79. Funciones linealmente independientes ¿qué son? CON EJEMPLOS

Summary

この動画では、2階線形常微分方程式の線形独立な解について解説しています。具体的には、線形独立とはどのような意味か、そして解がどのように得られるのかを例を使って説明しています。まず、線形独立の定義を示し、異なる解がどのように関係するかを考え、次に線形依存の解とその識別方法を紹介しています。最後に、2階微分方程式の解がどのように一般解を形成するかについて触れています。

Takeaways

• 😀 2次線形微分方程式の解が線形独立か線形従属かを判断する方法について解説しています。
• 😀 解が線形独立であるとは、1つの解を定数倍してももう1つの解を得られないことを意味します。
• 😀 例えば、y = e^(2x) と y = e^(3x) は線形独立であり、定数倍しても他の解にはならない。
• 😀 線形独立の定義は、a * y1 と b * y2 が異なる場合、a と b が共に0でない限り、y1 と y2 は線形独立であることです。
• 😀 線形従属の場合、1つの解は他の解の定数倍になります。例えば、y1 = e^(2x) と y2 = 4e^(2x) は線形従属です。
• 😀 線形従属か線形独立かを確認するためには、定数倍した解を比べて、どのような定数が必要かを確認します。
• 😀 2つの線形独立な解があれば、その線形結合（c1 * y1 + c2 * y2）は一般解を形成します。
• 😀 線形独立な解が2つのとき、2次線形微分方程式は常に2つの線形独立な解を持ちます。
• 😀 線形微分方程式の解を求める際には、解の線形結合を利用して一般解を導きます。
• 😀 線形独立な解の数は、方程式の順序と一致します。n次の線形微分方程式にはn個の線形独立な解があります。

Q & A

線形独立とはどういう意味ですか？

線形独立とは、ある関数が他の関数を単に定数倍しただけでは得られないことを意味します。つまり、1つの関数を定数倍しても、別の関数を作り出すことができない状態です。

2つの解が線形独立であることをどうやって確認できますか？

2つの解が線形独立かどうかを確認するには、1つ目の解を定数aで、2つ目の解を定数bで掛け、その後、得られた式が異なるかどうかをチェックします。もし、両方の定数aとbがゼロでない限り、得られる結果が異なれば、それらは線形独立です。

線形依存と線形独立の違いは何ですか？

線形依存とは、ある関数が他の関数を定数倍することで得られる関係にあることを意味します。逆に、線形独立は、1つの関数を定数倍しても他の関数を得られない場合です。

例として取り上げた方程式の解e^(2x)とe^(3x)は線形独立ですか？

はい、e^(2x)とe^(3x)は線形独立です。これらは単に定数倍をしても他方程式の解にはならないため、線形独立とされます。

解が線形依存である場合の例を教えてください。

例えば、y1 = e^(2x)とy2 = 4e^(2x)のような場合、y2はy1の4倍に過ぎないので、これらは線形依存です。

線形独立と線形依存を判断する際に必要な条件は何ですか？

線形独立を判断するには、解を定数倍しても異なる解が得られること、線形依存の場合は、解の1つが他の解の定数倍で表せることです。

第二次の常微分方程式の解として得られる線形独立な解の数は？

第二次の常微分方程式では、常に2つの線形独立な解があります。これらの解は、定数を掛け合わせることによって、解の任意の組み合わせが可能です。

線形独立な解が2つしかない理由は何ですか？

第二次の常微分方程式では、解の数は方程式の次数に等しいため、常に2つの線形独立な解しか存在しません。これが一般的な原則です。

一般解とは何ですか？

一般解とは、線形独立な解を定数倍して加えた形の解で、任意の定数を使って表現できる解です。例えば、y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(3x)は一般解の例です。

3次以上の常微分方程式での線形独立な解の数はどう決まりますか？

n次の常微分方程式では、常にn個の線形独立な解が存在します。例えば、3次方程式では3つの線形独立な解、4次方程式では4つの線形独立な解があります。