uno es decir un vector
al vector de multiplicar todo de escalar
genérico
mi vector campo va a tener la siguiente
forma
como primera componente capo de ninguna
como segunda componente k
una vez que obtengo amigo héctor capo lo
que tiene dos componentes porque para
el espacio de salida r2 voy a calcular
la imagen de estrella
para calcular la imagen la primera
componente se mantiene exactamente igual
la segunda componente se conforma por la
suma de la primera y la segunda
componentes
pensé que ambas tienen como factor al
calarcá
como un factor común lo mismo con la
tercera componente constituida como la
recta de la primera segunda componente
también
en donde saque como factor como es
si yo observo estricto puedo ver que hay
este jalar que se encuentra en las tres
puedo también sacar un factor
común y lo que obtengo entre paréntesis
no es nada más ni nada menos que la
imagen de mi vector y por lo tanto acabo
de comprobar que la imagen del rector
acá por um es igual al ver al escalar
acá por la imagen del texto y por lo
tanto habiendo comprobado unas
condiciones muy ruidosos puedo afirmar
que f es una transformación
analizando entonces vamos a decir que si
delfino efe el w
la transformación lineal entonces sí b1
b2 niveles son vectores debe y k 1 k 2 y
k n son escalares entonces puedo decir
que la imagen de la sumatoria de k 1 por
ver 1 marcados por b 2 más caer es
órdenes será igual al producto de cada
uno por la imagen de uno más el producto
por la imagen de dos más el producto de
caen por la imagen
en
transformaciones particulares que son
las transformaciones matricial es sí
vamos a definir a una matriz de orden
mejor n y voy a utilizar la anotación
matricial para los vectores de mi
dominio y del mismo dominio r n será la
dimensión de los rectores
el espacio actual es de salida y r m
será la dimensión del espacio sectorial
de llegada
y entonces a las transformaciones
lineales como el producto de mi matriz a
por los vectores x que pertenecen por
supuesto
el espacio de historia r es decir x debe
tener como dimensión
el número de columnas de la matriz y el
espacio vectorial de llegada tendrá como
dimensión
número de filas de la
y esto porque porque vamos a recordar
que si x es una matriz de orden n por 1
podré multiplicarlo por multiplicar la
por la matriz
es de orden por n y el producto de esta
multiplicación será una matriz de orden
m por uno de aquí que las dimensiones
del dominio son rn y las dimensiones de
dominio
entonces que quiero decir que yo voy a
definir como transformación a aquella
transformación en la cual pre multiplico
a mis vectores por la matriz y de esa
manera obtengo
las imágenes de la transforma
cómo voy a saber que la transformación
matricial es una transformación lineal
pues deben cumplirse las dos condiciones
que comprobamos recién y para eso
recordando las propiedades de la
multiplicación de matrices yo puedo
ver que la multiplicación de matrices y
la distributiva respecto de la suma es
decir
por una vez es lo mismo que por un más
acorde y que además
el producto de a por cada poro siendo
cada una escala es lo mismo aplicar el
producto de
fíjense que son las dos condiciones que
deben cumplirse para que la
transformación sea una transformación
lineal es decir la imagen de la suma de
los vectores más b debe ser igual a la
suma de las imágenes de un más décimas
desde b y que la transformación a la
imagen de k por un debe cerca por la
imagen del vector um es decir que este
tipo de transformaciones matriciales son
transformaciones
que a todas las transformaciones
lineales podremos expresarlas de manera
matricial pero eso va a quedar
seguramente
el próximo vídeo
vamos a hablar entonces de algunas
transformaciones lineales
importantes de mencionar como por
ejemplo la transformación cero sea una
transformación t definida debe en wwp2
espacio su historial es esta
transformación es tal que la imagen debe
es igual a 0 para todo vector vez que
pertenece al espacio victoria de salida
y esta transformación es la que se
conoce como transformación 0 y se
observe también qué
la imagen de
la suma de unas veces en gol a 0 la
transformación de webs igual a 0 y la
transformación
goles0 y que además la transformación de
chapeaurouge es igual a cero siendo que
cualquier escalar en cualquier sector
que parece
de salida es decir que además de esta
transformación es una transformación
lineal
tenemos los operadores lineales
a aquellas transformaciones en las
cuales
son debe en vez es decir ocurren de
el mismo espacio editorial
y son
definidas por
y la transformación debe es igual al
producto de un scanner por el vector
era decir
todas estas transformaciones de bebé
la imagen debe es igual está por ver es
lo que se conoce como operador lineal
sobre ver cuando ese campo es igual a 1
estoy frente a la famosa transformación
identidad transformación debe es igual
es un caso particular de la operación de
1
el vector
para el cual que es igual a 1
qué pasa con estos operadores lineales
si mi escalar es mayor que 1 pues
entonces voy a decir que esa
transformación es una dilatación
mientras que si el escalar se encuentra
entre 0 y 1 esta transformación será una
contracción de belo geométricamente una
dilatación estira amigo héctor ve en un
factor de k mientras que una contracción
lo va a comprimir a mi vector b en un
factor
propiedades de las transformaciones
lineales vamos a mencionar a las
siguientes 3
siempre considerando que tienes una
transformación de vw y es lineal la
transformación del vector nulo en b será
igual al vector nulo en donde b
pues porque yo puedo expresar por
ejemplo al vector nulo en b como el
producto de 0 por b
todo ve que pertenece a mi espacio
vectorial del dominio por lo tanto la
transformación del vector número pudo
expresarse como
formación de cero por el entorno
a ese 0 como mis transformaciones son
lineales puedo sacarlo como tanto
y
x la imagen del entorno es cualquiera
sea mi doctor me va a ser seis
todo lo que pertenece
un espacio vectorial de sangre
por otro lado
formación del vector
[Música]
- ve será igual a menos la
transformación de b es decir
la imagen de menos veces será igual al
menos la imagen debe
esto también se cumple pero todo el orbe
que pertenece el espacio sectorial de
salida pues menos ve puede ser expresado
como menos uno por ver y como esta es
una transformación lineal este menos uno
presentaron escalar puede ir
sacarse fuera de la transformación y
obtengo
el producto de -1 por la imagen de vídeo
por la transforma
por otro lado la
imagen de la resta de b2w es igual
imagen de ve - la imagen de w esto es
para todos y doblemente perfecto
en el espacio vectorial de dominio pues
también puedo expresar a este menos no
se ve como el factor de menos 1 por w
como esta una transformación lineal a
esto que tengo aquí entre corchetes
puedo expresarlo como la transformada
debe más menos 1 por la transformada de
w de manera tal que se cumple la
propiedad que acabo de
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