AMD T11 - Espacios Vectoriales

Summary

Este video explica los conceptos fundamentales de los vectores y los espacios vectoriales. Un vector es una columna de números, y un espacio vectorial es un subconjunto que cumple con dos propiedades clave: la cerradura bajo la suma y la multiplicación por un escalar. A través de ejemplos como la suma de vectores y combinaciones lineales, se demuestra qué conjuntos forman espacios vectoriales y cuáles no. Se destacan casos como el plano, semiplano y circunferencia, mostrando que la ausencia del vector cero o la falta de cerradura invalida que sean espacios vectoriales.

Takeaways

• 📐 Un vector es un conjunto de números dispuestos en columna que pertenecen a un cuerpo.
• 📊 Un espacio vectorial es un subconjunto no vacío de vectores que cumple con dos propiedades: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar deben resultar en vectores dentro del mismo espacio.
• ✅ El vector 0 siempre está incluido en un espacio vectorial.
• ➕ Las combinaciones lineales de vectores también pertenecen al espacio vectorial, según las propiedades de suma y multiplicación por escalares.
• 🧮 El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de un conjunto de vectores forma un espacio vectorial.
• 🔄 Un espacio vectorial puede generarse a partir de las columnas de una matriz, lo que se conoce como espacio generado por las columnas.
• 🚫 Un círculo o una circunferencia no son espacios vectoriales porque no incluyen el vector 0 o no son cerrados bajo las operaciones necesarias.
• ↔️ La unión de dos rectas que pasan por el origen no es un espacio vectorial porque la suma de vectores de diferentes rectas no pertenece al mismo conjunto.
• 🌐 La suma de dos espacios vectoriales genera un nuevo espacio vectorial, mientras que la intersección de dos espacios vectoriales también es un espacio vectorial.
• 💻 El espacio anulador por la derecha de una matriz está compuesto por los vectores que, al multiplicarse por la matriz, resultan en el vector 0.

Q & A

¿Qué es un vector según la definición del vídeo?

Un vector es un conjunto de números dispuestos en columna, cuyos elementos pertenecen a un cuerpo.

¿Qué es un espacio vectorial?

Un espacio vectorial es un subconjunto no vacío del conjunto de todos los vectores que cumple dos propiedades: 1) La suma de dos vectores en el espacio da como resultado un vector en el mismo espacio. 2) Multiplicar un vector del espacio por un escalar produce un vector que también está en el espacio.

¿Por qué el vector 0 siempre pertenece a un espacio vectorial?

El vector 0 siempre pertenece a un espacio vectorial porque, según la segunda propiedad de los espacios vectoriales, multiplicar cualquier vector por 0 produce un vector que debe estar dentro del espacio.

¿Qué es una combinación lineal de vectores?

Una combinación lineal de vectores es una expresión de la forma λ₁*v₁ + λ₂*v₂ + ... + λₙ*vₙ, donde λ son escalares y los vectores v₁, v₂, ..., vₙ pertenecen al espacio vectorial.

¿Es el conjunto de todos los vectores 0 un espacio vectorial?

Sí, el conjunto formado únicamente por el vector 0 es un espacio vectorial, ya que cumple las dos propiedades de cierre bajo la suma y multiplicación por escalares.

¿Por qué una circunferencia no puede ser un espacio vectorial?

Una circunferencia no puede ser un espacio vectorial porque no contiene el vector 0, lo cual es una condición esencial para ser un espacio vectorial.

¿Por qué un semiplano no es un espacio vectorial?

Un semiplano no es un espacio vectorial porque no es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Por ejemplo, multiplicar un vector en el semiplano por -1 lo movería al lado contrario del plano.

¿Qué es la suma de espacios vectoriales?

La suma de espacios vectoriales es la operación de sumar todos los posibles elementos de dos espacios vectoriales, produciendo así otro espacio vectorial.

¿Qué es un espacio generado por un conjunto de vectores?

Un espacio generado por un conjunto de vectores es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de esos vectores, lo cual constituye un espacio vectorial.

¿Qué es el espacio anulador de una matriz?

El espacio anulador de una matriz es el conjunto de todos los vectores que, multiplicados por la matriz, producen el vector 0. Este conjunto constituye un espacio vectorial.