FACTORIZACION (FACTOR COMUN MONOMIO Y POLINOMIO)
Summary
TLDREl guion de este video ofrece una lección detallada sobre la factorización por el método del factor común. Se discuten técnicas para identificar y extraer factores comunes tanto de números como de variables en expresiones algebraicas, incluyendo casos con exponentes y términos repetidos. Se ejemplifican procesos para factorizar polinomios y expresiones fraccionarias, destacando la importancia de observar repeticiones y aplicar operaciones aritméticas adecuadas para simplificar las expresiones matemáticas.
Takeaways
- 📚 El script es una clase sobre factorización, específicamente sobre el factor común mono mió y polinomio.
- 🔍 Se destacan varios ejercicios para ejercitar la técnica de factorización, enfocándose en la identificación del factor común en términos numéricos y variables.
- 🔢 Se menciona que el factor común numérico es el más pequeño número divisible entre todos los términos del polinomio.
- 📐 Se observa la importancia de identificar la letra con el menor exponente repetida en el polinomio para encontrar el factor común en variables.
- ✅ Se ejemplifica el proceso de factorización paso a paso, incluyendo la división de términos y la eliminación de exponentes.
- 📉 Se abordan casos en los que no existe un factor común en las letras, y se centra la atención en el factor común numérico.
- 📌 Se destaca la técnica de dividir el factor común en números y letras, y cómo manejar los exponentes al dividir.
- 📘 Se menciona que en algunos casos, el factor común puede ser una expresión algebraica repetida en los términos del polinomio.
- 📙 Se resuelven casos de factorización con fracciones, acercando el factor común tanto en numeradores como en denominadores.
- 📒 Se aborda la factorización de polinomios que contienen paréntesis, y cómo manejar los signos al introducir nuevos paréntesis.
- 📕 Se concluye la clase con la factorización de expresiones que no aparentemente tienen un factor común, pero se pueden adaptar para encontrar uno.
Q & A
¿Qué es el factor común monomio y polinomio?
-El factor común monomio y polinomio se refiere a un número o variable que se repite en todos los términos de una expresión algebraica y que se puede extraer para simplificarla.
¿Cómo se determina el factor común en los números de una expresión?
-Para determinar el factor común en los números, se busca el número más pequeño que sea divisible por todos los coeficientes en la expresión.
Cuál es el factor común en la expresión 15^2 * a^10 + 3^5 * a^7 - 27 * a^4 - 3^3 * b^3?
-El factor común en la expresión es 3, ya que es el número más pequeño que divide a todos los coeficientes (15, 3, 27 y 3).
¿Cuál es el factor común en las letras de la expresión dada?
-El factor común en las letras es 'a' elevado a la menor potencia repetida en todos los términos, que en este caso es 'a' al cuadrado.
¿Cómo se realiza la factorización de una expresión que contiene números y letras repetidos?
-Se identifica el factor común tanto en los números como en las letras y se extrae de la expresión, dejando el resto dentro de paréntesis.
¿Qué es el factor común binomio y cómo se identifica en una expresión fraccionaria?
-El factor común binomio es un término que se repite en el numerador y/o denominador de una expresión fraccionaria. Se identifica buscando el número o variable que se repite y se puede extraer de ambos.
¿Cómo se maneja el factor común en una expresión donde los números no tienen un factor común numérico?
-Si los números no tienen un factor común numérico, se analiza si hay un factor común en las letras o términos algebraicos y se procede a factorizar en consecuencia.
¿Qué sucede con el factor común cuando se repite en todos los términos de una expresión?
-Cuando el factor común se repite en todos los términos, se extrae de la expresión y se coloca fuera de los paréntesis o corchetes, dependiendo de la estructura de la expresión.
¿Cómo se factoriza una expresión que contiene paréntesis repetidos?
-Se identifica el contenido dentro de los paréntesis que se repite y se coloca fuera de los paréntesis, mientras que lo que queda fuera se introduce en un solo paréntesis o corchete.
¿Cómo se abordan las expresiones con factores comunes fraccionarios?
-En expresiones fraccionarias, se identifica el factor común tanto en el numerador como en el denominador y se extrae, simplificando luego la expresión resultante.
¿Qué se debe tener en cuenta al factorizar una expresión con signos negativos?
-Al factorizar expresiones con signos negativos, es importante tener en cuenta que al abrir paréntesis con un signo negativo, los signos de los términos dentro del paréntesis cambian.
¿Cómo se identifica el factor común polinomio en una expresión algebraica?
-El factor común polinomio es un término o expresión algebraica que se repite en todos los términos de la expresión. Se identifica observando la repetición de patrones en la expresión.
¿Qué se debe hacer cuando no se puede identificar un factor común en las letras de una expresión?
-Cuando no se puede identificar un factor común en las letras, se analiza si hay un factor común numérico o se procede a factorizar de otra manera, dependiendo de la estructura de la expresión.
Outlines
📚 Introducción a la factorización por el común mono
El profesor de matemáticas inicia una lección sobre la factorización por el común mono, un método para simplificar expresiones algebraicas. Se presenta un ejemplo con un polinomio que incluye potencias de 'a' y números, y se busca el factor común tanto en los números como en las letras, identificando '3' como el factor numérico y 'a' elevado a la segunda potencia como el factor literal. Se sigue con el proceso de dividir cada término del polinomio por el factor común, mostrando los pasos para simplificar la expresión.
🔍 Identificación del factor común en números y letras
El script avanza mostrando cómo identificar y extraer el factor común tanto en los números como en las letras de una expresión. Se ejemplifica con casos donde el factor común es numérico, como dividir 100, 125 y 200 por 25, y casos donde el factor común es literal, como 'a' al cuadrado en una expresión con repeticiones de 'a'. Se enfatiza la importancia de elegir el factor con el menor exponente y cómo manejar las potencias restantes tras la división.
📘 Factorización con fracciones y polinomios
Se aborda la factorización en expresiones con fracciones, donde es necesario encontrar el factor común tanto en el numerador como en el denominador. Se muestra cómo simplificar fracciones al dividir tanto el numerador como el denominador por su factor común, y cómo manejar las letras repetidas en la expresión. También se introduce la factorización de polinomios, donde se busca un factor común que se repite en todos los términos y se aplica a toda la expresión.
📌 Ejemplos de factorización de polinomios complejos
El script culmina con ejemplos más complejos de factorización de polinomios, donde se identifican factores comunes que incluyen paréntesis y se muestran los pasos para simplificar la expresión. Se ejemplifica con casos donde el factor común es un polinomio en sí mismo, como 'x - 1', y se muestra cómo incluirlo en los términos restantes para completar la factorización. Se destaca la importancia de manejar correctamente los signos y las potencias al factorizar.
Mindmap
Keywords
💡Factorización
💡Factor común
💡Exponente
💡Polinomio
💡Monomio
💡División algorítmica
💡Paréntesis
💡Fracciones
💡Numerador y denominador
💡Literal
Highlights
Introducción al concepto de factorización común monomio y polinomio.
Estrategia para identificar el factor común en números y letras en expresiones algebraicas.
Método para encontrar el factor común numérico utilizando el número más pequeño divisible por todos.
Identificación del factor común en letras basándose en el exponente más bajo.
Proceso de factorización aplicado a una expresión algebraica con factor común en números y letras.
Ejemplo práctico de factorización donde se selecciona el factor común y se divide el primer término.
Explicación detallada de cómo manejar la resta de exponentes durante la factorización.
Identificación de un factor común numérico en una serie de números y su aplicación en la factorización.
Técnica para dividir y simplificar el factor común numérico en expresiones complejas.
Factorización de un polinomio donde no existe un factor común en las letras.
Método para resolver casos en los que el factor común está en los números pero no en las letras.
Estrategia para factorizar expresiones con factores comunes en letras repetidas.
Proceso de factorización de una expresión con un factor común numérico y letras.
Manejo de factores comunes en fracciones y su aproximación a un factor común más sencillo.
Factorización de un binomio en forma fraccionaria, acercamiento del factor común en numerador y denominador.
Identificación y factorización de un polinomio que se repite en términos de su estructura.
Factorización de expresiones con paréntesis y manejo de signos al introducir factores comunes.
Resolución de casos en los que el factor común es un polinomio, utilizando corchetes y paréntesis.
Conclusión del tema de factorización común monomio y polinomio con ejemplos resueltos.
Transcripts
cómo están chicos sí profe de mate y en
esta ocasión vamos a resolver el primer
caso de factorización llamado factor
común mono mió y polinomio hemos hecho
aquí varios hemos propuesto algunos
ejercicios para poder resolverlo de este
lado izquierdo vamos a resolver factor
como novio y del lado derecho vamos a
resolver factor como un polinomio vamos
a empezar con el primero tenemos aquí 15
al cuadrado ve a la décima más tres a la
quinta ve a la cuarta menos 27 a la
séptima ve a la tercera vamos a resolver
y al observar tenemos que en estos tres
términos podemos encontrar el factor
común que es el factor común en los
números se indica que el factor común es
un número por decirlo así el más pequeño
de los tres que tenemos aquí y que están
bien aparte de que sea el menor sea
divisible para todos ellos
en este caso el factor como aquí sería
el número 3
una vez que ya aceptamos el factor común
en los números observamos si hay alguna
letra que se repita claro que si la
letra a cuadrado a la quinta a la
séptima tenemos tres letras que se
repiten entonces se repite la a tres
veces pero cuál de estas tres vamos a
siempre vamos a como factor
común la letra con menor exponente en
este caso sería a al cuadrado
ahora vamos a ver de estas tres qué es
lo que tenemos además de lo que tenemos
vemos si observamos si la ve se repite y
como ustedes pueden ver se repite aquí
la ve pero de estas tres becas vamos a
ve a la tercera porque es la de
menor exponente entonces colocamos y
colocamos aquí ve a la tercera todo esto
tres a cuadrado ve a la tercera
podríamos decir que es el factor común
de toda esta expresión matemática vamos
entonces a abrir paréntesis y vamos a
dividir
el primer término de esta expresión
algebraica para el factor común y
empezamos 15 dividido para 3 nos daría a
5 al cuadrado para a cuadrado no me
quedaría nada en este caso porque se
restan los exponentes 2 con 2 y se
elimina nos quedaría a la 0 b ^ décima
con b elevado la 3era al restar los
exponentes me va a quedar b elevado a la
séptima
porque 10 menos 37 continuamos más el
siguiente terminó 3 a la quinta ve a la
cuarta para 3 al cuadrado de tercera 3
con 3 nos daría a 1 pero como va a ir
las letras
entonces no necesitamos colocar el
número uno actual a la quinta para al
perdón
si está bien a la quinta para al
cuadrado me quedaría solamente ha
elevado a la tercera debido a que
restamos los exponentes 5 menos 23 b a
la cuarta con be a la tercera me
quedaría solamente la b porque al restar
4 menos 3 me quedaría solamente la
unidad algunos describen la unidad otros
no lo hacen así que no no no lo vamos a
hacer en este caso 27 dividido para tres
nos quedaría a nueve
a la séptima para al cuadrado nos
quedaría a la quinta porque restamos los
exponentes y ve a la tercera para ver la
tercera no me quedaría nada en b porque
3 con 3 se elimina automáticamente
esta sería la respuesta muy bien vamos a
continuar con el siguiente ejercicio en
el siguiente ejercicio solamente tenemos
factor común en los números porque
porque aunque aquí la letra x se repite
en dos términos no se repite en todos
por lo tanto para que sea factor común
en las letras debe repetirse en todos
los términos es decir si yo tengo aquí x
debería tener acá también xy aquí
también x así que el factor común aquí
no existe en los en las letras pero los
números si existe factor común pues de
esto sería el factor común bueno
generalmente siempre nos fijamos en el
menor de todos ellos en este caso sería
100 pero si empezamos a dividir 125 para
100 no divida exactamente 200 parecía
allí se divide exactamente entonces no
podemos
el factor común numérico de 100 tal y
cual cómo está pero podríamos hacer una
técnica podríamos
de dividirlo parados al 100 quitarle la
mitad en este caso sería 50 veamos y 50
dividido exactamente para 125 para 200
tampoco divide pero el número 25 sí
claro que sí 25 si vamos a poner
entonces que el factor común es 25 muy
bien entonces ahora si continuamos
entonces dividimos 100 para 25 a 4
y colocamos los mismos las mismas letras
x y al cuadrado debido a que no hay
factor común en las letras ahora si nos
quedaría menos 125 para 25 a 5 x tercera
bajamos la misma parte literal y
finalizamos más 200 dividido para 25 a 4
4 x 25 es 200 perdón 8 verdad es 8 es 8
ya corregimos y cerramos el paréntesis y
es así como nos quedaría la respuesta de
literal b notamos que aquí sólo el
factor común está en los números aquí
teníamos en números y en letras
vamos con el siguiente caso el literal c
para ser literal si observamos que
tenemos aquí la a que se repiten todos
pero no existe factor común numérico
porque no acaso será porque no tenemos
otro número acá por supuesto que sí como
no existen en todos los términos números
entonces no podemos decir que tenemos
factor común ni tampoco existe un número
que sea divisible para todos ellos así
que el factor común aquí sería la a pero
cuál de todas estas vamos a bueno
la que sea más pequeña en su exponente
en este caso sería a al cuadrado vamos
entonces a abrir el paréntesis y
empezamos a la sexta para al cuadrado me
quedaría ha elevado a la cuarta porque
restamos los exponentes menos 3 y aquí
nos quedaría a la cuarta para cuadrado
nos quedaría al cuadrado
ahora me quedaría más 88 a la tercera
para a cuadrado me quedaría solamente a
menos el 4 al cuadrado para al cuadrado
me quedaría simplemente el 4 y tenemos
la tercera
respuesta
ahora tenemos el literal b el literal el
literal de perdón está compuesto por dos
términos 18 m n a la cuarta menos 54 m
la tercera en al cuadrado para poder
nosotros sacar aquí el factor común
tenemos que observar bien si es que el
18 es divisible también para 5.4 y claro
que si es divisible por lo tanto como
factor común es el 18
ahora veamos si es que existe factor
común en las letras
claro que si el la m y la m se repite
por lo tanto cuál de las dos es la menor
la m prima por lo tanto colocamos en
prima la n a la cuarta y en al cuadrado
igual la letra n se repite pero cuál de
estas dos cogemos solamente la menor en
este caso la en el cuadrado como factor
común ahora abrimos paréntesis y
empezamos 18 para 18 me quedaría 1 pero
cómo van a ir las letras entonces no le
vamos a colocar el número 1 m con ms
elimina automáticamente
n cuarta para n cuadrado me quedaría
simplemente n al cuadrado menos 5,4 para
18 hagamos cuenta que no tenga la coma
es cómo dividir 54 para 18 y sabemos
nosotros que 54 dividido para 18 es
igual a 3 por lo tanto me quedaría lo
mismo 3
y m3 era para mí me quedaría simplemente
m al cuadrado en el cuadrado con el
cuadrado automáticamente se eliminan y
por lo tanto me quedaría de esa forma la
respuesta nótese que aquí tenemos el
factor común en números numérico y
también en letras vamos ahora resolver
finalmente el último de esta sección de
factor común mono mió ahora tenemos un
caso de factorización primer caso factor
común binomio pero de forma fraccionaria
cuando suceda esto de forma fraccionaria
a veces algunos estudiantes se confunden
dice no sé cómo hacer aquí bueno
simplemente a dan cuenta que vamos a
acercar el factor común tanto en el
numerador como del denominador si
ustedes observan tengo 25 15 y 35 en los
numeradores así que cuál de éstos sería
el factor común
lógicamente el 15 pero el 15 si yo
divido el 25 para 15 y 35 para 15 no va
a tener no va a funcionar verdad así que
vamos a tomarle aquí
prácticamente la tercera en este caso
sería 5 verdad entonces si le dividimos
aquí el otro común sería 5 porque el 5
puede ser divisible para 25 para 15 y
para 35 entonces el factor común
numérico sería 5 en el numerador
y vamos ahora a observar en el
denominador tenemos 6 8 y 12 cuando
estos creen ustedes que sería el factor
común me imagino que ustedes van a
elegir el 6 correcto pero el el 8 no es
divisible para 6 ni el 12 para 6 pero
del 6 si podemos sacarle la mitad cuánto
es la mitad 3
aunque el 8 no puede ser divisible para
allá entonces podríamos decir que de
estos podríamos decir que podríamos
sacar entonces
quizás la tercera claro que sí es la
tercera
porque el 2 es divisible para todos
ellos
sacando la tercera de 6 me va a dar 2
nos vamos a poner en 500
y ahora una vez que ya tenemos sacado el
factor común tanto en el numerador como
en el denominador veamos con las letras
la se repite claro que se repite por lo
tanto solamente cogen una de menor
exponente en este caso la a la b claro
que se repite cual estas 3 b vamos a
de la que se repite la menor en
este caso b elevado a la tercera
abrimos el paréntesis y empezamos a
dividir 25 para 5 mengual quedara 5
a para no me queda nada ve a la séptima
para ver la tercera me va a quedar ve a
la cuarta sobre
6 dividido para 2 él nos va a quedar a 3
y ya hemos terminado con el primer
término vamos con el segundo 15 para 5
me va a quedar a 3
a cuadrado para a me va a quedar
solamente a b elevado a la 3era para ver
elevado a 3era no me va a quedar nada
por lo tanto simplemente colocamos en el
denominador 8 dividido para el
denominador 2 me va a quedar a 4 y ahora
me va a quedar más 35 para 5 me va a
quedar a 7
ha elevado a la 3era para me va a quedar
al cuadrado
ve a la quinta para ver la tercera me va
a quedar ve al cuadrado
y todo esto va a estar sobre 12 / para
dos en este caso me va a quedar a 6
terminamos cerrando el paréntesis y esa
sería la respuesta del factor común
monómero con fracciones en el caso del
factor como un polinomio es un poquito
más sencillo porque porque ya nosotros
podemos determinar que el factor como un
polinomio como su palabra lo dice
polinomio es todo el paréntesis o en
otras palabras los paréntesis que se
repitan en este caso podemos darnos
cuenta que x menos 1 con x menos 1 se
repiten en estos dos términos por lo
tanto podríamos decir que el factor
común polinomio es x menos 1 porque
porque se repite correcto y qué hacemos
con los dos términos que están fuera de
los paréntesis los colocamos dentro de
un solo paréntesis y hemos terminado con
la respuesta del factor común polinomio
veamos el siguiente literal ve aquí
aparentemente no tenemos un factor como
un polinomio porque sabemos que no
tenemos en paréntesis el n 2
nosotros lo podemos colocar dentro del
paréntesis es decir nos va a quedar de
esta forma n
+ 2 cerramos + introducimos los
paréntesis pero cuando introducimos los
paréntesis recordemos que cuando va con
más no cambia el signo sigue siendo n 2
resolvamos cómo nos va a quedar ahora ya
sabemos que n 2 es el factor como un
polinomio así que lo colocamos dentro de
un paréntesis n más dos es el valor como
un polinomio y en otro paréntesis
colocamos lo que nos queda fuera en este
caso la a
y también nos va a quedar aquí aunque no
se puede ver después del más está el
número uno se supone que está el número
uno por lo tanto sería am azul y eso
sería la respuesta del literal b vamos
ahora con el literal c en el literal se
tenemos x abre paréntesis a más 1 cierro
paréntesis menos a menos 1
lamentablemente no podemos tampoco hacer
o trabajar tal cual como está pero si
podemos hacer esto fíjense podemos
colocar x
a uno
menos
y cuando este s precedido por el signo
negativo nosotros abrimos el paréntesis
y automáticamente cambia el signo algo
que no ocurría cuando teníamos positivo
por lo tanto ahora si nos va a quedar
que el factor común polinomio es a más 1
y nos va a quedar a más 1
en un paréntesis y en otro paréntesis me
va a quedar x menos aquí no se sabe que
el número está pero se sobreentiende que
está el número uno por lo tanto quedaría
x menos uno vamos ahora con el literal
de fíjense que en el literal de tenemos
igual dos términos en el literal de
tenemos dos términos y podemos observar
qué
se repite prácticamente
se repite el m2 tenemos aquí m2 y m2
entonces como se repite m2 entonces nos
va a quedar de la siguiente manera el
factor como un polinomio es m2 cerramos
el paréntesis y abrimos un corchete
debido a que hay paréntesis
y yo digo si todo este factor común
perdón si todo este término lo divido
para el factor común que me va a quedar
dentro me va a quedar el otro paréntesis
me va a quedar x al cuadrado más 2
y más
si divido el segundo término para el
factor común m2 me va a tener
simplemente el número 2
muy bien ahora una vez que ya tenemos
aquí bueno la rectificamos ustedes
recuerden que estaba la n pero
rectificamos porque habíamos copiado más
el ejercicio debería ser menos 2 verdad
entonces ahora sí tenemos m2m menos 2
correcto y podemos destruir aquí este
paréntesis automáticamente y nos va a
quedar x al cuadrado más 2 más 2
rompiendo el paréntesis por lo tanto me
quedaría que m menos 2 cerramos el
paréntesis x al cuadrado más 2 más 2 4
muy bien ahora pasamos al último
ejercicio en el último ejercicio nos
damos cuenta que aquí tenemos el factor
común a menos 2 a menos 2 aquí y al
menos dos acá por lo tanto el factor
común sería a menos 2 factor como un
polinomio como hay paréntesis vamos a
utilizar corchetes y nos va a quedar m
entre paréntesis m2m más n correcto
m más n porque si dividido todo esto
para el factor común me va a quedar
solamente m más n más si dividido todo
esto para el factor común a menos 2 me
va a quedar m
n ponemos m - n
cerramos el corchete y continuamos al
menos 2
ahora destruimos los paréntesis y me
queda simplemente de esta forma corchete
m n aquí no se cambia el signo por lo
tanto quedaría lo mismo más m - n
cerramos el corchete y finalmente nos va
a quedar de respuesta
a menos dos que el factor como un
polinomio y en otro paréntesis me va a
quedar suprimimos m/m me va a quedar 2m
y aquí me voy a quedar en menos n se van
y por lo tanto quedaría así muy bien
chicos eso ha sido todo por hoy hemos
terminado con el factor común mono mió y
polinomio
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